辽宁师大附中2020届高三上学期期中考试数学（文）（Word版带答案）.docx

辽宁师大附中 高三数学（文） 第 1 页共 9 页 辽宁师大附中 2020 届高三年级第二次考试 数学(文)试题 考试时间：120 分钟 第 Ⅰ 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m＝(　　) A．0 或 3　　　　B．0 或 3C．1 或 3 D．1 或 3 2. 已知 为虚数单位，若复数 ,则 (　　) A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列四个结论中：正确结论的个数是(　　) ①若 x∈R，则 是 的充分不必要条件； ②命题“若 x-sinx=0，则 x=0”的逆命题为“若 x≠0，则 x﹣sinx≠0”； ③若向量 满足 ，则 恒成立； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个 4．角 的终边经过点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．函数 的零点所在的区间是（） A． B． C． D． 6.已知向量 和 ，若 ，则 =（　　） A．64 B．8 C．5 D． 7. 设 在 中 ， 、 、 分 别 是 角 、 、 的 对 边 ， 若 ，则 的形状为（ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定 α (2, 1)− sin cosα α+ 3 5 5 − 3 5 5 5 5 − 5 5 ( ) ln 2 3xf x x= + − (0,1) (2,3) (1,2) (3,4) i 2)1(1 iz −+= =|| z 2 5 ABC∆ a b c A B C AaBcCb sincoscos =+ ABC∆辽宁师大附中 高三数学（文） 第 2 页共 9 页 8. 如图，在正方形 ABCD 中，E,F 分别是 BC,CD 的中点，沿 AE,AF,EF 把正方形折 成一个四面体，使 B,C,D 三点重合为 P 点，点 P 在△AEF 内的 射 影为 O，则下列说法正确的是( ) A. O 是△AEF 的垂心 B. O 是△AEF 的内心 C. O 是△AEF 的外心 D. O 是△AEF 的重心 9.函数 的图像如图所示，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． ． 10.已知 满足 则 从最小值变化到 时，所有满足条件的点 构成的平面区域面积为（ ） A． B． C． D． 11. 椭圆 的左焦点为 ，若 关于直线 的对 称点 是椭圆 上的点，则椭圆 的离心率为（） A． B． C. D. 12. 已知函数 ，则使 成立的 x 的取值范围为（） A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷 非选择题（共 60 分） 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．曲线 在点 处的切线斜率为_____________. ,x y 0 0 , 2 x y y x ≤  ≥  − ≤ z x y= + 1 ( ),x y 7 4 3 4 3 2 3 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F F 3 0x y+ = A C C 1 2 3 1 2 − 3 2 3 1− 1( ) ( )x xf x x e e = − ( ) (2 1)f x f x> − 1 1( , )3 3 − 1( , ) (1, )3 −∞ +∞ 1( ,1)3 1 1( , ) ( , )3 3 −∞ − +∞ ( ) 3 29 32f x x x x= + − ( )( )1, 1f bxAxf ++= )sin()( ϕω )(xf 12 1sin2 1)( += xxf 2 1 2 1sin)( += xxf 12sin2 1)( += xxf π 2 1 2sin)( += xxf π辽宁师大附中 高三数学（文） 第 3 页共 9 页 14.如图所示的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm，它是水平放 置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是_____________ 15 y＝3＋x＋x2 x＋1 (x＞0)的最小值是________． 16、已知四边形 为矩形, , 为 的中点,将 沿 折起,得到四棱锥 ,设 的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三 个命题: ① 平面 ，且 的长度为定值 ； ②三棱锥的最大体积为； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得 . 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12 分)已知等差数列 的前 n 项和为 ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求 ，并求当 取何值时 有最小值. 18. (12 分)设函数 . （1）求 的单调递增区间； （2）若角 满足 ， ， 的面积为 ，求 的值. ( ) 2 2sin 2 sin cos6f x x x x π = + + −   ( )f x A ( ) 1f A = 3a = ABC∆ 3 2 b c+ { }na nS 52 −=a 126 −=S { }na ns n nS辽宁师大附中 高三数学（文） 第 4 页共 9 页 19. （12 分） 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ， ，D 为 AA1 的中点， 点 C 在平面 ABB1A1 内的射影在线段 BD 上. (1)求证：B1D⊥平面 CBD； (2)若△CBD 是正三角形，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 20（12 分）．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间与最值； （2）若方程 在区间 内有两个不相等的实根，求实数 的取值范围．（其中 为自然对数的底数） 21（12 分）平面直角坐标系 中,过椭圆 ： 的右焦点 作 直 交 于 两点, 为 的中点,且 的斜率为 . (1)求椭圆 的方程； (2) 为 上的两点,若四边形 的对角线 ,求四边形 面积的最大值。 22. (10 分)在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数），在以原 点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 的方程为 ． 1 2 2AA AB= = 1 3BAA π∠ = 2( ) 2lnf x x x= − ( )f x 32 ln 0x x mx x+ − = 1 ,ee      m e xOy M 2 2 2 2+ =1( > >0)x y a ba b F 3 0x y+ − = M ,A B P AB OP 1 2 M ,C D M CD AB⊥ACBD ACBD辽宁师大附中 高三数学（文） 第 5 页共 9 页 （1）写出直线的普通方程和圆 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线与圆 相交于 两点，求 的值． 辽宁师大附中 2020 届高三年级第二次考试 数学（文）试题 答案 一选择题 BDADC CBACA DC 二、填空题：13. 9 14.8 15. 2 3－1 16. ①② 三解答题： 17. .解：（1）设{an}的公差为 d，由题意得 ．..............2 分 得 a1=–7，d=2．.......................................................................................4 分 所以{an}的通项公式为 an=2n–9．.........................................................6 分 （2）由（1）得 Sn=n2–8n=（n–4）2–16....................................................10 分 所以当 n=4 时，Sn 取得最小值，最小值为–16．..............................12 分 18 .............6 分    −=+ −=+ 452 5 1 1 da da辽宁师大附中 高三数学（文） 第 6 页共 9 页 （2）由条件 ， ∵ ，∴ ，∴ ，解得 . ∵ ，∴ . 又 ，化简得 ，则 ∴ ..............12 分 19(1)证明：设点 在平面 内的射影为 ，则 ， ， 且 ，因 ，所以 .………………………2 分 在 中， ， ，则 ， 在 中， ， ，则 ， 故 ，故 .……………………………………………4 分 因 ，故 .……………………5 分 (2) ，……………………………………………6 分 由(1)得 ，故 是三棱锥 的高，………………………7 ( ) sin 2 16f A A π = − =   0 2A π< < 526 6 6A π π π− < − < 2 6 2A π π− = 3A π= 1 3sin2 2S bc A= = 2bc = 2 2 2 cos 33b c bc π+ − = ( )2 3 3b c bc+ − = ( )2 9b c+ = 3b c+ = C 1 1ABB A E E BD∈ CE CBD⊂ 平面 1 1CE ABB A⊥ 平面 1 1 1B D ABB A⊂ 平面 1CE B D⊥ ABD∆ 1AB AD= = 3BAD π∠ = 3 2 3ABD ADB ππ π− ∠ = ∠ = = 1 1A B D∆ 1 1 1 1A B A D= = 1 1 2 3B A D π∠ = 1 1 1 1 2 3 2 6A B D A DB ππ π− ∠ = ∠ = = 1 3 6 2B DB π π ππ∠ = − − = 1BD B D⊥ CE BD E= 1B D CBD⊥ 平面 1 1 1 1 1 3 3ABC A B C A ABC C A ABV V V− − −= = 1 1CE ABB A⊥ 平面 CE 1C A AB−辽宁师大附中 高三数学（文） 第 7 页共 9 页 分 是正三角形， ， ，………………………8 分 ，………………………9 分 ，………………………11 分 故三棱柱的体积 ，故三棱柱 的体积为 .…12 分 20．解（1）∵ ， ， ∴ ， ∴令 ，即 ，解得： . 令 ，即 ，解得： ， ∴函数 的单调增区间是 ；单调减区间是 ， ∴当 时， ， 无最小值. .......4 分 （2）∵方程 在区间 内有两个不相等的实根， ∴方程 在区间 内有两个不相等的实根， ∴函数 与 的图象在区间 内有两个不同交点， 又由（1）知函数 在 上单调递增；在 上单调递减 ， ∴当 时， ， ， CBD∆ 1BD AB AD= = = 3 2CE = 1 1 1 1 1 3| | | | sin 1 2 sin2 2 3 2A ABS AB AA BAA π= ⋅ ∠ = × × × = 1 1 1 1 3 3 1 3 3 2 2 4C A AB A ABV S CE− = ⋅ = × × = 1 1 1 1 33 4ABC A B C C A ABV V− −= = 1 1 1ABC A B C− 3 4 2( ) 2lnf x x x= − 0x > 2 2( 1)( 1)'( ) 2 x xf x xx x + −= − = − '( ) 0f x > 2( 1)( 1) 0x x x + −− > 0 1x< < '( ) 0f x < 2( 1)( 1) 0x x x + −− < 1x > ( )f x (0,1) (1, )+∞ 1x = max( ) (1) 1f x f= = − ( )f x 32 ln 0x x mx x+ − = 1 ,ee      22ln x x m− = − 1 ,ee      ( )f x y m= − 1 ,ee      ( )f x 1 ,1e      [ ]1,e 1x = max( ) 1f x = − min 1( ) min{ ( ), ( )}f x f f ee =辽宁师大附中 高三数学（文） 第 8 页共 9 页 又 ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴实数 的取值范围为 . ...12 分 21 解（1）设 ,则 ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ .∴ . ∵由题意知，椭圆 的右焦点为 ， ∴ .∴ .∴椭圆 的方程为 ...........5 分 （2）由 ，解得 或 . ∴ . 由题意可设直线 的方程为 ， 由 ，得 ， 设 ，则 ， ∴ ， 2 2 1 1( ) 2 3, 4( ) 2f f e ee e = − − > − = − < − 2 min( ) ( ) 2f x f e e= = − 2 12 1me − − ≤ − < − 2 11 2m e < ≤ + m 2 1(1,2 ]e + 1 1 2 2 0 0( ) ( ), ( , )A x y B x y P x y， ， ， 2 2 1 1 2 2+ =1x y a b 2 2 2 2 2 2+ =1x y a b 2 1 2 1 = 1y y x x − −− 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 ( ) = =1( ) b x x y y a y y x x + −−+ − 0 2 1 0 2 0 0 12 , 2 , 2 yx x x y y y x + = + = = 2 22a b= M ( 3,0) 2 2 3a b− = 2 26, 3a b= = M 2 2 + =16 3 x y 2 2 + =16 3 3 0 x y x y    + − = 4 3 3 3 3 x y  =  = − 0 3 x y = = 4 6 3AB = CD 5 3( 3)3y x n n= + − < < 2 2 + =16 3 x y y x n   = + 2 23 4 2 6 0x nx n+ + − = 3 3 4 4( , ), ( , )C x y D x y 2 3 4 3 4 4 2 6,3 3 n nx x x x −+ = − ⋅ = 2 2 3 4 3 4(1 1 )[( ) 4 ]CD x x x x= + + − ⋅ 24 93 n= −辽宁师大附中 高三数学（文） 第 9 页共 9 页 ∴四边形 的面积 . 当 时， ， ∴四边形 面积的最大值为 ．.............12 分 22 解（1）由直线的参数方程为 （t 为参数）， 得直线的普通方程为 . 又由 得圆 的直角坐标方程为 ..............4 分 （2）把直线的参数方程 （t 为参数），代入圆 的直角坐标方程， 得 ， 设 是上述方程的两实数根， 所以 ∴ ， 所以 ..............10 分 ABCD 21 8 6 92 9S AB CD n= ⋅ = − 0n = max 8 6 3S = ABCD 8 6 3 01222 =+− tt ,1,22 2121 =•=+ tttt 221111 21 21 21 =+=+=+ tt tt ttPBPA