江苏省苏州市2020届高三上学期期中考试数学（Word版带答案）.DOCX

1 2019～2020 学年第一学期高三期中调研试卷 数　　学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 2019．11 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 已知集合 A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|x＞0}，则 A∩B＝________． 2. 已知复数 z 满足 z 2＋i＝i(i 为虚数单位)，则复数 z 的实部为________． 3. 已知向量 a＝(x，2)，b＝(2，－1)，且 a⊥b，则实数 x 的值是________． 4. 函数 y＝ lg（x－1） 2－x 的定义域为________． 5. 在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，Sn 是{an}的前 n 项和，则 S5＝________． 6. 已知 tan α＝2，则 sin α cos α＋2sin α的值为________． 7. “x＞2”是“x＞1”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要” 或“既不充分又不必要”) 8. 已知函数 y＝sin 2x 图象上的每个点向左平移 φ(0＜φ＜ π 2 )个单位长度得到函数 y＝ sin(2x＋ π 6 )的图象，则 φ 的值为________． 9. 设函数 f(x)＝{ex，x ≥ 0， 2x＋1，x＜0，则不等式 f(x＋2)＞f(x2)的解集为________． 10. 已知函数 f(x)＝ln x－m x的极小值大于 0，则实数 m 的取值范围是________． 11. 在各项都为正数的等差数列{an}中，已知 a5＝3，则 a3a7 的最大值为________． 12. 已知菱形 ABCD 的棱长为 3，E 为棱 CD 上一点且满足CE → ＝2ED → .若AE → ·EB → ＝－6， 则 cos C＝________． 13. 若方程 cos(2x－ π 6 )＝3 5在(0，π)上的解为 x1，x2，则 cos(x1－x2)＝________． 14. 已知函数 f(x)＝3x2－x3，g(x)＝ex－1－a－ln x．若对于任意 x1∈(0，3)，总是存在两 个不同的 x2，x3∈(0，3)，使得 f(x1)＝g(x2)＝g(x3)，则实数 a 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，C＝120°，c＝7，a－b＝2. (1) 求 a，b 的值； (2) 求 sin(A＋C)的值．2 16. (本小题满分 14 分) 已知向量 a＝(cos x， 3cos x)，b＝(cos x，sin x)． (1) 若 a∥b，x∈[0， π 2 ]，求 x 的值； (2) 若 f(x)＝a·b，x∈[0， π 2 ]，求 f(x)的最大值及相应 x 的值．3 17. (本小题满分 14 分) 已知等比数列{an}满足 a2＝2，且 a2，a3＋1，a4 成等差数列． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 设 bn＝|an－2n＋1|，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.4 18. (本小题满分 16 分) 如图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧 CD，下部是一个矩形 ABCD，圆弧 CD 所在圆 的圆心为 O.经测量 AB＝4 m，BC＝ 3 3 m，∠COD＝120°，现根据需要把此窑洞窗口形状 改造为矩形 EFGH，其中 E，F 在边 AB 上，G，H 在圆弧 CD 上．设∠OGF＝θ，矩形 EFGH 的面积为 S. (1) 求矩形 EFGH 的面积 S 关于变量 θ 的函数关系式； (2) 求 cos θ为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？5 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝ x－ 1 x. (1) 求 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程； (2) 求函数 F(x)＝f(x)－x 的极大值； (3) 若 af(x)≤ln x 对 x∈(0，1]恒成立，求实数 a 的取值范围．6 20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}满足(n－1)an＋1＝nan－a1，n∈N*. (1) 求证：数列{an}为等差数列； (2) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a2－a1＝1，且对任意的正整数 n，都有1 3＜ 1 S1＋ 1 S2＋ 1 S3 ＋…＋ 1 Sn＜4 3，求整数 a1 的值；7 (3) 设数列{bn}满足 bn＝an＋ 3 10.若 a2－a1＝1 5，且存在正整数 s，t，使得 as＋bt 是整数， 求|a1|的最小值.8 高三数学附加题试卷(一)　第页(共 2 页)(这是边文，请据需要手工删加) 2019～2020 学年第一学期高三期中调研试卷(一) 数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 从 A，B，C 三小题中选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做，则 按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修 42：矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M＝[ a 1 3 b ]的特征值 λ＝－1 所对应的一个特征向量为[－1 3 ]. (1) 求矩阵 M； (2) 设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C′的方程为 y2＝x，求曲线 C 的方程． B. (选修 44：坐标系与参数方程) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos α＋2 3sin α(α 为参数)，直线 l 的参数方程为 {x＝1＋tcos β， y＝tsin β (t 为参数，0＜β＜ π 2 )．若曲线 C 被直线 l 截得的弦长为 13，求 β 的值． C. (选修 45：不等式选讲) 设正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，求证： a b＋c＋ b c＋a＋ c a＋b≥3 2.9 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤． 22. 某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是3 4，甲、丙二人都没 有击中目标的概率是 1 12，乙、丙二人都击中目标的概率是1 4.甲、乙、丙是否击中目标相互独 立． (1) 求乙、丙二人各自击中目标的概率； (2) 设乙、丙二人中击中目标的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望． 23. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AA1＝b，点 E，F 分别在棱 BB1，CC1 上，且 BE＝1 3BB1，C1F＝1 3CC1.设 λ＝b a. (1) 当 λ＝3 时，求异面直线 AE 与 A1F 所成角的大小； (2) 当平面 AEF⊥平面 A1EF 时，求 λ 的值．10 高三数学试卷(一)参考答案　第页(共 4 页) 2019～2020 学年第一学期高三期中调研试卷(苏州) 数学参考答案及评分标准 1. {1，2}　2. －1　3. 1　4. (1，2)　5. 31　6. 2 5　7. 充分不必要　8. π 12　9. (－1，2) 10. (－∞，－1 e)　11. 9　12. 1 3　13. －3 5　14. [1，e2－ln 3－4) 15. 解：(1) 由余弦定理 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ，且 c＝7，C＝120°得 a2＋b2＋ab＝49.(3 分) 因为 a－b＝2，所以 b2＋2b－15＝0.(5 分) 因为 b＞0，所以 b＝3，a＝5. 综上：a＝5，b＝3.(7 分) (2) 由(1)知 a＝5，b＝3，c＝7，所以 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝13 14.(10 分) 因为 B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝ 1－cos2B＝3 3 14 .(12 分) 因为 sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B＝3 3 14 ， 所以 sin(A＋C)的值为3 3 14 .(14 分) 16. 解：(1) 因为 a＝(cos x， 3cos x)，b＝(cos x，sin x)，a∥b， 所以 cos xsin x＝ 3cos2x， 所以 cos x(sin x－ 3cos x)＝0，(2 分) 所以 cos x＝0 或 sin x－ 3cos x＝0，即 cos x＝0 或 tan x＝ 3.(4 分) 因为 x∈[0， π 2 ]，所以 x＝ π 2 或 x＝ π 3 .(6 分) (2) 因为 a＝(cos x， 3cos x)，b＝(cos x，sin x)， 所以 f(x)＝a·b＝cos2x＋ 3cos xsin x(8 分) ＝1＋cos 2x 2 ＋ 3 2 sin 2x＝sin(2x＋ π 6 )＋1 2.(10 分) 因为 x∈[0， π 2 ]，所以 2x＋ π 6 ∈[π 6 ， 7π 6 ]， 所以 sin(2x＋ π 6 )∈[－1 2，1]，所以 f(x)∈[0， 3 2 ]，(12 分) 所以 f(x)的最大值为3 2，此时 x＝ π 6 .(14 分) 17. 解：(1) 设等比数列{an}的公比为 q(不为 0)， 因为 a2 ，a3＋1，a4 成等差数列，所以 2(a3＋1)＝a2＋a4.(1 分) 因为 a2＝2，所以 2(2q＋1)＝2＋2q2， 解得 q＝2 或 q＝0(舍去)，所以 a1＝a2 q＝1，(3 分) 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n－1.(5 分) (2) 设 cn＝an－2n＋1＝2n－1－2n＋1，11 所以 cn＋1－cn＝2n－2(n＋1)＋1－(2n－1－2n＋1)＝2n－1－2， 所以 n≥3，cn＋1＞cn.(7 分) 因为 c4＝1＞0，所以 n≥4 时，cn＞0，即 n≥4 时，bn＝cn＝2n－1－2n＋1. 因为 c1＝0，c2＝－1，c3＝－1，所以 b1＝0，b2＝1，b3＝1， 所以 T1＝0，T2＝1，T3＝2.(10 分) 当 n≥4 时，Tn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn＝(0＋1＋1)＋b4＋b5＋…＋bn ＝2＋(23＋24＋…＋2n－1)－(7＋9＋…＋2n－1) ＝2＋23（1－2n－3） 1－2 －7＋2n－1 2 ·(n－3)＝2n－n2＋3.(13 分) 综上，Tn＝{0，n＝1， 1，n＝2， 2，n＝3， 2n－n2＋3，n ≥ 4. (14 分) 18. 解：(1) 如图，作 OP⊥CD 分别交 AB，GH 于 M，N. 由四边形 ABCD，EFGH 是矩形，O 为圆心，∠COD＝120°， 所以 OM⊥AB，ON⊥GH，点 P，M，N 分别为 CD，AB，GH 的中点，∠CON＝60°. 在 Rt△COP 中，CP＝2，∠COP＝60°， 所以 OC＝4 3 3 ，OP＝2 3 3 ， 所以 OM＝OP－PM＝OP－BC＝ 3 3 .(3 分) 在 Rt△ONG 中，∠GON＝∠OGF＝θ，OG＝OC＝4 3 3 ， 所以 GN＝4 3 3 sin θ，ON＝4 3 3 cos θ， 所以 GH＝2GN＝8 3 3 sin θ，GF＝MN＝ON－OM＝4 3 3 cos θ－ 3 3 ，(6 分) 所以 S＝GF·GH＝(4 3 3 cos θ－ 3 3 )·8 3 3 sin θ＝8 3(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0， π 3 )， 所以 S 关于 θ 的函数关系式为 S＝8 3(4cos θ－1)sin θ，θ∈(0， π 3 )．(8 分) (2) S′＝8 3(4cos2θ－4sin2θ－cos θ)＝8 3(8cos2θ－cos θ－4)．(10 分) 因为 θ∈(0， π 3 )，所以 cos θ∈(1 2，1)，所以 S′＝0，得 cos θ＝1＋ 129 16 ∈(1 2，1)．(12 分) 设 θ0∈(0， π 3 )且 cos θ0＝1＋ 129 16 ， 所以由 S′＞0，得 0＜θ＜θ0，即 S 在(0，θ0)上单调递增，12 由 S′＜0，得 θ0＜θ＜ π 3 ，即 S 在(θ0， π 3 )上单调递减，(14 分) 所以当 θ＝θ0 时，S 取得最大值， 所以当 cos θ＝1＋ 129 16 时，矩形 EFGH 的面积 S 最大．(16 分) 19. 解：(1) 因为 f(x)＝ x－ 1 x ，所以 f′(x)＝ 1 2 x ＋ 1 2x x ，所以 f′(1)＝1.(2 分) 因为 y＝f(x)经过(1，0)，所以 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 y＝x－1.(4 分) (2) 因为 F(x)＝ x－ 1 x －x，x＞0， 所以 F′(x)＝ 1 2 x ＋ 1 2x x －1，F′(x)在(0，＋∞)上递减． 又 F′(1)＝0，(5 分) 所以当 x∈(0，1)时，F′(x)＞0，即 F(x)在 x∈(0，1)上递增； 当 x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，即 F(x)在 x∈(1，＋∞)上递减，(7 分) 所以在 x＝1 处，F(x)的极大值为 F(1)＝－1.(8 分) (3) 设 g(x)＝ln x－af(x)＝ln x－a( x－ 1 x)，x∈(0，1]， 所以 g′(x)＝1 x－a 2( 1 x ＋ 1 x x)＝ －a（ x）2＋2 x－a 2x x . ①当 a≤0 时，g′(x)＞0 对 x∈(0，1]恒成立，所以 g(x)在(0，1]上递增． 又 g(1)＝0，所以∃x0∈(0，1)时，g(x0)＜0，这与 af(x)≤ln x 对 x∈(0，1]恒成立矛盾；(10 分) ②当 a≥1 时，设 φ(x)＝－a( x)2＋2 x－a，x∈(0，1]，Δ＝4－4a2≤0，所以 φ(x)≤0，x ∈(0，1]，所以 g′(x)≤0 对(0，1]恒成立，所以 g(x)在(0，1]上递减． 又 g(1)＝0，所以 g(x)≥0 对 x∈(0，1]恒成立，所以 a≥1 成立；(12 分) ③当 0＜a＜1 时，设 φ(x)＝－a( x)2＋2 x－a，x∈(0，1]，Δ＝4－4a 2＞0，解 φ(x)＝0 得两根为 x1，x2，其中 x2＝1＋ 1－a2 a ＞1， x1＝1－ 1－a2 a ＝ a 1＋ 1－a2∈(0，1)，所以 0＜x1 ＜1，x2＞1，所以 x∈(x1，1)，φ(x)＞0，g′(x)＞0，所以 g(x)在(x1，1)上递增． 又 g(1)＝0，所以 g(x1)＜0，这与 af(x)≤ln x 对 x∈(0，1]恒成立矛盾．(15 分) 综上：a≥1.(16 分) 20. (1) 证明：因为(n－1)an＋1＝nan－a1，n∈N*　①， 所以(n－2)an＝(n－1)an－1－a1，n≥2 且 n∈N*　②. ①－②，得(n－1)an＋1－2(n－1)an＋(n－1)an－1＝0，n≥2 且 n∈N*，(2 分) 所以 an＋1－2an＋an－1＝0，n≥2 且 n∈N*， 所以 an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1， 所以数列{an}为等差数列．(4 分) (2) 解：因为 a2－a1＝1，所以{an}的公差为 1. 因为对任意的正整数 n，都有1 3＜ 1 S1＋ 1 S2＋ 1 S3＋…＋ 1 Sn＜4 3， 所以1 3＜ 1 S1＜4 3，所以3 4＜S1＜3，即3 4＜a1＜3， 所以 a1＝1 或 2.(6 分)13 当 a1＝1 时，a2＝2，S1＝1，S2＝3， 所以 1 S1＋ 1 S2＝1＋1 3＝4 3，这与题意矛盾，所以 a1≠1；(7 分) 当 a1＝2 时，a n＝n＋1，S n＝n（n＋3） 2 ＞0， 1 S1＝1 2＞1 3， 1 S1＋ 1 S2＋ 1 S3＋…＋ 1 Sn＞1 3恒成 立．(8 分) 因为 1 Sn＝2 3(1 n－ 1 n＋3)， 1 S1＋ 1 S2＋ 1 S3＋…＋ 1 Sn＝2 3(1－1 4＋1 2－1 5＋1 3－1 6＋…＋ 1 n－2－ 1 n＋1＋ 1 n－1－ 1 n＋2＋1 n－ 1 n＋3) ＝2 3(1＋1 2＋1 3－ 1 n＋1－ 1 n＋2－ 1 n＋3)＜11 9 ＜4 3. 综上，a1 的值为 2.(10 分) (3) 解：因为 a2－a1＝1 5，所以{an}的公差为1 5， 所以 an＝a1＋1 5(n－1)，所以 bn＝a1＋1 5n＋ 1 10.(11 分) 由题意，设存在正整数 s，t，使得 as＋bt＝l，l∈Z， 则 a1＋s 5－1 5＋a1＋t 5＋ 1 10＝l，即 20a1＝2(5l－s－t)＋1. 因为 5l－s－t∈Z，所以 2(5l－s－t)是偶数，所以|20a1|≥1，所以|a1|≥ 1 20.(14 分) 当 a1＝ 1 20时，b4＝19 20，所以存在 a1＋b4＝1∈Z. 综上，|a1|的最小值为 1 20.(16 分)