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天水一中 2017 级高三一轮复习第三次模拟考试
数学试题（理科）
（满分：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知集合 ，集合 ，求 （ ）
A. B. C. D.
2．若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列命题的说法错误的是（ ）
A.对于命题 则 .
B.“ ”是” ”的充分不必要条件.
C.“ ”是” ”的必要不充分条件.
D.命题”若 ，则 ”的逆否命题为：”若 ，则 ”.
4．已知等差数列 的前 n 项和为 , ,则 ( )
A. 140 B. 70 C. 154 D. 77
5．已知双曲线 的离心率为 ,则椭圆 的离心率
为( )
A. B. C.
D.
6．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2: , 1 0,p x R x x∀ ∈ + + > 2
0 0 0: , 1 0p x R x x¬ ∃ ∈ + + ≤
1x = 2 3 2 0x x− + =
2 2ac bc< a b<
2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠
{ }na nS 1475 =+ aa =11S
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
2
5 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
2
1
3
3
2
3
2
2
( ) [ ]ππ,,sin −∈= xxxxf试卷第 2 页，总 4 页
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后新函数图象的对称轴方
程为（ ）
A. B.
C. D.
8．在 中， 边上的中线 的长为 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知 ,点 是圆 上任意一点，则 面积的最大
值为 （ ）
A.8 B. C.12 D.
11．函数 ，函数 ，（其中 为自然对数
的底数， ）若函数 有两个零点，则实数 取值范围为
（ ）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲
线左、右两支 P，Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_____．
2cos2y x=
6
π
(k Z)6 2
kx
π π= − + ∈ (k Z)12 2
kx
π π= − + ∈
(k Z)6 2
kx
π π= + ∈ (k Z)12 2
kx
π π= + ∈
ABC∆ BC AD 3 2 6BC = AB AC⋅ =
1− 1 2 3
12 36
24 72
( ) ( )4,0 , 0,4A B− C 2 2 2x y+ = ABC∆
4 2 6 2
( ) 2 2 1f x x ex m= − + + − ( ) ( )2
0eg x x xx
= + > e
2.718e ≈ ( ) ( ) ( )h x f x g x= − m
2 2 1m e e< − + + 2 2 1m e e> − +
2 2 1m e e> − + + 2 2 1m e e< − +
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
3
π
( )
2 1+ 3 1+ 5
x y
3 3 0
0
4 0
x y
x y
x y
+ − ≥
− ≤
+ − ≤
2z x y= +试卷第 3 页，总 4 页
14．动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
．则点 P 的轨迹方程______.
15．已知在直角梯形 中，
， ，
，将直角梯形
沿 折叠，使平面 平面
，则三棱锥 外接球的体积
为__________．
16．已知函数
，
，
，则数列
的通项公式为______．
三、解答题（共 70 分）
17．(10 分)已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调增区间； （Ⅱ）求方程 在 内的所有解．
18．（12 分）已知数列 是等差数列, 前 n 项和为 , 且 ， ．
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 , 求数列 的前 n 项和
19．（12 分）在 中 , 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 已知 。
（Ⅰ）求角 A 的大小；
（Ⅱ）若 ,求 的面积．
12
2
2
=+ yx
NMNP 2=
ABCD
AB AD⊥ CD AD⊥
2 2 4AB AD CD= = =
ABCD AC BAC ⊥
DAC D ABC−
( )
1
1
+
−= x
x
e
exf
( ) ( ) 11 +−= xfxg ( )*12321 Nnn
ngngngngan ∈
−++
+
+
=
( ) Rxxxxxxf ∈−+= ,sincossin32cos 22
( )xf ( ) 0=xf ( ]π，0
{ }na 35 3aS = 864 =+ aa
na n
n
n ab ⋅= 2 { }nb
A
C
a
cb
cos
cos2 =−
24,14 =+= cba试卷第 4 页，总 4 页
20．（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， ，
， ， ，点 O 为 AD
的中点.
（1）求证： 平面 PAD；
（2）求平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值.
21．（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到右焦
点的距离为 2，
（1）试求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 为椭圆 上一点，记直
线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试问： 是否为定值？请证明你的结论.
22．（12 分）已知函数 在点 处的切线方程为
.
（1）求实数 的值；
（2）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围.
PDPA =
AD PB= 90APD °∠ = 60BAD °∠ =
OB ⊥
( )012
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
2
1
2
1 l
2
3,1P
1k 2k 21 kk +
( )
ln
xf x ax bx
= − + ( )( ),e f e
2y ax e= − +
b
2
0 ,x e e ∈ ( )0
1
4f x e≤ + a试卷第 5 页，总 6 页
理科答案
一、选择题
1. B 2. D 3 .C 4. D 5.C 6 . A 7.A 8.D 9. A 10.C 11.C 12.B
11．C.由 得 ，
令 ，则 ,
所以当 时， ,
当 时， ,
因此当 时，函数 有两个零点，选 C.
12．B.设 ，依题意直线 的方程为 ，代入双曲线方程并化简
得 ，故
，设焦点坐标为 ，由于以 为直径的圆经过点 ，故 ，
即 ，即 ，即 ，两边除以 得
，解得 .故 ，故选
B.
二、填空题
13. 14. 15. 16.
15．
结合题意画出折叠后得到的三棱锥 如图所示，由条件可得在底面 中，
。取 AB 的中点 O，AC 的中点 E，连 OC,OE。则
.
( ) 0h x = 2
2 1 2 1( 0)em x ex xx
= + − + + >
( ) 2
2s x 1 2 1( 0)ex ex xx
= + − + + >
2
2 2( ) 2 1 2 ( )(2 )e x es x x e x ex x
+′ = + − − = − +
x e> 2( ) 0, ( ) (2 1, )s x s x e e′ > ∈ − + +∞
0 x e< < 2( ) 0, ( ) (2 1, )s x s x e e′ < ∈ − + +∞
2 2 1m e e> − + + ( ) ( ) ( )h x f x g x= −
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y PQ 3y x=
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3, 33 3
a b a bx y xb a b a
= = =− −
2 2
1 2 1 2 2 20, ,3
a bx x x x b a
−+ = ⋅ = − 1 2y y⋅ =
2 2
1 2 2 2
33 3
a bx x b a
−⋅ = −
( ),0F c PQ F 0FP FQ⋅ =
( ) ( )1 1 2 2, , 0x c y x c y− ⋅ − = 2
1 24 0x x c+ = 4 2 2 46 3 0b a b a− − = 4a
4 2
6 3 0b b
a a
− − =
2
3 2 3b
a
= +
2
1 4 2 3 3 1be a
= + = + = +
9
4 222 =+ yx
32
3
π
32
3
π
D ABC− ACB∆
90 , 2 2ACB AC BC∠ = ° = =
1 22OA OB OC AB= = = =试卷第 6 页，总 6 页
∵ ,
∴ .
∵平面 平面 ,
∴ 平面 ,
∴ .
又 .
∴ .
∴ .
∴点 O 为三棱锥 外接球的球心，球半径为 2.
∴ 。答案： 。
16．
由于 ，所以函数 为奇函数，故 的图像关于 对
称，由此得到 ，所以
三、解答题
17：解：
由 ,
解得：
函数 的单调增区间为
由 得 ,解得： ,
DA DC=
DE AC⊥
BAC ⊥ DAC
DE ⊥ DAC
DE OE⊥
1 1= 2, 22 2DE AC OE BC= = =
2 2 2OD OE DE= + =
2OA OB OC OD= = = =
D ABC−
34 32= 23 3V
ππ × =球
32
3
π试卷第 7 页，总 6 页
即
或
18：解： 是等差数列, ,又 , ,
由 得 , , ,
；
Ⅱ ,
,
两式相减得
,
即 ．
19：解： Ⅰ 已知 ,
由正弦定理得 ,
则 ,
即 ,
解得 ,
又 ,
则 ；
Ⅱ 由余弦定理得 ,
则 ,
得 ,
即试卷第 8 页，总 6 页
又 ,
则 ,
所以 ．
20：（1）证明：连结 OP，BD，因为底面 ABCD 为菱形， ，
故 ，又 O 为 AD 的中点，故 ．
在 中， ，O 为 AD 的中点，所以 ．
设 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ．（也可通过 来证明 ），
又因为 ， 平面 PAD， 平面 PAD，
所以 平面 PAD；
（2）因为 ， ，
，
所以 平面 POB，又 平面 POB，所以 ．
由（1）得 平面 PAD，又 平面 PAD，故有 ，又由 ，
所以 OA，OB，OP 所在的直线两两互相垂直．
故以 O 为坐标原点，以 OA，OB，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴如图建系．
设 ，则 ， ， ， ．
所以 ， ， ，
由（1）知 平面 PAD，
60BAD °∠ =
AD AB BD= = OB AD⊥
APD△ 90APD °∠ = 1
2PO AD AO= =
2AD PB a= = 3OB a= PO OA a= =
2 2 2 2 2 23 4PO OB a a a PB+ = + = =
OB OP⊥ POB AOB∆ ≅ ∆ OB OP⊥
OP AD O= OP ⊂ AD ⊂
OB ⊥
POAD ⊥ AD OB⊥
OPOBO =∩
AD ⊥ PO ⊂ PO AD⊥
OB ⊥ OP ⊂ OP OB⊥ AD OB⊥
2AD = ( )1,0,0A ( )1,0,0D − ( )0, 3,0B ( )0,0,1P
( )0, 3, 1PB = − ( )2,0,0BC AD= = − ( )0, 3,0OB =
OB ⊥试卷第 9 页，总 6 页
故可以取与 平行的向量 作为平面 PAD 的法向量．
设平面 PBC 的法向量为 ，则 ，
令 ，所以 ．
设平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角为 θ，则 ，
则 ，所以平面 PBC 与平面 PAD 所成二面角的正弦值为 ．
21：（1） （2）见解析
详解：（1） ． ，椭圆 的方程为
（2）设直线 的方程为： ，
联立直线 的方程与椭圆方程得：
（1）代入（2）得：
化简得： ………（3）
当 时，即，
即 时，直线 与椭圆有两交点，
由韦达定理得： ，
所以， ，
OB ( )0,1,0n =
( ), ,m x y z = 2 0
3 0
m BC x
m PB y z
⋅ = − = ⋅ = − =
1y = ( )0,1, 3m =
1cos cos< , | || | 2
m nm n m n
θ ⋅= > = =
3sin 2
θ = 3
2试卷第 10 页，总 6 页
则
， 。
22：22．(1) 实数 的值为 . (2) .
详解：（1）函数 的定义域为 ，
∵ ，∴ . ∴ ，
又 , ∴所求切线方程为 ，
即 .又函数 在点 处的切线方程为 ，
∴ .所以实数 的值为 .
（2）由题意得 ，
所以问题转化为 在 上有解.
令 ， ，
则 .
令 ，则当 时，有 .
所以函数 在区间 上单调递减，所以 .
所以 ，所以 在区间 上单调递减.
所以 .
所以实数 的取值范围为 .
b e 2
1 1 ,2 4e
− +∞
( )f x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞
( )
ln
xf x ax bx
= − + ( ) 2
ln 1' ln
xf x ax
−= − ( )'f e a= −
( ) ef e ae b= − + ( ) ( )y e ae b a x e− − + = − −
y ax e b= − + + ( )f x ( )( ),e f e 2y ax e= − +
b e= b e
( ) 0
0 0
0
1
ln 4
xf x ax e ex
= − + ≤ +
1 1
ln 4a x x
≥ − 2,e e
( ) 1 1
ln 4h x x x
= − 2,x e e ∈
( ) 2
2 2 2 2
1 1 ln 4' 4 ln 4 ln
x xh x x x x x x
−= − = ( )( )
2 2
ln 2 ln 2
4 ln
x x x x
x x
+ −
=
( ) ln 2p x x x= − 2,x e e ∈ ( ) 1 1 1' 0xp x x xx
−= − = <
( )p x 2,e e ( ) ( ) ln 2 0p x p e e e< = − <
( )' 0h x < ( )h x 2,e e
( ) ( )2
2 2 2
1 1 1 1
ln 4 2 4h x h e e e e
≥ = − = −
a 2
1 1 ,2 4e
− +∞
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