贵州省铜仁第一中学2020届高三第三次模拟考试数学（理）试题（Word版带答案）.doc

秘密★启用前 铜仁一中 2020 届第三次模拟考试试题 理 科 数 学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.本试卷共 8 页，23 题，满分 150 分，考 试用时 120 分钟。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考试结束后,将答题卡交回。 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则复数 的共轭复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3．已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ，“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．已知公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 ，且 成等比数列，则 的值为 （ ） A. B.0 C.2 D.3 5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 且 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. { } { }2 2| 2 2 , | logA x Z x B x y x= ∈ − < < = = A B = )2,2(− )2,0()0,2( − { }1,0,1− { }1,1− 3 1 iz i = − z z 3 2 − 3 2 3 2 i− 3 2 i ( )f x [0, )+∞ a b、 >| |a b ( ) ( )f a f b> { }na nS 2 5 7, ,a a a 21S 2− 3B π= 4tan 3A = 2a = b = 5 4 5 3 5 3 3 5 3 46．.函数 的图象大致为（ ） A. B. C D. 7．.已知一个简单几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8．若 ，则 （ ） A. 或 B. 或 C.1 或 3 D.1 或 9 ． 定 义 在 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 在 上 ， 则 =（ ） A. B. C. D. 10．若正数 满足 ，则 的最小值为（ ） A.4 B.8 C. D.16 11．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我 国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261 年）一书中用如图所示的三角 形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右 依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作 数列 ，若数列 的前 n 项和为 ，则 （ ） ( ) e 2 1xf x x= − − 3 6π + 6 6π + 3 12π + 12 2sin 2 cos2 2α α− = − tanα = 1− 3− 1− 1 3 − 1 3 R )(xf )( 1)2( xfxf −=+ )1,0( xxf 3)( = )54(log3f 2 3 3 2 2 3− 3 2− ba, 2 1 1a b + = 4 8 2 1a b +− − 8 2 { }na { }na nS 47S =A．265 B．521 C．1034 D．2059 12．已知奇函数 是定义在 上的连续可导函数，其导函数是 ，当 时， 恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题　共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13．已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 ． 14．已知向量 满足 ，则 ． 15．在平面内，三角形的面积为 ，周长为 ，则它的内切圆的半径 ．在空间中，三 棱锥的体积为 ，表面积为 ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥 的各个面均相切）的半径 =______________________． 16．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部 挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面 上），圆锥底面直径为 ，高为 10 cm.打印所用部料密度为 ．不考虑 打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g．（取 ，精确到 0.1） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 已知 为数列 的前 n 项和，且 ， . ( )f x R ( )f x′ 0x > ( ) 2 ( )f x f x′ < 2 (1) (2)e f f> − 2 ( 1) (2)e f f− > − 2 ( 1) (2)e f f− < − 2( 2) ( 1)f e f− < − − ,x y    ≥ ≤+ ≥ 0 1234 0 y yx x yxz 2+−= _________ ( ) ( )3 ,2 , 6,a x b x= =  a b a b= −      x = S C C Sr 2= V S R 10 2 cm 30.9g/ cm 14.3=π nS { }na 3 4 3 4 −= nn aS *n N∈（1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 . 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求函数 图象的对称轴方程与函数 的单调递增区间； （2）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 若 ， ，求 的最大值. 19．（本小题满分 12 分） 如图,在四棱锥 中，底面 是正方形， , （1）证明：BD⊥平面 ； （2）若 是 的中点， 是棱 上一点，且 BE∥平面 ，求二面角 的 余弦值. { }na nn nab = { }nb nT 2 3sin3cossin)( 2 −+= xxxxf ( )f x )(xf cba ,, 02 Bf   =   3=b 2a c+ P ABCD− ABCD 1PA AB= = 2PB PD= = PAC E PC F PD ACF F AC D− −20．（本小题满分 12 分） 已知数列 的前 项和为 满足： ． （1）求证：数列 是等比数列，并且求 ； （2）令 ，令 ，求数列 的 前 项和 ． 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）若 为 的极值点，求 的单调区间； （2）当 时， ，求 的取值范围. { }na n nS 2 3 2 3n nS a n= − − { }1na + na 1 2 3 3 3 11 1log log log2 2 2 n n aa ac ++ +     = + + +           1 n n d c = { }nd n nT ( ) 2 ( ).x xf x ae xe a R−= + ∈ 1x = ( )f x ( )f x 0x > ( ) 4 1f x a< + a请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清 题号。 22． (本小题满分 10 分) 【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极坐标 方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经过点 ，且倾斜角为 . （1）写出曲线 的直角坐标方程以及直线 的参数方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 23.（本小题满分 10 分）【选修 4—5：不等式选讲】 已知函数 . （1）解不等式 ； （2）已知 ，求证： . xOy O x C 0sin4cos2 =− θθρ P )2,3( π l P 060 C l l C BA, PBPA 11 + ( ) 2f x x= + ( ) 4 1f x x> − + ( )2 0, 0a b a b+ = > > ( )5 4 1 2x f x a b − − ≤ +铜仁一中 2020 届第三次模拟考试 理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B D C A B C B B C 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 358.5 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）令 ，得 ， ， 由已知 ， ， ∴数列 是首项为 4，公比 的等比数列， ． …………………………………………………………（6 分） 3− 2− 3V S 1n = 1 1 1 4 4 3 3S a a= = − 1 4a =∴ 1 1 4 4 3 3 4 4 ( 2)3 3 n n n n S a S a n− −  = −  = − ， ， ≥ ， 1 1 4 4= 3 3n n n n na S S a a− −= − −∴ 14n na a −=∴ { }na 4q = 4n na =∴（2）∵ ， ， 的前 n 项和 ………………………………………………… （12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1） ∵ ∴ ． 令 ，得 ， ， ∴ 的对称轴方程为 ． 令 求得： ， ∴ 的单调递增区间为 ………………………………（6 分） （Ⅱ） ，∴ ， ， 由正弦定理： ， ∴ ， 其中 ， ， 4n nb n=  1 21 4 2 4 4n nT n= × + × + + × 2 3 14 1 4 2 4 4n nT n += × + × + + × ∴ 1 2 13 4 4 4 4n n nT n +− = + + + − × 1 14 4 43 n n nT n + +−= − × nb ( ) 13 1 4 4 9 n n nT +− × += ( ) 1 3sin 2 cos22 2f x x x= − sin 2 3x π = −   π( ) sin 2 3f x x = −   π π2 π3 2x k− = + 5π π 12 2 kx = + k ∈Z ( )f x 5π π ( )12 2 kx k= + ∈Z 2 2 22 3 2k x k π π ππ π− ≤ − ≤ + 5 ,12 12k x k k Z π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x 5, ( )12 12k k k π ππ π − + ∈   Z πsin 02 3 Bf B   = − =       π 3B = 2b = 2sin sin sin a b c A B C = = = 22 4sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C A A π + = + = + −   5 32 7 sin cos 2 7 sin( ) 2 7 2 7 A A A ϕ = + = +    π0 2 ϕ< < 3tan 5 ϕ =， 时， ． ………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） （1）证明： 平面 ， ． 又 为正方形， 平面 ．………………………（6 分） （2）解：如图 2，连接 ，取 的中点 ， 设 ，连接 ，则 ， 从而 平面 ，平面 与 的交点即为 ． 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 平面 即平面 ，设其法向量为 ， 则 即 令 ，得 ， 易知平面 的一个法向量为 ， ，因为二面角 为锐二面角， 故所求余弦值为 …………………………………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） 2π0 3A< 1x > ( ) 0f x′ < ( )f x ( 1)−∞， (1 )+ ∞， 2( ) 4 1 e (4 1)e 2 0x xf x a a a x< + ⇔ − + + < 2( ) e (4 1)e 2x xg x a a x= − + + 2( ) 2 e (4 1)e 2 (e 2)(2 e 1)x x x xg x a a a′ = − + + = − − 0a≤ 2 e 1 0xa − < 0 ln 2x< < ( ) 0g x′ > ln 2x > ( ) 0g x′ < max( ) (ln 2) 2ln 2 4 2g x g a= = − −故只需 ，解得 ． （ii）当 时，取 使得 ， 则 ，且 ，故不符合题意． 综上，a 的取值范围为 ． …………………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解.（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ， 点的极坐标为： ，化为直角坐标为 直线 的参数方程为 ( 为参数) ---------------------------（5 分） （2）将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 整理得： ， 显然有 ，则 ， ， 所以 . -----------------（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 （Ⅰ）解：不等式 ，即 ， 当 时，不等式可化为 ，解得： ， 当 时，不等式可化为 不成立， 当 时，不等式可化为 ，解得 ， ∴原不等式的解集为 或 ． ………………………………（5 分） （Ⅱ）证明： ，当且仅当 ， 时 等号成立，由题意，则 ， 2ln 2 4 2 0a− − < ln 2 1 02 a − < ≤ 0a > 0x 0e (4 1) 0xa a− + = 0 4 1ln 0ax a += > 0 0 0 0 0( ) e [ e (4 1)] 2 2 0x xg x a a x x= − + + = > ln 2 1 02 a − < ≤ C 2 4x y= P 3, 2P π     ( )0,3P l 1 ,2 33 ,2 x t y t  =  = + t l C 21 12 2 34 t t= + 2 8 3 48 0t t− − = 0∆ > 1 2 1 248, 8 3t t t t⋅ = − + = ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 248, 4 8 6PA PB t t t t PA PB t t t t t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ = + = + = − = + − = 1 1 6 6 PA PB PA PB PA PB ++ = =⋅ ( ) 4 | 1|f x x> − + | 1| | 2 | 4x x+ + + > 2x < − ( 1) ( 2) 4x x− + − + > 3.5x < − 2 1x− −≤ ≤ ( 1) ( 2) 4x x− + + + > 1x −≥ ( 1) ( 2) 4x x+ + + > 0.5x > { | 3.5x x < − 0.5}x > 4 1 1 4 1 1 4+ + ( ) 4 1 4.52 2 b aa ba b a b a b    = + = + + +      ≥ 4 3a = 2 3b = | 2.5| ( ) | 2.5| | 2 | | ( 2.5) ( 2) | 4.5x f x x x x x− − = − − + − − + =≤． ……………………………………………………（10 分）4 1| 2.5| ( )x f x a b − − +∴ ≤