文科数学试题
一、选择题
1.设全集 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.z 的共轭复数为 ,若 , ,则 等于( )
A.i B.-i C. D.
3.设 ，则( )
A. B. C. D.
4.命题“ ,使得 ”的否定形式是( )
A. ,使得 B. ,使得
C. ,使得 D. ,使得
5.已知 , ,其中 .若 ,则 的值等于( )
A.1 B.-1 C. D.
6．“4＜k＜10”是“方程 + =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图,正方体 的棱长为 1,动点 E 在线段 上,F、M 分别是 AD、CD 的
中点,则下列结论中错误的是( )
A．
B． 平面
{ }{ | 1 5}, 1, 2,5 , { | 1 4}U x Z x A B x N x= ∈ − ≤ ≤ = = ∈ − < < ( )UB A =
{ }3 { }0,3 { }0, 4 { }0,3, 4
z 4z z+ = 8z z⋅ = z
z
1± i±
0.4
4 0.4log 8, log 8, 2a b c= = =
b c a< < c b a< < c a b< < b a c< <
R, Nx n ∗∀ ∈ ∃ ∈ 2n x≥
R, Nx n ∗∀ ∈ ∃ ∈ 2n x< R, Nx n ∗∀ ∈ ∀ ∈ 2n x<
R, Nx n ∗∃ ∈ ∃ ∈ 2n x< R, Nx n ∗∃ ∈ ∀ ∈ 2n x<
2(1,sin )a x= (2,sin )b x= π0, 2x ∈ | | | || |a b a b⋅ = tan x
3
3 3−
2
4
x
k −
2
10
y
k−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AC
1 1/ /FM AC
BM ⊥ 1CC FC．存在点 E,使得平面 //平面
D．三棱锥 的体积为定值
8..把数列 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个
括号四个数，第五个括号一个数……循环分为： ，
，…则第 个括号内各数之和为( )
A．2036 B．2048 C．2060 D．2072
9.函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
10．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，侧棱 ， ， 两两垂直，
且 ，若以 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 公共部分的体积为
，球 的体积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11、已知函数 ,若 ,则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12、定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)满足 f(x)＞2(x＋ x)f′(x)，其中 f′(x)为 f(x)的导函数，则下列
不等式中，一定成立的是( )
A．f(1)＞
f（2）
2 ＞
f（3）
2 B.
f（1）
2 ＞f（4）
3 ＞
f（9）
4
BEF 1 1CC D D
B CEF−
{2 1}n＋
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5,7 9,11,13 15,17,19, 21 23， ， ， ，
( ) ( ) ( ) ( )25, 27 29,31,33 35,37,39, 41 43， ， ， 104
( ) 21ln 2f x x x= −
P ABC− O PA PB PC
2PA PB PC= = = P P ABC−
1V O 2V 1
2
V
V
3
36
3
72
1
64
3
24
5 3( ) 3 5 3f x x x x= − − − + ( ) ( 2) 6f a f a+ − >
( ,1)−∞ ( ,3)−∞ (1, )+∞ (3, )+∞C．f(1)<
f（2）
2 <
f（3）
3 D.
f（1）
2 <
f（4）
3 <
f（9）
4
二、填空题
13.数列 的前 项和为 ,若数列 的各项按如下规律排列:
有如下规律排列:
① ;
②数列 是等比数列;
③数列 的前 项和为
④若存在正整数 ,使 ,则 .
其中正确的结论是__________.(将你将认为正确的结论序号都填上)
14．已知函数 y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c 在 x＝2 处有极值，其图象在 x＝1 处的切线平行于直
线 6x＋2y＋5＝0，则 f(x)的极大值与极小值之差为________．
15.已知函数 若函数 在区间 内单调递
增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为__________.
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线上一点，且
，若 ，则该双曲线的离心率等于_______
三、解答题
17.在△ 中,角 所对的边分别为 ,已知 .
1.求角 的大小;
2.若 ,求 的取值范围.
18.已知数列 的前 n 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，设数列 的前 n 项和为 ，证明 ．
19.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生较早接受
大学思维方式和学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中成功开
{ }na n nS { }na
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1, , , , , , , , , ..., , ,..., ,...2 3 3 4 4 4 5 5 5 5
n
n n n
−
24
3
8a =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , ,...a a a a a a a a a a+ + + + + + +
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , ,...a a a a a a a a a a+ + + + + + n
2
4n
n nT
+=
k
110, 10k kS S +< ≥ 5
7ka =
( ) ( )sin cos 0 ,f x x x x Rω ω ω= + > ∈ ( )f x ( ),ω ω−
( )f x x ω= ω
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2, ,F F P
1 22PF PF=
1 2
15sin 4F PF∠ =
ABC , ,A B C , ,a b c sin3 cos
a c
CA
=
A
6a = b c+
{ }na *, NnS n∈ 3 1
2 2n nS a= −
{ }na
2
2 1
nbn a an n
= −+ +
{ }nb *, NnT n∈ 3
4nT
∀ ,∃ ∃ 2,n x∀ ≥ 2n x<
| | | || |a b a b⋅ = / /a b
2sin 2sinx x= π0, 2x ∈
1sin 2x =
π
6x = 3tan 3x =解：在 A 中,因为 F、M 分别是 AD、CD 的中点,所以 ,故 A 正确；
在 B 中,F,M 是底面正方形边的中点，由平面几何得 ，又 底面
，所以 ，,所以 平面 ,故 B 正确；
在 C 中,BF 与平面 有交点,所以不存在点 E,使得平面 平面 ,
故 C 错误．
在 D 中,三棱锥 以面 BCF 为底,则高为上下底面的距离，所以三棱锥
的体积为定值,故 D 正确．
故选：C．
8.答案：D
9.答案：B
解析：∵ ,
,
则当 时, 函数 为增函数;
当 时, ,函数 为减函数;
当 时, 取最大值,f(1)=-12; ;故选 B
10．B
由题意可知 是半径为 1 的球的体积的 ，把三棱锥 补成正方体，利用
正方体与外接球的关系即可得到球 的体积为 .
【详解】
由题意易得： ，
将三棱锥 补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：
，
从而 ， ，
所以 ，
1 1/ / / /FM AC AC
BM CF⊥ 1CC ⊥
ABCD 1CC BM⊥ BM ⊥ 1CC F
1 1CC D D / /BEF 1 1CC D D
B CEF−
B CEF−
( ) ( )21ln 02f x x x x= − >
( ) ( )1 0f x x xx
∴ = − >′
( )0,1x∈ ( )' 0f x > ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
1x = ( )f x ( ) 11 2f = −
1V 1
8 P ABC−
O 2V
3
1
1 4 18 3V π = ⋅
P ABC−
2 2 22 2 3R PA PB PC= + + =
3R = ( )3
2
4 33V π= ⋅
( )1
3
2
1 3
728 3
V
V
= =11.答案：A
解析：令 ,则 为奇函数,且在 R 上单调递减,∴ 可化为
,即 ,∴ ,∴ .
12【解析】 ∵f(x)＞2(x＋ x)f′(x)，
∴f(x)＞2 x( x＋1)f′(x)，
∴f(x) 1
2 x＞( x＋1)f′(x)．
∴f′(x)( x＋1)－f(x) 1
2 x＜0，
∴(f（x）
x＋1 )′＜0，
设 g(x)＝f（x）
x＋1
，则函数 g(x)在(0，＋∞)上递减，
故 g(1)＞g(4)＞g(9)，∴f（1）
2 >f（4）
3
＞f（9）
4 .
【答案】 B
13. 答案：①③④
14【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，
∴{f′（2）＝3 × 22＋6a × 2＋3b＝0，
f′（1）＝3 × 12＋6a × 1＋3b＝－3，⇒{a＝－1，
b＝0，
∴f′(x)＝3x2－6x，令 3x2－6x＝0，得 x＝0 或 x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.
15.答案：
解析：由 在区间 内单调递增,
且 的图像关于直线 对称,可得 ,
且 ,
所以
( ) ( ) 3g x f x= − ( )g x ( ) ( 2) 6f a f a+ − >
[ ]( ) 3 ( 2) 3 ( 2) 3 (2 ) 3f a f a f a f a− > − − + = − − − = − − ( ) (2 )g a g a> − 2a a< − 1a <
2
π
( )f x ( ),ω ω−
( )f x x ω= 2
πω ω≤
( ) 2 2 2sin cos 2 sin 14f
πω ω ω ω = + = ⇒ + =
2
4 2 2
π π πω ω+ = ⇒ =16. 或
由题意，根据双曲线的定义可得 ，又因为 ，
可得 ，
又由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得
，
解得 或 ，所以 或 ，
17.答案：1.由已知条件结合正弦定理,得 ,
从而有 ,
∴ .
又 ,
∴ .
2.∵ ,
∴ ,
∴ ∵
∴ ,
即 .
故 的取值范围为 .
6 2
1 2 2PF PF a− = 1 22PF PF=
1 24 , 2PF a PF a= =
1 2
15sin 4F PF∠ = 1 2
1cos 4F PF∠ = ±
1 2PF F∆
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1
2
2
1
1 1co 6 4 4
2s 2 2 44
PF PF F F a a c
PF PP a aF FF
+ − + −= × × = ±=∠
2
2 4c
a
=
2
2 6c
a
= 2ce a
= = 6
sin sin3 cos
a c a
C AA
= =
3 cos sinA A=
tan 3A =
0 A π< <
3A
π=
4 3sin sin sin
b c a
B C A
= = =
4 3sin , 4 3sinb B c C= =
π π4 3sin 4 3sin 4 3 sin sin 12sin3 6b c B C B B B
+ = + = + + = +
5
6 6 6B
π π π< + <
6 12sin 126B
π < + ≤
(6,12]b c+ ∈
b c+ (6,12]18.答案：（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
数列 是公比为 3 的等比数列，
．
（2）由（1）得： ，
又 ①
②
两式相减得： ，
故 ，
．
19.答案：（1）列联表如下：
优等生 非优等生 合计
学习大学先修课程 50 200 250
没有学习大学先修课
程
100 900 1000
合计 150 1100 1250
,因此在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下
认为学习大学先修课程与优等生有关系.
（2）在这 5 名优等生中，记学习了大学先修课程的 2 名学生为 ，记有习大学先修课程 3
名学生为 .
则所有的抽样情况如下：
，共 10 种，其中没有学生学习大学先修课程的情况有 1 种，为 .
1n = 1 1
3 1
2 2a a= − 1 1a =
2n ≥ 1 1
3 ( )2n n n n nS S a a a− −− = = − 13n na a −=
{ }na
13n
na −=∴
2 1
2
3n n
n n
n nb a a+ +
= =−
2
1 2
3 3 3n n
nT = + + ⋅⋅⋅ +
2 3 +1
1 1 2
3 3 3 3n n
nT = + + ⋅⋅⋅ +∴
2 1
2 1 1 1
3 3 3 3 3n n n
nT += + + ⋅⋅⋅ + −
1
1 1(1 )2 3 3
13 31 3
n
n n
nT +
−
= =
−
3 3 2 3
4 44 3n n
nT
+= − <
×∴
2
2 1250 50 900 200 100 18.939 6.635250 1000 150 1100K
× × − ×= ≈× × ×
（ ） ＞
1 2A A，
1 2 3B B B， ，
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3,A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B A B B A B B B B B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
{ }1 2 3B B B， ，记事件 A 为至少有 1 名学生学习了大学先修课程，则 .
20．（1）证明见解析；（2） .
（1）证明 垂直 所在的平面 ，进而可得证；
（2）根据三棱柱 的体积为 ，求得 ，由
，得到三棱柱的高 .
【详解】
（1）连接 ，因为侧面 为菱形，
所以 ，且 与 相交于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）由 且 垂直平分 可知 是等腰直角三角形，则
，
又
得 .
，且等边 中， ，故 中，
1 91 10 10P A = − =（ ）
21
7
1B C AB ABO
1 1 1ABC A B C− 3
8 1 11B C BC B B= = =
7
8ABCS∆ = 21
7h =
1BC 1 1BB C C
1 1B C BC⊥ 1B C 1BC O
AO ⊥ 1 1BB C C 1B C ⊂ 1 1BB C C
1B C AO⊥ 1B C AO O∩ = 1B C ⊥ ABO
AB Ì ABO 1B C ⊥ AB
1AC AB⊥ AO 1B C 1ACB∆
1
1
2AO B C=
1 1 1 1 1 1
13 3 3 3ABC A B C B ABC A B BC B BCV V V S AO− − − ∆= = = × ⋅ 2 3
1 1
3 3 3·4 8 8B C AO B C= = =
1 11B C BC B B= = =
1
2AO = 1BCB∆ 3
2BO = Rt AOB∆
221 3 12 2AB
= + = 又 ，易求得等腰 中 边上的高为 ，
则 ，
由 有 .
21.解(1) 将点 代入 有 ,故抛物线方程为：
(2)设 直线 : .联立 有 ,
且
因为 ,同理 .由 得
,
化简得 .所以直线 : ,
故 过定点
22【解析】 (1)f′(x)＝ax－1
ax2 (x＞0)，
当 a＜0 时 f′(x)＞0 恒成立，∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a＞0 时，由 f′(x)＝ax－1
ax2 ＞0，得 x＞1
a，
由 f′(x)＝ax－1
ax2 ＜0，得 0＜x＜1
a，
∴函数 f(x)在(1
a，＋∞)上单调递增，在(0，1
a)上单调递减．
综上所述，当 a＜0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a＞0 时，函数 f(x)在(1
a，＋∞)上单调递增，在(0，1
a)上单调递减．
(2)∵当 x∈[1
e，e]时，函数 g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m 的零点，
2
2AC = ABC∆ AC 14
4
1 2 14 7
2 2 4 8ABCS∆ = × × =
1 1
3· 8ABC A BC ABCV S h− ∆= = 21
7h =
(1,1) 2 2y px= 1 2p= 2y x=
2 2
1 1 2 2( , ), ( , )A y y B y y ， MN x ty m= +
2
x ty m
y x
= +
=
2 0y ty m− − =
2
1 2 1 24 0, ,t m y y t y y m∆ = + > + = = −
1 1
1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
y yk x y y
− −= = =− − + 2
2
1
1k y
= + 1 2 3k k+ =
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 21 1 2 31 1 (1 ) (1 ) 1 1
y y y y tk k y y y y y y y y m t
+ + + + ++ = + = = = =+ + + + + + + − + +
2 1
3
tm
+= MN 2 1 2 1( )3 3 3
tx ty m ty t y
+= + = + = + +
MN 1 2( , )3 3
−即当 x∈[1
e，e]时，方程(ln x－1)ex＋x＝m 的根．
令 h(x)＝(ln x－1)ex＋x，h′(x)＝(1
x＋ln x－1)ex＋1.
由(1)知当 a＝1 时，f(x)＝ln x＋1
x－1 在(1
e，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，
∴当 x∈[1
e，e]时，f(x)≥f(1)＝0.
∴1
x＋ln x－1≥0 在 x∈[1
e，e]上恒成立．
∴h′(x)＝(1
x＋ln x－1)ex＋1≥0＋1＞0，
∴h(x)＝(ln x－1)ex＋x 在 x∈[1
e，e]上单调递增．
∴h(x)min＝h(1
e )＝－2e
1
e
＋1
e，h(x)max＝e.
∴当 m＜－2e
1
e
＋1
e或 m＞e 时，函数 g(x)在[1
e，e]上没有零点；
当 2e
1
e
＋1
e≤m≤e 时，函数 g(x)在[1
e，e]上有一个零点．
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