秘密★启用前 【考试时间：2019 年 11 月 22 日 15:00-17:00】
2019 年重庆一中高 2020 级高三上期半期考试
数学（文科）测试试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在下列各题的四个选项中，只有一
个选项是符合题意的）
1．设全集 集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．等比数列 中， 、 是函数 的两个零点，则
（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量 ， ， ，若 // ，则 的
值为（ ）
A. B. C. D.
5．(原创）“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
U Z= ， { }2| 2 0A x Z x x= ∈ − − ≥ U A =
{0} {1} {0,1} { }1,0,1,2−
z (1 ) 1 2z i i+ = + z
{ }na 5a 7a ( ) 2 4 3f x x x= − + 3 9 =a a⋅
3− 3 4− 4
( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b+ c tanα
2 1
2
1
2
− 2−
2 6m< <
2 2
12 6
x y
m m
− =− −
(1 2)A ，
1 0x y− + = 3 0x y+ − =
2 0 + 3 0x y x y− = − =或 2 0 1 0x y x y− = − + =或7．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8．(原创）定义域为 的奇函数 的图象关于直线 对称，且 ，
，则 （ ）
A. B. C. D.
9．如图，正三棱柱 中， ， 是 的中点，则 与平面
所成角的正弦值等于（ ）
A. B.
C. D.
10．已知正实数 满足 ，若对任意满足条件的 都有
恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．(原创）已知 的三个内角 所对的边分别为 ， 的外接圆的面积
为 ，且 ，则 的最大边长为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数 在 上最小的零点为 ，曲线 在点 处的
切线上有一点 ，曲线 上有一点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13． __________.
( ) 21 4 5f x x x− = + − ( )1f x + =
2 8 7x x+ + 2 6x x+ 2 2 3x x+ − 2 6 10x x+ −
R ( )y f x= 2x = (1) 2018f =
(2) 2019f = (2018) (2019)f f+ =
4035 4036 4037 4038
1 1 1ABC A B C− 1 2AA AB= D 1BB AD
1 1AAC C
2
2
3
2
6
4
10
4
,x y 3x y xy+ + = , ,x y
2( ) ( ) 6 0x y a x y+ − + + ≥ a
2 6 7 4 6 8
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆
3π 2 2 2cos cos cosA B C− + 1 sin sinA C= + ABC∆
2 3 3 2 3
2( ) sinf x xππ= − (0, )+∞ 0x ( )y f x= 0( ,0)x
P 23 ln2y x x= − Q | |PQ
10
5
5
5
3 10
10
3 5
10
cos27 cos18 sin 27 sin18° ° ° °− =14．已知 ,若数列 是递增数列，则实数 a 的取值范围是________.
15.(原创）在直三棱柱 中， 且 , ，设其外接球
的球心为 ，且球 的表面积为 ，则 的面积为__________.
16．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心，
为半径的圆交 的右支于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，则 的离心
率为_________.
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.)
17．(12 分）(原创）已知函数 .
（1）求 的对称轴；
（2）当 时，若 ，求 的值.
18．(12 分）已知数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求 的前 项和.
19．(12 分）如图，在三棱柱 中， 分别是 、 的中点.
（1）设棱 的中点为 ，证明： 平面 ；
（2）若 ， ，
且平面 平面 ，求三棱柱 的高.
20．(12 分）已知点 和直线 ，直线 过直线 上的动点 且与直线 垂直，
线段 的垂直平分线 与直线 相交于点 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设直线 与轨迹 相交于另一点 ，与直线 相交于点 ，求 的最小值.
21．(12 分）已知函数 ．
(2 )na a n a= − + { }na
1 1 1ABC A B C− 90BAC °∠ = 3AB = 1 4BB =
O O 28π ABC∆
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F A F FA
C M N AM N C
2 2( ) 3cos 3sin 2sin cosf x x x x x= − +
( )f x
[0, ]α π∈ ( ) 1f α = α
{ }na 1 1a = ( )*
1 2 1n na a n N+ = + ∈
na
( ) ( )21 log 1n n nb a a= + ⋅ + { }nb n
1 1 1ABC A B C− ,P Q 1AA 1 1AC
1BB D 1 //C D 1PQB
2AB = 1 1 4AC AA AC= = = 1 1 60AA B∠ =
1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B 1 1 1ABC A B C−
( )1,0F 1 : 1l x = − 2l 1l M 1l
MF l 2l P
P C
PF C Q 1l N NP NQ⋅
( ) ( )2e 2 R Rxf x mx m x m= − − ∈ ∈，（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
22．(10 分）在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），
曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极
轴建立极坐标系.
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，
求 的面积（其中 为坐标原点）.
23．(10 分）已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）设函数 的最小值为 ，实数 满足 ， ， ，
求证： .
2019 年重庆一中高 2020 级高三上期半期考试参考答案
1-12 CA B D C D A C C B B D
13. 14. 15. 16.
( )f x
1m = ( ) ln ln 2f x x bx− ≥ + 0x > b
xOy 1C 4 3 ,x t
y t
= + = −
t
2C
7 cos ,
7 sin2
x
y
θ
θ
=
=
θ x
1C 2C
3
πθ = 1C M 6
πθ = 2C N
MON∆ O
( ) 1 3f x x x= − + −
( ) 1f x x≤ +
( )f x c ab 0a > 0b > a b c+ =
2 2
11 1
a b
a b
+ ≥+ +
2
2
2a < 3 3
2
4
317．（1） ...............2 分
得： ...............4 分
所以对称轴为： ...............6 分
（2）因为 ，所以 ， ...............8 分
又因为 ，即 ， ...............10 分
所以 或 ，则 或 ................12 分
18．（1）因为 ，所以 ，...............2 分
则数列 是首项为 公比为 2 的等比数列，...............4 分
则： 即 ；...............6 分
（2） ，...............7 分
则： ， ，......9 分
两式相减： .
则 的前 项和为： . ...............12 分
19．（1）连接 ，在三棱柱 中， ，
是 的中点， 是 的中点， ，
四边形 是平行四边形， ...............2 分
， 平面 ， 平面 ， 平面 .
、 分别是 、 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ， ...............4 分
， 、 平面 ， 平面 平面 .
( )f x sin 2 3 cos2 2sin 2 3x x x
π = + = +
2 ( )3 2x k k Z
π ππ+ = + ∈
( )2 12
kx k Z
π π= + ∈
0 α π≤ ≤ 723 3 3
π π πα≤ + ≤
( ) 1f α = 1sin 2 3 2
πα + =
52 3 6
π πα + = 13
6
π
4
πα = 11
12
π
( )*
1 2 1n na a n N+ = + ∈ 1 1 2( 1)n na a+ + = +
{ 1}na + 2
1 2n
na + = 2 1n
na = −
( ) ( )21 log 1 2n
n n nb a a n= + ⋅ + = ⋅
1 2 31 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
1 2 3 1 1 12(1 2 )1 2 2 2 ... 2 2 2 2 ( 1) 21 2
n
n n n n
nS n n n+ + +−= − ⋅ − − − − + ⋅ = − + ⋅ = + − ⋅−
{ }nb n 12 ( 1) 2nn ++ − ⋅
AD 1 1 1ABC A B C− 1 1//AA BB
D 1BB P 1AA 1//AP DB∴
∴ 1ADB P
1//AD PB∴ AD ⊄ 1PQB 1PB ⊂ 1PQB //AD∴ 1PQB
P Q 1AA 1 1AC 1 //AC PQ∴
1AC ⊄ 1PQB PQ ⊂ 1PQB 1 //AC∴ 1PQB
1AD AC A= AD 1AC ⊂ 1AC D ∴ 1 //AC D 1PQB平面 ， 平面 ； ...............6 分
（2）三棱柱的高转化成三棱锥 的高，过点 作 交 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，...............8 分
在 中， ， .
又因为 ， ................10 分
所以 ，所以 ，
解得 ................12 分
20．（1） 为线段 的垂直平分线 ...............2 分
即点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离
由抛物线的定义可知，点 的轨迹为： ...............4 分
（2）由已知得直线 斜率存在，且斜率不为零,设 ， ，
将直线 代入抛物线方程得
则 ...............5 分
...............8 分
又 ，
........10 分
当且仅当 ，即 时取等号
1C D ⊂ 1AC D 1 //C D∴ 1PQB
1C ABC− B 1BM A A⊥ 1A A M
1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B 1 1AAC C 1 1 1AA B B A A=
1BM A A⊥ BM ⊂ 1 1AA B B BM ⊥ 1ACC
ABM∆ 1 1 60BAM AA B∠ = ∠ = sin 3BM AB BAM∴ = ∠ =
1 2 15 152ABCS∆ = × × =
1
1 34 4 42 2ACCS∆ = × × × =
1 1C ABC B ACCV V− −= 1 1 3 4 33 3ABCh S∆× × = × ×
4 15
5h =
l MF PF PM∴ =
P ( )1,0F P 1 : =-1l x
P 2 4y x=
PF ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
( ): 1PF y k x= − ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
( )22 4 22 4 4 16 16 0k k k∆ = + − = + >
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
++ =∴
=
( )1, 2N k− − ( )1 11,NP x kx k∴ = + + ( )2 21,NQ x kx k∴ = + +
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1NP NQ x x k x x k x x x x∴ ⋅ = + + + + + = + + + +
( ) 2 4 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 4 8 4 4 41 2 4 8 2 4 8 16k k kk k kk k k k
+ + += + ⋅ + = = + + ≥ ⋅ + =
2
2
44k k
= 1k = ± ...............12 分
21．（1） 的定义域是 ， ．..............1 分
① 时， ， 在 上单调递增：...............3 分
② 时， ，解得 ，
当 时， ，则 在 上递减；
当 时， ，则 在 上递增．...............5 分
（2）当 时， ，
依题意知不等式 ，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ， ，
令 ， ，...............7 分
易知 在 上递减，在 上递增，
则 ，.........9 分
即 ，设 ，则 ，
，则 递增，又 故 ， ，........10 分
∴ ，解得 ．...............12 分
22．（1）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得：
( )
min
16NP NQ∴ ⋅ =
( )f x R ( ) 2' 2e 2xf x m= −
0m ≤ ( )' 0f x > ( )f x R
0m > ( ) 2' 2e 2 0xf x m= − = 1 ln2x m=
1 ln2x m< ( )' 0f x < ( )f x 1 ln2 m −∞ ，
1 ln2x m> ( )' 0f x > ( )f x 1 ln2 m + ∞ ，
1m = ( ) 2e 2 1xf x x= − −
( ) ln ln 2f x x bx− ≥ +
2e 2 1 ln ln 2x x x bx− − − ≥ + ( )0 + ∞，
( )2e ln 2 ln 2ex x b x− − + ≥ ( )0 + ∞，
( ) ( )2e ln 2xg x x b x= − − + ( ) ( )2 1' 2e 2xg x bx
= − − +
( ) ( )02
0
0
1' 2e 2 0xg x bx
= − − + = ( )02
0
0
12e 2 0x b xx
− = + >
( )g x ( )00 x， ( )0,x +∞
( ) ( ) ( ) ( )0 02 2
0 0 0 0 0min e ln 2 1 2 e ln 1 ln 2ex xg x g x x b x x x= = − − + = − − + ≥
( ) 02
0 02 1 e ln 2 0xx x− + ≤ 02 0t x= > ( ) ( )1 e ln 0th t t t= − + ≤
( ) 1' e 0th t t t
= + > ( )h t ( )1 0h = ， 00 2 1t x< = ≤ 0
10 2x< ≤
02
0
12 2e 2e 2xb x
+ = − ≤ − 2e 4b ≤ −
1C 4 3 ,
,
x t
y t
= + = −
t t 3 4x y+ =化简极坐标方程为： ...............2 分
曲线 ： （ 为参数）消去参数 得：
化简极坐标方程为： ...............5 分
（2）联立 即 ...............7 分
联立 即 ...............9 分
故 ...............10 分
23．（1）①当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ 无解；...............1 分
②当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ ．...............2 分
③当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ ...............3 分
∴原不等式的解集为 ................5 分
（2）证明：由绝对值不等式性质得， ，
∴ ，即 ．.............7 分
令 ， ，则 ， ， ， ，
......10 分
sin 26
πρ θ + =
2C
7 ,
7 ,2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
θ θ
2 24 17 7
x y+ =
( )2 21 3sin 7ρ θ+ =
26
3
sin
πρ θ
πθ
+ =
=
2
3
ρ
πθ
=⇒ =
2, 3M
π
( )2 21 3sin 7
6
ρ θ
πθ
+ =
=
2
6
ρ
πθ
=⇒ =
2, 6N
π
1 1· ·sin 2 2 sin 12 2 3 6MONS OM ON MON
π π
∆
= ∠ = × × × − =
1x < 4 2 1x x− ≤ + 1x ≥
1x < x
1 3x≤ ≤ 2 1x≤ + 1x ≥
1 3x≤ ≤ 1 3x≤ ≤
3x > 2 4 1x x− ≤ + 5x ≤
3x > 3 5x< ≤
[ ]1,5
( ) ( )1 3 1 3 2x x x x− + − ≥ − + − =
2c = 2a b+ =
1a m+ = 1b n+ = 1m > 1n > 1, 1a m b n= − = − 4m n+ =
( ) ( )2 22 2 1 1
1 1
m na b
a b m n
− −+ = ++ +
1 14m n m n
= + − + + 4
mn
= 2
4 1
2
m n
≥ =
+
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