数学（理科）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 ，则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知角 的终边经过点 ，则
A. 3 B. C. D. -3
4．函数 的一个零点落在下列哪个区间
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
6．已知数列 满足 ， ，则
A. 2 B. C. D. -3
7．《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”“今有竹九节，下三节容量四
升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为 4
升，上四节容量之和为 3 升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量
各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为
A. B. C. D.
8．函数 的图像可能是
{ }lg( 1)A x y x= = − { }1,0,1,2,3B = − =BA
{ }1,0− { }1,0,1− { }1,2,3 { }2,3
2:log 0, : 2 4xp x q< ≥ p q¬
a ( )2, 1P − sin cos
sin cos
a a
a a
− =+
1
3
1
3
−
xxxf 2log1)( +−=
)1,0( )2,1( )3,2( )4,3(
2.01.1=a 1.1log 2.0=b 1.12.0=c
a b c> > b c a> > a c b> > c a b> >
{ }na 1 2a = ( )*
1
1
1
n
n
n
aa n Na+
−= ∈+ 30a =
1
3
1
2
−
7
2
37
33
67
66
10
11
lnx xy x
=9．设数列 是由正数组成的等比数列， 为其前 n 项和，已知 则
A.
15
2 B.
31
4 C.
33
4 D.
17
2
10．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则
等于
A． B． C． D．
12. 已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则实数 的
取值范围是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡的相应位置．
13．已知向量 ， ，且 ，则 与 的夹角为 .．
14.定义运算 ，函数 图象的顶点是 ，且
成等差数列，则 ＝ .
15．在 中，角 所对应的边分别为 ，若 ，
则 面积的最大值为 .
16．设函数 ，其中 ．若函数 在 上恰有 2 个零点，则 的
取值范围是 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
( ) πsin 3f x xω = + 0ω > ( )f x [ ]0,2π ω
{ }na nS 2 4 31 7a a S= =、 5S =
( ) lnf x kx x= − (1, )+∞ k
(- 2]∞， (- ]∞，- 1 [2, )+∞ [1, )+∞
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − 0 1x≤ ≤ ( ) 2f x x=
(2015)f
2− 1− 1 2
, 0 4,( )
6 , 4,
x xf x
x x
< ≤= − >
( ) 1f x kx= + k
1 1( , )6 4
− 1 1( , ) ( , )6 4
−∞ − +∞
1 1[ , )6 4
− 1 1( , ]6 4
−
( )3,4a = ( )1,b k= − a b⊥ 4a b+ a
a b ad bcc d
= − 1 2( ) 3
xf x x x
−= − + ( , )m n , , ,k m r l
k r+ =
ABC∆ A B C , ,a b c 4ac = sin 2sin cos 0B C A+ =
ABC∆17．（本小题满分 10 分）
已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ．
18．(本小题满分 12 分)
已知向量 ， ，函数 ．
（Ⅰ）求函数 的零点；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值．
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 （ 为常数）．
（Ⅰ）已知 ，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求 的值域；
20．（本小题满分 12 分）
{ }na 1 1a = 3 2 2a a− =
{ }na
2n
n
nb a
= { }nb n nS
( 3sin ,1 3cos )x x= −m (1 sin ,cos )x x= −n ( ) 3f x = ⋅m n +
( )f x
8( ) 5f α = π( , π)2
α ∈ cosα
( ) (sin cos )xf x e x x a= + + a
3a = − ( )y f x= (0, (0))f
0 x π≤ ≤ ( )f x已知函数 在一个周期内的图象如图所示，
其中 ， ．
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）在 中，角 的对边分别是 ，
且 ，求 的面积．
21．(本小题满分 12 分)
已知等差数列 的前 和为 ，且 ．
(Ⅰ) 求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，集合 ，
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）若 ，求 的取值范围．
22．(本小题满分 12 分)
设 函 数 ， 是 的 导 函 数 ， 且 和 分 别 是
的两个极值
点．
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若对于 ， ，使得 成立，求实数
的取值范围．
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( 0, )2
ω ϕ π> <
M ( ,2)12
π
N ( ,0)3
π
( )f x
ABC∆ , ,A B C a,b,c
13, 3, ( ) 32
Aa c f= = = ABC∆
{ }na n nS 5 3 9a S= =
{ }na
1
2
n
n n
b a a +
= 1 2{ | , }n n nT T b b b nΩ = = + + + ∈ +N
nT
,iT jT ∈Ω ( , 1, 2 , , )i j n= i jT T⋅
2( ) 4lnf x x ax bx= + + ( , )a b∈R ( )f x′ ( )f x 1 4
( )f x
( )f x
( )f x ( , 3)m m + m
1 [1,e]x∀ ∈ 2 [1,e]x∃ ∈ 1 2( ) [ ( ) 5] 0f x f xλ ′+ + < λ数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1-5 DADBC 6-10 BCBBD 11-12 AA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）设数列 的公比为 ，由 ， 得：
…………………………………………………2 分
解得： 或 …………………………………………3 分
数列 的各项均为正数
…………………………………………………4 分
………………………………………………5 分
（Ⅱ）
……①
… ② ……7 分
由① ②得： …………………………8 分
…………………9 分
………………………………………10 分
注：答案为： 或 均可.
18．解：（Ⅰ）
4
π
9− 1 5 4,6 3
{ }na q 1 1a = 3 2 2a a− =
2 2 0q q− − =
2q = 1q = −
{ }na
∴ 2q =
∴ 1 11 2 2n n
na − −= × =
2n n
nb =
∴
2 3 1
1 1 1 1 11 2 3 ... ( 1)2 2 2 2 2n n nS n n−= × + × + × + + − × + ×
∴ 12 3 4
1 1 1 1 1 11 2 3 ... ( 1)2 2 2 2 2 2 nn nS n n += × + × + × + + − × + ×
− 12 3
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 nn n
nS += + + +⋅⋅⋅+ −
1
1 1[1 ( ) ]2 2
1 21 2
n
n
n
+
−
= −
− 1
11 2 2n n
n
+= − −
1
12 2 2n n n
nS −∴ = − −
22 2n n
nS
+= −
12 2
2
n
n n
nS
+ − −=
2 2( ) 3 3sin 3sin cos 3cos 3f x x x x x= ⋅ = − + − +m n +
3sin cosx x= +，…………………………………………………………（3 分）
由 ，得 ，所以 ，
所以函数 的零点为 ． …………………… ……………（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ，………………（8 分）
因为 ，所以 ，则 ，……………（10 分）
所以
． …………………………………（12 分）
19、解：（Ⅰ） ……………2 分
， ………………………3 分
切线方程为： ，即 为所求的切线方程．…5 分
（ Ⅱ ） 由 ， 得 ．， ， 得
．
在 上单调递增，在 上单调递减． ………………8 分
， , ,…………11 分
的值域为 …………………………………12 分
20．本题主要考查解三角形，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，考查
π2sin( )6x= +
π2sin( ) 06x + = π π ( )6x k k+ = ∈Z ππ ( )6x k k= − ∈Z
( )f x ππ ( )6x k k= − ∈Z
π 8( ) 2sin( )6 5f α α= + = π 4sin( )6 5
α + =
π( , π)2
α ∈ 2π π 7π
3 6 6
α< + < π 3cos( )6 5
α + = −
π π π π π πcos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin6 6 6 6 6 6
α α α α= + − = + + +
3 3 4 1 4 3 3
5 2 5 2 10
−= − ⋅ + ⋅ =
( ) (sin cos ) (cos sin ) 2 cosx x xf x e x x e x x e x′ = + + − =
(0) 2f ′ = (0) 2f = −
∴ 2 2( 0)y x+ = − 2 2 0x y− − =
( ) 2 cos 0xf x e x′ = ≥ 0 2x
π≤ ≤ ( ) 2 cos 0xf x e x′ = ≤
2 x
π π≤ ≤
∴ ( )y f x= [0, ]2
π
[ , ]2
π π
∴ 2
max ( )2y f e a
ππ= = +
(0) 1f a= + ( ) (0)f e a fππ = − + < min ( )y f e aππ= = − +
∴ ( )f x 2[ , ]e a e a
π
π− + +化归与转化思想、数形结合思想．满分 12 分．
解：（Ⅰ）由图像可知：函数 的周期 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
又 过点 ,
∴ ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
∵ ， ，
∴ ，即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
∴ .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（Ⅱ）∵ 即 ，
又
∴ ，即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
在 中， ，
由余弦定理得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去）. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∴ . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21．解：(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，由 ， ，
且 ，得 解得 ， ，
所以数列 的通项公式为 ．…………………………（4 分）
（Ⅱ）由(Ⅰ)知 ，所以 ，（6 分）
( )f x 4 ( )3 12T
π π π= × − =
2 2ω π= =π
( )f x ( ,2)12
π
( ) 2sin( ) 212 6f
π π ϕ= + = sin( ) 16
π ϕ+ =
2
πϕ < 2( , )6 3 3
π π πϕ+ ∈ −
6 2
π πϕ+ =
3
πϕ =
( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
( ) 2sin( ) 3,2 3
Af A
π= + = 3sin( )3 2A
π+ =
4(0, ), ( , )3 3 3A A
π π ππ∈ + ∈
2
3 3A
π π+ =
3A
π=
ABC∆ , 13, 33A a c
π= = =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
213 9 3b b= + − 2 3 4 0b b− − =
4b = 1b = −
1 1sin 4 3 sin 3 32 2 3ABCS bc A
π
∆ = = × × × =
{ }na d 1 ( 1)na a n d= + − 1
1 ( 1)2nS na n n d= + −
5 3 9a S= = 1
1
4 9,
3 3 9,
a d
a d
+ =
+ = 1 1a = 2d =
{ }na 1 2( 1) 2 1na n n= + − = −
2 1na n= −
1
2 2 1 1
(2 1)(2 1) 2 1 2 1n
n n
b a a n n n n+
= = = −− + − + （ⅰ）
． ……… ……………（8 分）
（ⅱ）因为 ，
所以数列 是递增数列，即 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，而 ，…………（9 分）
故 时， 取得最小值为 ． ………………………………………（10 分）
又 ，所以 ，则 ，…………………………（11 分）
因此 ． ……………………………………………………………（12 分）
22 解：（Ⅰ） （ ），…………………（1 分）
由题意可得： 和 分别是 的两根，
即 ， ，解出 ， ．
．……………………………………………………（3 分）
（Ⅱ）由上得 （ ），
由 或 ；
由 ．
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，………（5 分）
从而对于区间 ，有 或 或 ，
解得 的取值范围： ． ………… …………………………（7 分）
（Ⅲ）“对于 ， ，使得 成立”等价于
1 2
1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) ( )3 3 5 5 7 2 1 2 1n nT b b b n n
= + + + = − + − + − + + −− +
11 2 1n
= − +
1
1 1 2(1 ) (1 ) 02 3 2 1 (2 1)(2 3)n nT T n n n n+ − = − − − = >+ + + +
{ }nT 1 2 3 nT T T T< < <
1 4 ( ) 0f x′ =
1 4 2
b
a
+ = − 41 4 2a
× = 1
2a = 5b = −
21( ) 4ln 52f x x x x= + −
4( ) 5f x xx
′ = + − ( 1)( 4)x x
x
− −= 0x >
( ) 0f x′ > 0 1x⇒ < < 4x >
( ) 0f x′ < 1 4x⇒ < <
( )f x (0,1) (4, )+∞ (1,4)
( , 3)m m + 0 ,
3 1,
m
m
≤
+ ≤
1 ,
3 4,
m
m
≤
+ ≤ 4m ≥
m {1} [4, )+∞
1 [1,e]x∀ ∈ 2 [1,e]x∃ ∈ 1 2( ) [ ( ) 5] 0f x f xλ ′+ + [1,2] [2,e]
2 min[ ( )] (2) 4f x f′ ′= =
2 [1,e]x∃ ∈ 4 9( ) 2x x
λ + < 2 [1,e]x∃ ∈ 9
42( )x x
λ <
+
max
9 9 9[ ]4 2 4 82( )x x
λ < = =×+
9( , )8
λ ∈ −∞
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