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2019 年重庆一中高 2020 级高三 11 月月考
数 学 试 题 卷（理科） 2019.11
数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、选择题（本大题共 12 个小题，每个小题 5 分，共 60 分，每个小题只有一个正确答案）
1.在平面直角坐标系中，点 位于第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
2.设 ，条件 ，条件 ，则 是 的（ ）条件.
A．充分不必要 B． 必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3.设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 为异面直线.
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
4.已知正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5.设函数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为增函数
C． 的最小正周期为 D． 图像的一条对称轴为
6.设正项等比数列 的前 项之和为 ，若 ，则 的公比 （ ）
A． B． C． D． 或
)002cos,100(sin P
Rzyx ∈,, 22: yzxzp > yxq >: p q
nm, βα,
βα ⊆⊆ nm , nm,
αα //,nm ⊥ nm ⊥
βα //,// mm βα//
βα ⊥ βα ⊆⊆ nm , nm ⊥
ba, 1=+ ba ab
ba +9
4 6 16 25
xxxf cossin1)( +=
)(xf )(xf
)(xf 2
π
)(xf 4
π−=x
{ }na n nS 365 SaS += { }na =q
2
15 −
1 2
15 +
2
15 −
2
15 +2
7. 已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8. 已 知 向 量 满 足 ， 则
（ ）
A． B． C． D．
9.某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图与左视图中的圆的
半径均为 ,则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地
组建了一个 QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该 QQ 群中男学生人数多于
女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学
生人数．则该 QQ 群人数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11.如下图，正方体 中， 为 中点， 在线段 上.给出下列判断：
①存在点 使得 平面 ；
②在平面 内总存在与平面 平行的直线；
③平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大
小与点 的位置无关；
④三棱锥 的体积与点 的位置无关.
其中正确判断的有（ ）
A． ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④
12.已知函数 ，等差数列 满足条件 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
−== )12(log
2
1 xyxM
+== xyyN 23
2 =NM
]1,0( ]1,2
1( )3
2,2
1( )(0,+∞
ba, 4,3,2 =+== baba =−ba
6 32 10 3
2
π8 π
3
28
π π
6
7
20 22 26 28
1111 DCBAABCD − E AB F 1DD
F ⊥CA1 EFB1
1111 DCBA 1B EF
EFB1 ABCD
F
EFBB 1− F
xxxf πcos4)( −= { }na 4)()( 93 =+ afaf
=++ 981 aaa
6 3 4
3
2
3
正视图
俯视图
左视图3
二、填空题（本大题共 4 个小题，每个小题 5 分，共 20 分）
13.实数 满足 ，则 的最大值为
14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国
传统文化中的太极衍生原理.其前 项依次是： ，
则大衍数列的第 项为
15.已知正三棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则其外接球的表面积为
16.设函数 ，若方程 恰有两个不相等的实根 ，则
的最大值为
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）
17.（原创）（本题满分 12 分）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的
名字命名.对 而言，若其内部的点 满足 ，则称
为 的费马点.如下图所示，在 中，已知 ,设 为 的费马点，
且满足 ， .
（1）求 的面积； （2）求 的长度.
18.（本题满分 12 分）数列 满足 ，
（1）证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项之和为
19.（原创）（本题满分 12 分）已知四棱锥 的底面为正方形，且该四棱锥的每条
棱长均为 ，设 的中点分别为 ,点 在线段 上，如下图.
（1）证明：
（2）当 平面 时，求直线 和平面 所成角
的正弦值.
yx,
≥
≥+−
≤−+
0
022
04
y
yx
yx
yx 23 +
11 60,50,40,32,24,18,12,8,4,2,0
41
34 332
<
≥=
)0(
)0()( 2 xx
xexf
x
λ=))(( xff 21, xx
21 xx +
ABC∆ P 120=∠=∠=∠ CPABPCAPB P
ABC∆ ABC∆ 45=∠BAC P ABC∆
45=∠PBA 2=PA
PAC∆ PB
{ }na n
nn aa 3231 ×+=+ 31 =a
n
na
3
{ }na
{ }na n nS
ABCDP −
2 CDBC, FE, G PA
GCEF ⊥
//BG PEF GC PEF4
20.（原创）（本题满分 12 分）已知函数
（1）经过点 作函数 图像的切线，求切线的方程.
（2）设函数 ，求 在 上的最小值.
21.（原创）（本题满分 12 分）已知椭圆方程为
（1）设椭圆的左右焦点分别为 ，点 在椭圆上运动，求 的值.
（2）设直线 和圆 相切，和椭圆交于 两点， 为原点，线段 分别
和圆 交于 两点，设 的面积分别为 ，求 的取值范围.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修 4－4：坐标系与参数方程（本题满分 10 分）
已知曲线 的参数方程为 ，（ 为参数）
（1）若点 在曲线 上，求 的值；
（2）过点 的直线 和曲线 交于 两点，求 的取值范围.
23. （原创）选修 4－5：不等式选讲（本题满分 10 分）
已知正实数 满足
（1）证明： ；
（2）证明：
xxxf ln2)( +=
)2,0( − )(xf
)()1()( xfexxg x −−= )(xg ),0( +∞
136
22
=+ yx
21, FF P 2121 PFPFPFPF ⋅+⋅
l 222 =+ yx BA, O OBOA,
222 =+ yx DC, CODAOB ∆∆ , 21,SS
2
1
S
S
C
−=
+=
αα
αα
cossin
cossin
y
x α
),2
2( mM C m
)0,1(P l C BA, PBPA
11 +
ba, )lg(lglg baba +=+
822 ≥+ ba
4
25)1)(1( 22
≥+
++
ba
ba5
2019 年重庆一中高 2020 级高三上期 11 月月考试题参考答案
数 学（理）
一、选择题.(每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B C D C A C A B D D
二、填空题.(每题 5 分,共 20 分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题.(共 70 分)
17.解：（1）由已知 ，所以
在 中， ，故
所以 的面积
（2）在 中，由正弦定理 （*）
而 ,
代入（*）式得
18.解：（1）由已知
由定义知 为等差数列，且公差为 ，首项为
故
（2）由已知
故
错位相减得
即 ，所以
12 840 π100 22ln2 −
1545120180 =−−=∠PAB 301545 =−=∠PAC
PAC∆ 3030120180 =−−=∠PCA 2== PCPA
PAC∆ 32
3222
1sin2
1 =×××=∠⋅⋅= PACPCPAS
PAB∆
45sin
15sin2
45sin15sin
=⇒= PBPAPB
4
26
2
1
2
2
2
3
2
2)3045sin(15sin
−=×−×=−=
2
245sin =
=PB 13 −
3
2
333
2
33
323
3 1
1
11
1 =−⇒+=×+= +
+
++
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n aaaaa
n
na
3 3
2 131
1 =a
13)12(3
12
3
2)1(13
−+=⇒+=−+= n
nn
n nanna
1210 3)12(373533 −++⋅⋅⋅+×+×+×= n
n nS
n
n nS 3)12(3735333 321 ++⋅⋅⋅+×+×+×=
nn
n nS 3)12()333(2332 1210 +−+⋅⋅⋅+++×=− −
nn
n
n nnS 323)12(31
)31(32332
1
0 ⋅−=+−−
−×+×=−
−
n
n nS 3⋅=6
19.解：（1）证明：由已知 为正四棱锥，设 交于点 ，
由正棱锥的性质可知 平面 ，所以 ，
由 于 正 方 形 满 足 ， 为 的 中 位 线 ， 故 ， 所 以
所以 平面 ，而 平面 ，所以
（2）分别以 为坐标轴建立如图坐标
系，
此时
设 ，且 ，其中
即 ，
设平面 的法向量为 ，
由于 ,
由 解得
由 平面 知
解得 ，此时 ，由于 ，故
所以直线 的方向向量 ，设 和平面 所成角为 ，则
20.解：（1）由于 ，设切点坐标为 ，则
切线斜率 ；另一方面
故 ，此时切点坐标为
所以切线方程为 ，即
（2）由已知 ，故
ABCDP − BDAC, O
⊥PO ABCD EFPO ⊥
ABCD BDAC ⊥ EF BCD∆ BDEF //
ACEF ⊥
⊥EF PAC ⊆CG PAC GCEF ⊥
OPOCOB ,,
)0,2
1,2
1(),0,2
1,2
1(),1,0,0(),0,1,0( −− FEPA
),,( zyxG PAPG λ= 10 ≤≤ λ
)1,,0()1,1,0()1,,( λλλ −−⇒−−=− Gzyx
PEF ),,( cbam =
)1,2
1,2
1( −−=EP )0,0,1(−=EF
=⋅
=⋅
0
0
EFm
EPm )1,2,0(=m
//BG PEF 031)1,2,0()1,,1(0 =−=⋅−−−⇒=⋅⇒⊥ λλλmBGmBG
3
1=λ )3
2,3
1,0( −G )0,1,0(C )3
2,3
4,0( −=GC
GC )1,2,0( −=n GC PEF θ
5
3
140140
1)1(2200,cossin =
++⋅++
×−+×+×=
⋅
⋅=>
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