安徽省怀远第一中学等2020届高三上学期“五校”联考--理科数学参考答案.pdf

五校联考 理科数学 第 1 页（共 5 页） 安徽省怀远第一中学等 2020 届高三上学期“五校”联考 数学试题（理科） 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B A A D C C A D C D 二、填空题 13.90 ； 14. 3 2 ； 15.0 或 1 ； 16.33 三、解答题 17.【解析】（1）要证原不等式，即证：    2 21a b ab   ， 只需证：  2 21 1 0a b   ， ∵ 2 2 1a b  ， ∴ 2 21, 1a b  ∴  2 21 1 0a b   ，故原不等式成立. …………………………5 分 （2）   3 3 4 3 3 4a b a b a ab a b b       4 3 3 42a ab a b b     22 2 1a b   …………………………10 分 18.【解析】（1）由题意可得    1sin 06 2f x x         ， T PQ QR    ， ∵ 2T   ，且 0  ， ∴ 2  .   1sin 2 6 2f x x       . …………………………6 分 （2）设  0 ,P x m ， 0 ,3Q x m    ， 则 0 0 1 1sin 2 sin 26 2 3 6 2x x                    ， 五校联考 理科数学 第 2 页（共 5 页） 即 0 0 5sin 2 sin 26 6x x             解得 0 2 kx   k Z ，则 1sin 6 2m k       ， ∵ 0m  ∴ 1m  . …………………………12 分 19.【解析】（1）由题意可知 1 3 1 14 4n n na a b   ， 1 1 14 4 3 n n nb b a   ， 1 1 1a b  ， 1 1 3a b  ， ∴  1 1 3 1 3 1 11 14 4 4 4 2n n n n n n n na b a b b a a b          ， 即  1 1 1 2n n n na b a b    ， ∴数列 n na b 是首项为1、公比为 1 2 的等比数列， 故 1 1 2n n na b   ，…………………………3 分 ∵ 1 1 3 1 3 11 1 24 4 4 4n n n n n n n na b a b b a a b                ， ∴数列 n na b 是首项3 、公差为 2 的等差数列， 故 2 1n na b n   .…………………………6 分 (2)由(1)可知， 1 1 2n n na b   ， 2 1n na b n   ， ∴    2 2 1 2 1 2n n n n n n n n nc a b a b a b         ，…………………………8 分  0 1 1 1 1 13 5 2 12 2 2n nS n         ① ①式两边同乘 1 2 ，得    1 2 1 1 1 1 1 13 5 2 1 2 12 2 2 2 2n n nS n n           ② ①－②得  0 1 1 1 1 1 1 13 2 12 2 2 2 2n n nS n             ∴ 1 2 510 2n n nS    …………………………12 分 20.【解析】（1）取 ,BD BE 的中点分别为 ,O M ， 五校联考 理科数学 第 3 页（共 5 页） 连结 , ,GO OM MF .OM ED∥ 且 1 2OM DE ， 又∵GF ED∥ ，且 1 2GF ED ∴GF OM∥ 且GF OM ∴四边形OMFG 是平行四边形，故GO FM∥ ∵ M 是 EB 的中点，三角形 BEF 为等边三角形， 故 FM EB ∵平面 EFM  平面 BCDE ∴ FM  平面 BCDE ，因此GO  平面 BCDE 故平面GBD  平面 BCE …………………………6 分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则  0,1,0B ，  0,1,2C ，  0,0,2D ， 3 1, ,12 2G      ， 故  0,0, 2BC   ， 3 1, ,12 2BG        ，  0, 1,2BD    设平面CBG 的法向量为 m  , ,x y z ，则 0 0       m BC m BG ，即 2 0 3 2 0 z x y z     ， 令 1x  得 m  1, 3,0 ， 设平面 DBG 的法向量为 n  , ,x y z ，则 0 0       n BD n BG ，即 2 0 3 2 0 y z x y z      ， 令 1z  得 n  0,2,1 ， cos ,m n    m n m n 2 3 15 52 5    ∵二面角C GB D  的平面角是锐角，设为 ∴ cos  15 5 …………………………12 分 五校联考 理科数学 第 4 页（共 5 页） 21.【解析】（1）由(sin sin sin ) (sin sin sin )A B C A B C     2sin sinA B ， 得 2 2 2a b c ab   ，即 2 2 2a b c  ∴ 90C   ； …………………………4 分 （2）令 CAB MBD DMB       ，则 在 AMB 中， 90 2 , 180MBA BMA        由正弦定理得：    sin 90 2 sin 180 AM AB       ， 即 cos 2 sin ABAM    …………………………8 分 在 ACD 中， 90 , 2ACD CDA     由正切定义： tan 2AC  在 ACB 中， 90 ,ACB BAC     由正切定义： tan 2 cos cos ACAB     ，…………………………10 分 ∴ tan 2 cos 2cos 2sinAM       .…………………………12 分 22.【解析】（1）  1( ) sin 1xf x e x a     由 ( )f x 在 1,  上单调递增， 故当 1x   时，  1 sin 1 0xe x a     恒成立 即  1 sin 1xa e x   设     1 sin 1 1xg x e x x     ，    1 cos 1xg x e x    ， ∵ 1x   ，∴  1 1,cos 1 1xe x    ∴   0g x  ，即  g x 在 1,  上单调递增， 故    1 1g x g   ∴ 1a  ；…………………………5 分 （2）当 1a   时，    1 cos 1xf x e x x    ，    1 sin 1 1 0xf x e x      ∴  f x 在 R 上单调递增， 五校联考 理科数学 第 5 页（共 5 页） 又∵  1 1f   且    1 2 2f x f x  ， 故 1 21x x   要证 1 2 0x x  ，只需证 2 1x x  即证    2 1f x f x  ，只需证    1 12 f x f x   即证    1 1 2 0f x f x    令       2h x f x f x    ，  h x      1 1sin 1 1 sin 1 1x xe x e x          1 1 2cos1 sinx xe e x     令   1 1 2cos1 sinx xx e e x      ，   1 1 2 cos1 cos 2 2 cos1 cos 0x xx e e x e x           ∴  x 在 , 1  上单调递增 ∴     21 1 sin 2 0x e       ，故  h x 在 , 1  上单调递减， ∴      1 2 1 2 0h x h f      ，故原不等式成立. …………………12 分