四川省射洪县射洪中学2020届高三上学期毕业班第四次大联考数学理（Word版含答案）.docx

高三第四次大联考数学（理） 第 1 页 共 11 页 绝密★启用前 2020 届高三毕业班第四次大联考 数学试题（理工类） 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3．下列命题是真命题的是（ ）. A．命题 B．命题“若 成等比数列，则 ”的逆命题为真命题 C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”； D．“命题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件； 4.二项式 的展开式中第 项是常数项，则 的值是（ ） A． B． C． D． 5、已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的最小值为（ ）. A． B．9 C．5 D． 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所 著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的 算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例. 若输入 的值分别为 .则输出 的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 47 D. 48 7.函数 图象的大致形状是（　　） A B C D { } { }| 3 2, , | 2 4A x x n n Z B x x= = + ∈ = − < < A B = ∅ { }1,2− { }1− { }2 i 2 1z i = + 11,:,11,: 2 00 2 ≥−∈∃¬≤−∈∀ xRxpxRxp 则 , ,a b c 2b ac= ( 1) 1 0xx e− + = 0x = 0x ≠ ( 1) 1 0xx e− + ≠ p q∨ p q∧ 2 n xx x  −    7 n 8 9 10 11 1 1( 0xy a a−= + > 1)a ≠ ( ),k b m n b+ = 0, 0m n> > 4 1 m n + 9 2 5 2 ,n x 3,3 v 2( ) 1 sin1 xf x xe  = − + 高三第四次大联考数学（理） 第 2 页 共 11 页 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数 ，若在 上随机取一个实数 ，则 的概率为 ( ) A． B． C． D． 10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为 ,则 的范 围是（ ） A． B． C． D． 11．椭圆 ： 的左右焦点为 , ，过 作 轴的垂线与 交于 ， 两点， 与 轴相交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率等于（　　） A． B． C． D． 12．已知函数 ，函数 ，若函数 有 4 个 零点，则实数 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 曲线 在点（1，1）处的切线方程为　 ▲ 　． 14.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为 ▲ ． 15．已知三棱锥 满足平面 平面 ， ， ， ， 则该三棱锥的外接球的表面积为 ▲ . 16. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ，且 ，有下列结论： ① ； ② ； ③ ， 时， 面积为 ； 的 5 6 7 22 ( ) ( )2log 2f x x= + [ ]1,5− 0x ( )0 1f x ≥ 3 5 5 6 5 7 6 7 m m ( )2,+∞ [ )2,+∞ ( )3,+∞ [ )3,+∞ C )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1F 2F 2F x C A B AF1 y D AFBD 1⊥ C 1 3 3 1 2 3 3    ≤−+ > = 0,4 15 2 1 0,2 )( xxa xx xf 2)( xxg = )()( xgxfy −= a ),5( +∞ 155, 2      195, 2      195, 2      xxy ln2 += )0(22 >= ppxy 16)3( 22 =+− yx p P ABC− PAB ⊥ ABC AC BC⊥ 4AB = 030APB∠ = ABC∆ A B C a b c sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= 2•CA CB mc=  2 8t< < 2 29 m− < < 4t = ln 2a = ABC∆ 215 ln 2 8高三第四次大联考数学（理） 第 3 页 共 11 页 ④当 时， 为钝角三角形. 其中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（本小题满分 12 分） 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . ▲ 18．（本小题满分 12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 （1）求角 ； （2）若 是边 的中点， .求 的 长； ▲ 19．（本小题满分 12 分） 如图，在多面体 中， 平面 ，平面 平 面 ， 是边长为 2 的等边三角形， ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值． ▲ 20．（本小题满分 12 分） 射洪市某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年级一班共有学生 30 人，测试立 定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位： ）：男生成绩在 175 以上（包括 175 ）定 义为“合格”，成绩在 175 以下（不包括 175 ）定义为“不合格”．女生成绩在 165 以 上（包括 165 ）定义为“合格”，成绩在 165 以下（不包括 165 ）定义为“不合格”． (1)求五年级一班的女生立定跳远成绩的中位数； (2)在五年级一班的男生中任意选取 3 人，求至少有 2 人的成绩 是合格的概率； 52 8t< < ABC∆ { }na { }nb 2 2b = 3 4b = 1 1a b= 6 5a b= { }na n n nc a b= + { }nc n nS ABC∆ A B C a b c 2 cos 2c A b a= − C D BC 5, 21AC AD= = AB ABCDE AE ⊥ ABC BCD ⊥ ABC ABC∆ 5BD CD= = 2AE = EBD ⊥ BCD BED ABC cm cm cm cm cm cm cm cm cm高三第四次大联考数学（理） 第 4 页 共 11 页 (3)若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试，用 表示其中男生的人数， 写出 的分布列，并求 的数学期望． ▲ 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ， （1）讨论 在 上的单调性. （2）当 时，若 在 上的最大值为 ，讨论：函数 在 内的 零点个数. ▲ （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原 点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值. ▲ 23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ， ． X X X ( )1( ) sin 02f x ax x a a R a= − ∈ ≠， ( )f x [0, ]2 π 0a > ( )f x 0, 2 π     1π − ( )f x (0, )π xOy 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + t O x 2C 2cos 3sinρ θ θ= 1C 2C ( )0,2P 1C 2C ,M N 2 2PM PN+ 2( ) 8= − + +f x x ax ( ) | 1| | 1|g x x x= + + −高三第四次大联考数学（理） 第 5 页 共 11 页 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围． ▲ 2020 届高三毕业班第四次大联考 数学试题（理科）参考答案 一、选择题 1-5 BDCBA 6-10 DCBBA 11-12 DB 10．钝角三角形三内角 、 、 的度数成等差数列，则 ， ， 可设三个角分别为 ， ， ． 故 ． 又 ， ．令 ，且 ，则 因为函数 在 ， 上是增函数， ， 11．由题意可得， ， ，则点 为 的中点， ，由 ，得 ，即 ，整理得 ， ，∴ 解得 ． 12．分段讨论：当 时， 与 有两个 交点 ，两个零点.要使 有 4 个零点,则当 时 与 有 0=a )()( xgxf ≥ ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− a A B C 3B π= 2 3A C π+ = 3 A π − 3 π 3 A π + ( )6 3A π π< < 3 1sin( ) cos sin 3 tan3 2 2 3 1 3 tansin( ) cos sin3 2 2 A A Ac Am a AA A A π π + + += = = = −− − 6 3A π π< < ∴ 3 tan 33 A< < tant A= 3 33 t< < 3 ( 3 ) 2 3 2 31 3 3 3 t tm t t t + − − += = = − + − − − 2 31 3 m t = − + − 3( 3 3) 2m∴ > 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F A 2 (0, )2 bD a ∴ 1BD F A⊥ 1 1BD F Ak k = − 2 2 2 2 12 b b b a a a c c − − = − 23 2b ac= ∴ 2 23( ) 2a c ac− = 23 +2 3 0e e − = 3 3e = 0x > ( ) 2xf x = 2( )g x x= (2,4),(4,16) ( ) ( )y f x g x= − 0x ≤ 1 15( ) 2 4f x a x= + − 2( )g x x=高三第四次大联考数学（理） 第 6 页 共 11 页 两个交点即可（如图）. 过点 作 的切线，设切点为 ,则 ，即切线方程 为 ,把点 代入切线方程，得 或 ,又 ，则 ， 又 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 二、填空题 13. . 14. 15．【答案】 因为 ，所以 的外心为斜边 的中点， 因为平面 平面 ，所以三棱锥 的外接球球心在平面 上，即球心就是 的外心，根据正弦定理 ，解得 ，所以外接球的表面积为 . 16.【答案】①②④ ，∴ ， 故可设 ， ， ， . ，∴ ， 则 ，当 时， ，故 为钝角三角形. 面 ， 又 ，∴ . ，∴ ，即 ，∴ .当 ， 时， 的面积为 ，故四个结论中，只有③不正确. 填①②④。 三、解答题 17.【答案】（1） ；（2） 1 15( , )2 4 − − 2( ) ( 0)g x x x= < 2( , )( 0)m m m < =2k m切 2 2 ( )y m m x m− = − 1 15( , )2 4 − − 5 2m = − 3 2m = 0m < 5 2m = − =2 = 5k m −切 1 150 02 4a⋅ + − < 15 2a < a 15(5, )2 3 2 0x y− − = 2 64π AC BC⊥ ABC∆ AB PAB ⊥ ABC P ABC− PAB PAB∆ 2sin AB RAPB =∠ 4R = 64π sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= : : ln 2:ln 4:lna b c t= ln 2a k= ln 4 2 ln 2b k k= = lnc k t= 0k > b a c b a − < < + ln 2 3 ln 2k c k< < 2 8t< < 52 8t< < 2 2 2 0a b c+ − < ABC∆ 2 2ln5 22cos 222222222 ckcba ab cbaabCabCBCA −=−+=−+⋅==⋅ 2•CA CB mc=  2 2 2 2 2 2 2 2 5 ln 2 • 5 ln 2 12 2 2 k c CA CB km c c c − = = = −   ln 2 3 ln 2k c k< ( )f x 0 2 π    ， ( ) (sin cos )f x a x x x′ = + 0a < (0 )2x π∈ ， ( ) 0f x′ < ( )f x 0, (0, )2a x π> ∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 0a < ( )f x 0 2 π    ， 0a > ( )f x 0 2 π    ， 0a > ( )f x 1( )2 2 2f a a π π= − 1 12 2a a π π− = − 2a = ∴ ( ) 2 sin 1f x x x= −高三第四次大联考数学（理） 第 10 页 共 11 页 在 上单调递增； 且 ， ， 在 内有且仅有 1 个零点. 当 时 令 ， ， 在 内单调递减， 且 ， ， 存在 ，使得 ， 时， 在 单调递增 时， 在 上无零点， 当 时， 在 内单调递减； 又 在 内有且仅有 1 个零点， 22．【答案】（1） : , : （2） （1）直线 的参数方程为 （其中 为参数），消去 可得 ； 由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 .  ( )f x [0, ]2 π (0) 1 0f = − < ( ) 1 02f π π= − > ( )f x∴ (0, )2 π [ , )2x π π∈ ( ) ( ) 2(sin cos )g x f x x x x′= = + ( ) 2(2cos sin ) 0g x x x x′ = − < ( )g x∴ ( , )2 π π ( ) 2 02g π = > ( ) 2 0g π π= − < ∴ 0 ( , )2x π π∈ 0( ) 0g x = 0( , )2x x π∈∴ ( ) 0f x′ > ( )f x 0( , )2 x π 0[ , )2x x π∈∴ ( ) ( ) 1 02f x f π π= − > ( )f x∴ 0( , )2 x π 0( )x x π∈ ， ( ) 0f x′ < ( )f x 0( , )x π 0( ) 0, ( ) 1 0f x f π> = − < ( )f x∴ 0( , )x π 1C 2 2 0x y+ − = 2C 2 3x y= 90 1C 3 3 62 3 tx y t  = −  = + t t 2 2 0x y+ − = 2cos 3sinρ θ θ= 2 2cos 3 sinρ θ ρ θ= 2C 2 3x y=高三第四次大联考数学（理） 第 11 页 共 11 页 （2）将直线 的参数方程 代入 ，得 ， 设 对应的参数分别为 ，则 ， . 23．【答案】（1） ；（2） . （1） ，当 时， ． ， 或 或 ， 或 或 ， ， ∴不等式的解集为 ； （2）由（1）知，当 时， ． ∵不等式 的解集包含 ， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， ∴ ， ， ∴ 的取值范围为 ． 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + 2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 3 6 18 t t t t  + = = − ( )2 2 2 1 2 1 22 90PM PN t t t t+ = + − = [ ]2 2− , [ ]5,5− 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x g x x x x x x > = + + − = − ≤ ≤ − < − 0a = 2( ) 8= − +f x x ( ) ( ) f x g x≥ 2 8 2 1 x x x − + ≥  > 2 8 2 1 1 x x − + ≥ − ≤ ≤ 2 8 2 1 x x x − + ≥ −  < − 1 2x∴ < ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 1x− ≤ < − 2 2x∴− ≤ ≤ [ ]2 2− , 1 1x− ≤ ≤ ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 2 8 2x ax∴− + + ≥ [ ]1,1− 2 6 0− − ≤x ax [ ]1,1− 2 2 ( 1) 6 0 1 6 0 a a  − + − <  − − ≤ 5 5a∴− ≤ ≤ a [ ]5,5−