高三数学试卷 第 1 页 共 13 页
盐城市 2020 届高三年级第一学期期中考试
数 学 试 题
(总分 160 分，考试时间 120 分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答题
纸的指定位置上.
1.已知集合 ， ，则 ▲ ．
2. 已 知 角 的 始 边 为 轴 的 正 半 轴 ， 点 是 其 终 边 上 一 点 ， 则 的 值 为
▲ ．
3.“ ”是“ ”的 ▲ 条件. （选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充
要”、“既不充分也不必要”之一）
4.若向量 ， ， // ，则实数 的值为 ▲ ．
5.函数 的定义域为 ▲ ．
6.若函数 为奇函数，当 时， ，则 的值为 ▲ ．
7. 设 为 等 差 数 列 的 前 项 和 ， 若 且 公 差 ， 则 的 值 为
▲ ．
8.若 ，则 的值为 ▲ ．
9.若函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值是 ▲ ．
10.若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围
是 ▲ ．
{ }2 1 0A x x= − = [0, )B = +∞ A B =
α x (1,2 2)P cosα
1m > 2m >
(1, )a m= (3,2)b = a b m
21 logy x= − +
( )y f x= 0x > 2( ) log (1 )f x x= + ( 7)f −
nS { }na n 3 5S S= 0d ≠ 1a
d
4sin( ) 5
π + α = − cos2α
( ) sin 3 cosf x x x= − x a= | |a
2 2 1 , 0,( )
, 0x
ax x a xf x
e x
+ + − < < (0, 3)
6
( )f x
( )f x g( )x [ 1,5]x∈ −
g( )x
:p ,sin 2x R x a∀ ∈ ≤ + :q 2( )f x x x a= − − [ 1,1]−
p a
p q∨ p q∧ a
第 12 题图 高三数学试卷 第 4 页 共 13 页
17. (本小题满分 14 分)
如图所示是某社区公园的平面图， 为矩形， 米， 米，为了
便于居民观赏花草，现欲在矩形 内修建 5 条道路 ，道路的
宽度忽略不计.考虑对称美，要求直线 垂直平分边 ，且线段 的中点是矩形的
中心，求这 5 条路总长度的最小值.
第 17 题图
18. (本小题满分 16 分)
如图，在 中， ， ，点 为 内一点，满足 ，
且 .
（1）求 的值；
（2）求边 的长.
第 18 题图
ABCD 200AB = 100BC =
ABCD , , , ,AE DE EF BF CF
EF AD EF
ABC∆ 5AB = 4AC = D ABC∆ 2BD CD= =
5 0AB AC DB DC⋅ + ⋅ =
sin
sin
ABC
BCD
∠
∠
BC高三数学试卷 第 5 页 共 13 页
19. (本小题满分 16 分)
在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成一个新数列，这样的操作叫做该数列的
一次拓展. 如数列 1，2，经过第 1 次拓展得到数列 1，3，2；经过第 2 次拓展得到数列
1，4，3，5，2. 设数列 ， ， 经过第 次拓展后所得数列的项数记为 ，所有项的
和记为 .
（1）求 ， ， ；
（2）若 ，求 的最小值；
（3）是否存在实数 ， ， ，使得数列 为等比数列？若存在，求 ， ， 满足
的条件；若不存在，请说明理由.
20. (本小题满分 16 分)
设函数 , 为常数.
（1）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， .
① 当 时，求 的最小值；
② 当 时，求 的值.
a b c n nP
nS
1P 2P 3P
2019nP ≥ n
a b c { }nS a b c
( ) ( 1)xf x e x x a= − − − a
0a = ( )f x (0, (0))P f
( )f x 1x 2x
a Z∈ a
1a = 1 2x x+高三数学试卷 第 6 页 共 13 页
盐城市 2020 届高三年级第一学期期中考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1. 2. 3. 必要不充分 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.解：(1) 相邻的两个零点差的绝对值为 6，
记 的周期为 ，则 ,
又 ，
. ...............................................................................2 分
;
的图象经过点 ，
，
， ..................................................4 分
函 数 的 解 析 式 为
. ..................................................6 分
(2) 将函数 的图象向右平移 3 个单位后得到函数 的图象,
由(1)得， ，
函 数 的 解 析 式 为
{ }1 1
3
2
3 [2, )+∞ 3− 7
2
−
7
25
−
6
π [ ]0,1 1534 6
6 5
5( , ]2
−∞
( )f x
( ) 2sin( )( 0,0 )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < < T 62
T =
2T
π
ω=
6
πω∴ =
( ) 2sin( )(0 )6 2f x x
π πϕ ϕ∴ = + < <
( )f x (0, 3)
(0) 2sin 3(0 )2f
πϕ ϕ∴ = = < <
3
πϕ∴ =
∴ ( )f x
( ) 2sin( )6 3f x x
π π= +
( )f x g( )x
( ) 2sin( )6 3f x x
π π= +
∴ g( )x高三数学试卷 第 7 页 共 13 页
； ..............10 分
当 时， ，则 .
综 上 ， 当 时 ， 的 值 域 为
. ..................................14 分
16. 解 ： (1) 为 真 命 题 ， 则
, ； ........................... 4 分
(2) 为真命题， 为假命题,
则 一 真 一
假. ......................................6 分
若 为真命题，则 在 在有解，
又 的 值 域 为 ，
......................................8 分
① 真 假,
则
......................................1
0 分
② 假 真 , 则 无
解 .......................................12 分
综 上 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 是
. ......................................14 分
17.解：（法一）设 ，过 作 于 ，
垂直平分 ， (米)，
(米)， (米)，
又 的中点是矩形 的中心，
g( ) 2sin[ ( 3) ] 2sin( )6 3 6 6x x x
π π π π= − + = −
[ 1,5]x∈ − 2,6 6 3 3x
π π π π − ∈ − 2sin( ) [ 3,2]6 6x
π π− ∈ −
[ 1,5]x∈ − g( )x
[ 3,2]−
p
max2 (sin )a x+ ≥ 1a∴ ≥ −
" "p q∨ " "p q∧
,p q
q 2a x x= − [ 1,1]x∈ −
2 , [ 1,1]y x x x= − ∈ − 1 ,24
−
1 24 a∴− ≤ ≤
p q
1
,1 24
a
a a
≥ − < − > 或
12 1 .4a a> − ≤ < −或
p q
1
,1 24
a
a
< −− ≤ ≤
a
1[ 1, ) (2, )4
− − +∞
( (0, ))2ADE
πθ θ∠ = ∈ E EH AD⊥ H
EF AD 1 502DH BC∴ = =
50
cosDE θ∴ = 50tanEH θ=
EF ABCD高三数学试卷 第 8 页 共 13 页
(米)，
记这 5 条路总长度为 (米)，
则
， ...........................
.......6 分
即 ，
， .......................
...........8 分
化 简 得 ， 由 ， 可 得
， ..................................10 分
列表如下：
↘ ↗
由 上 表 可 知 ， 当 时 ， 取 最 小 值
(米) ..................13 分
答 ： 5 条 道 路 的 总 长 度 的 最 小 值 为
(米). ..................................14 分
（法二）过 作 于 ，设 (米)( )
因 垂直平分 ，故 (米)，
又 的中点是矩形 的中心， (米)；
在 中， (米)，
由对称性可得， (米)；
200 2 200 100tanEF EH θ∴ = − = −
( )f θ
50( ) 4 200 100tan ( (0, ))cos 2f
πθ θ θθ= ⋅ + − ∈
2 sin( ) 200 100 ( (0, ))cos 2f
θ πθ θθ
−= + ⋅ ∈
2
(2 sin ) cos (2 sin )(cos )( ) 100 cosf
θ θ θ θθ θ
′ ′− − −′∴ = ⋅
2
2sin 1( ) 100 cosf
θθ θ
−′ = ⋅ ( ) 0f θ′ =
6
πθ =
θ (0, )6
π
6
π
( )6 2
π π，
'( )f θ − 0 +
( )f θ 200 100 3+
6
πθ = ( )f θ
12 2( ) 200 100 200 100 36 3
2
f
π −
= + ⋅ = +
200 100 3+
E EH AD⊥ H EH x= 0 100x< <
EF AD 1 502AH BC= =
EF ABCD 200 2EF x∴ = −
Rt AEH∆ 22500AE x= +
22500AE DE CF BF x= = = = +高三数学试卷 第 9 页 共 13 页
记这 5 条路总长度为 (米)，
. .....................
..........6 分
. ..................
............8 分
令 解 得 ( 负 值
舍). ................................10 分
列表如下：
↘ ↗
由上表可知，当 时， 取最小值
. .................................13 分
答 ： 5 条 道 路 的 总 长 度 的 最 小 值 为
米. .................................14 分
（法三）同方法二得到 ，以下可用判别式法.
18.解：（1）设 ， ， ，
由 ，
所 以 ， 即
， ..................................2 分
又 为 三 角 形 的 内 角 ， 所 以
， ..................................4 分
( )f x
2( ) 4 2500 200 2 ,(0 100)f x x x x∴ = + + − < <
2 2
2 2
4 2 2500 2(2 2500 )'( )
2500 2500
x x x xf x
x x
− + − +∴ = =
+ +
'( ) 0,f x = 50 33x =
x 50(0, 3)3
50 3
3
50 3( 100)3
，
'( )f x − 0 +
( )f x 200 100 3+
50 3
3x = ( )f x
200 100 3+
200 100 3+
2( ) 4 2500 200 2 ,(0 100)f x x x x= + + − < <
BC a= AC b= AB c=
5 0AB AC DB DC⋅ + ⋅ =
5 4cos 5 2 2cos 0A D⋅ + ⋅ ⋅ =
cos cosA D= −
,A D
sin sinA D=高三数学试卷 第 10 页 共 13 页
在 中 ， ， 所 以
， ..................................6 分
同 理
， .............................
.....8 分
所 以 ，
..................................10 分
（ 2 ） 在 中 ，
， ..................................12 分
同 理
， ...............................
...14 分
由 （ 1 ） 可 得 ， 解 得
. ..................................16 分
19.解：（1）因原数列有 3 项，经第 1 次拓展后的项数 ；
经第 2 次拓展后的项数 ；
经 第 3 次 拓 展 后 的 项 数
. ..................................3 分
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第 次拓展后的项数为 ，则经第 次拓展后增加的项数为 ，
所 以
ABC∆
sin sin
a b
A ABC
= ∠
4
sin sin
a
A ABC
= ∠
2
sin sin
a
D BCD
= ∠
4 2
sin sinABC BCD
=∠ ∠
sin 2sin
ABC
BCD
∠∴ =∠
ABC∆
2 2 2 2 2 2 25 4 41cos 2 2 5 4 40
b c a a aA bc
+ − + − −= = =⋅ ⋅
28cos 8
aD
−=
2 241 8
40 8
a a− −= −
3 6
2BC a= =
1 3 2 5P = + =
2 5 4 9P = + =
3 9 8 17P = + =
n nP 1n + 1nP −高三数学试卷 第 11 页 共 13 页
， .............................
.....5 分
所以 ，
由 （ 1 ） 知 ， 所 以 ，
， ..................................7 分
由 ，即 ，解得 ，
所 以 的 最 小 值 为
10. ..................................8 分
（3）设第 次拓展后数列的各项为 ，
所以 ，
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以 ，
即 ， 所 以
， ..................................10 分
所以 ，
， ................................
..12 分
又 ，
所以 ，
为使数列 为等比数列，则 或 ，
1 ( 1) 2 1n n n nP P P P+ = + − = −
1 1 2 2 2( 1)n n nP P P+ − = − = −
1 1 4P − = 1 11 4 2 2n n
nP − +− = ⋅ =
12 1n
nP +∴ = +
12 1 2019n
nP += + ≥ 12 2018n+ ≥ 10n ≥
n
n 1 2 3, , , , , ,ma a a a a c
1 2 3n mS a a a a a c= + + + + + +
1 1 1 1 2 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )n m mS a a a a a a a a a a a c c+ = + + + + + + + + + + + + +
1 1 22 3 3 3 2n mS a a a a c+ = + + + + +
1 3 ( )n nS S a c+ = − +
1 3( )2 2n n
a c a cS S+
+ +− = −
1
1( ) 32 2
n
n
a c a cS S −+ +− = − ⋅
1 ( ) ( ) 2 3 2S a a b b b c c a b c= + + + + + + = + +
( ) 32 2
n
n
a c a cS b
+ += + ⋅ +
{ }nS
02
02
a c
a cb
+ = + + ≠
02
02
a cb
a c
+ + = + ≠高三数学试卷 第 12 页 共 13 页
所 以 ， 满 足 的 条 件 为 或
. ...................................16 分
（说明：少一种情况扣 2 分）
20.解：（1）当 时， ， ， ， ，
故 所 求 切 线 的 方 程 为 ， 即
. ...................................2 分
（2）① ，令 ，则 ，
当 时 恒成立，故 在 上递减，
令 得 ，故 在 上递增，又 ， ，
的 图 象 在 上 连 续 不 间 断 ， 所 以 存 在 唯 一 实 数 使 得
， ...................................4 分
故 时 ， 时 ，所以 在 上递减，在 上递
增，
∴ ，由 得 ，
∴ ， ..............
...........6 分
因为函数 有两个不同的零点 , ，所以 ，得 ，
由 易得 ，故整数 ,
当 时， ，满足题意，
故 整 数 的 最 小 值 为 . （ 也 可 以 用 零 点 存 在 性 定 理 给 出 证
明） ...................................10 分
, ,a b c 0
0
a c
b
+ =
≠
2 0
0
b a c
b
+ + =
≠
0a = ( ) ( 1)xf x e x x= − − (0) 1f = − ( ) 1xf x xe′ = − (0) 1f ′ = −
1 ( 0)y x+ = − −
1 0x y+ + =
( ) 1xf x xe′ = − ( ) ( ) 1xg x f x xe′= = − ( ) ( 1) xg x x e′ = +
1x < − ( ) 1 0xg x xe= − < ( )g x ( , 1)−∞ −
( ) 0g x′ > 1x > − ( )g x ( 1, )− +∞ 1 1( ) 1 02 2g e= − < (1) 1 0g e= − >
( )g x [ 1, )− +∞ 0
1( ,1)2x ∈
0( ) 0g x =
0x x< ( ) 0f x′ < 0x x> ( ) 0f x′ > ( )f x 0( , )x−∞ 0( , )x +∞
min 0( ) ( )f x f x= 0
0 0( 1)xe x x a= − − − 0( ) 0g x = 0
0
1xe x
=
min 0
0
1( ) 1 ( )f x a x x
= − − +
( )f x 1x 2x min ( ) 0f x < 0
0
11 ( )a x x
> − +
0
1( ,1)2x ∈ 0
0
1 31 ( ) ( , 1)2x x
− + ∈ − − 1a ≥ −
1a = − (0) (1) 0f f= =
a 1−高三数学试卷 第 13 页 共 13 页
注：由 得 ，不能得到 .
②法一：当 时， ，由 得 ， ，
两式相乘得 ，
得
（※） ...................................12 分
不 妨 设 ， 由 及 的 单 调 性 可 知
， ...................................14 分
故 ，
当 时（※）式成立；
当 时（※）式左边大于 1，右边小于 1，（※）式不成立；
当 时（※）式左边小于 1，右边大于 1，（※）式不成立；
综 上 ，
. ...................................1
6 分
法二：当 时， ，
不 妨 设 ， 由 及 的 单 调 性 可 知
， ...................................12 分
由 得 ，
∴ ， .......................
............14 分
故函数 有两个不同的零点 , ，又由 的单调性可知 有且仅有两个不同的
零点 , ，
∴ ，
∴ . ...................................16 分
0 (0,1)x ∈ 0
0
11 ( ) ( , 1)x x
− + ∈ −∞ − 1a ≥ −
1a = ( ) ( 1) 1xf x e x x= − − − 1 2( ) ( )f x f x= 1 1
1
1
1
x xe x
+= −
2 2
2
1
1
x xe x
+= −
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) 2( )
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x x x xe x x x x
+ + + − − + += =− − − −
1 2 1 2
1 2
2( )1 ( 1)( 1)
x x x xe x x
+ += + − −
1 2x x< (1) 2 0f = − < ( )f x
1 21x x< <
1 2( 1)( 1) 0x x− − <
1 2 0x x+ =
1 2 0x x+ >
1 2 0x x+ <
1 2 0x x+ =
1a = ( ) ( 1) 1xf x e x x= − − −
1 2x x< (1) 2 0f = − < ( )f x
1 21x x< <
1( ) 0f x = 1
1 1( 1) 1 0xe x x− − − =
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 ( 1) 1( ) ( 1) 1 1 0
x
x
x x
x e x xf x e x x xe e
− − − − − −− = − − + − = + − = =
( )f x 1x 1x− ( )f x ( )f x
1x 2x
2 1x x= −
1 2 0x x+ =
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