四川省射洪县射洪中学2020届高三上学期毕业班第四次大联考数学文（Word版含答案）.docx

高三第四次大联考数学（文） 第 1 页 共 11 页 绝密★启用前 2020 届高三毕业班第四次大联考 数学试题（文史类） 注意事项： 1．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 2．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.下列命题是真命题的是（ ）. A．命题 B．命题“若 成等比数列，则 ”的逆命题为真命题 C．命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”； D．“命题 为真”是“命题 为真”的充分不必要条件； 4.若 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.已知曲线 且 过定点 ，若 且 ，则 的 最小值为（ ）. A． B．9 C．5 D． 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在 所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先 进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一 个实例.若输入 的值分别为 .则输出 的值为（ ） A. B. C. D. 7.函数 图象的大致形状是（ 　） { } { }| 3 2, , | 2 4A x x n n Z B x x= = + ∈ = − < < A B = ∅ { }1,2− { }1− { }2 i 2 1z i = + 11,:,11,: 2 00 2 ≥−∈∃¬≤−∈∀ xRxpxRxp 则 , ,a b c 2b ac= ( 1) 1 0xx e− + = 0x = 0x ≠ ( 1) 1 0xx e− + ≠ p q∨ p q∧ yx,    ≤− −≥− ≥+ 22 1 1 yx yx yx yxz 2+= 2 1 2− 1− 1 1( 0xy a a−= + > 1)a ≠ ( ),k b m n b+ = 0, 0m n> > 4 1 m n + 9 2 5 2 ,n x 3,3 v 15 16 47 48 2( ) 1 sin1 xf x xe  = − + 高三第四次大联考数学（文） 第 2 页 共 11 页 A B C D 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A. B. C. D. 9.已知函数 ，若在 上随机取一个实数 ，则 的概率为 ( ) A． B． C． D． 10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为 ,则 的范 围是（ ） A． B． C． D． 11．椭圆 ： 的左右焦点为 , ，过 作 轴的垂线与 交于 ， 两点， 与 轴相交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率等于（　　） A． B． C． D． 12.已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点， 则正实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 曲线 在点（1，1）处的切线方程为 ▲ ． 14.已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为 ▲ ． 15．已知三棱锥 满足平面 平面 ， ， ， ， 则该三棱锥的外接球的表面积为 ▲ . 16. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .已知 ，且 ，有下列结论： ① ； ② ； ③ ， 时， 面积为 ； ④当 时， 为钝角三角形. 的 5 6 7 22 ( ) ( )2log 2f x x= + [ ]1,5− 0x ( )0 1f x ≥ 3 5 5 6 5 7 6 7 m m ( )2,+∞ [ )2,+∞ ( )3,+∞ [ )3,+∞ C )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 1F 2F 2F x C A B AF1 y D AFBD 1⊥ C 1 3 3 1 2 3 3 ]1,0[∈x 2)1( −= mxy mxy += m ),32[]1,0( +∞ ),3[]1,0( +∞ ),32[]2,0( +∞ ),3[]2,0( +∞ xxy ln2 += )0(22 >= ppxy 16)3( 22 =+− yx p P ABC− PAB ⊥ ABC AC BC⊥ 4AB = 030APB∠ = ABC∆ A B C a b c sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= 2•CA CB mc=  2 8t< < 2 29 m− < < 4t = ln 2a = ABC∆ 215 ln 2 8 52 8t< < ABC∆高三第四次大联考数学（文） 第 3 页 共 11 页 其中正确的是 ▲ ．（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（本小题满分 12 分） 射洪市某校共有学生 2000 人，其中男生 1100 人，女生 900 人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽 样的方法收集该校 100 名学生每周平均课外阅读时间（单 位：小时） （1）应抽查男生与女生各多少人？ （2）如图，根据收集 100 人的样本数据，得到学生每 周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分 组区间为 .若在样本数据中 有 38 名女学生平均每周课外阅读时间超过 2 小时，请完成 每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95% 的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”. 男生 女生 总计 每周平均课外阅读时间不超过 2 小时 每周平均课外阅读时间超过 2 小时 总计 附： 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ▲ 18.（本小题满分 12 分） 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . ▲ 19．（本小题满分 12 分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 （1）求角 ； （2）若 是边 的中点， .求 的长； ▲ [0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6] 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ( )2 0P K k≥ 0k { }na { }nb 2 2b = 3 4b = 1 1a b= 6 5a b= { }na n n nc a b= + { }nc n nS ABC∆ A B C a b c 2 cos 2c A b a= − C D BC 5, 21AC AD= = AB高三第四次大联考数学（文） 第 4 页 共 11 页 20.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ，满足 ， ，底面是直角梯形， . （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积； ▲ 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）若 ，证明: ； （2）当 时，讨论函数 零点的个数. ▲ （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原 点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值. ▲ 23．（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】 已知函数 ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集包含 ，求实数 的取值范围． P ABCD− PCD ⊥ ABCD PD CD⊥ E F 1 3PE PC = 2 3PF PA=  , 90 1, 3AB CD ADC AB AD PD CD∠ = ° = = = =，/ / / /BE PAD P EFB− 21( ) ( 2) 2ln ( )2f x ax a x x a R= − + + ∈ 0a = ( ) 0f x < 0≥a ( )f x xOy 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + t O x 2C 2cos 3sinρ θ θ= 1C 2C ( )0,2P 1C 2C ,M N 2 2PM PN+ 2( ) 8= − + +f x x ax ( ) | 1| | 1|g x x x= + + − 0a = )()( xgxf ≥ ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− a高三第四次大联考数学（文） 第 5 页 共 11 页 ▲ 2020 届高三毕业班第四次大联考 数学试题（文科）参考答案 一、选择题 1-5 BDCBA 6-10 DCBBA 11-12 DB 10．钝角三角形三内角 、 、 的度数成等差数列，则 ， ， 可设三个角分别为 ， ， ． 故 ． 又 ， ．令 ，且 ，则 因为函数 在 ， 上是增函数， ， 11．【答案】D 由题意可得， ， ，则点 为 的中点， ，由 ，得 ，即 ，整理得 ， ，∴ 解得 ． 12.【答案】B 当 时， ， 单调递减，且 ， 单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当 时， ， 在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 二、填空题 13. . 14.2. 15．【答案】 因为 ，所以 的外心为斜边 的中点， 因为平面 平面 ，所以三棱锥 的外接球球心在平面 上，即球心就是 A B C 3B π= 2 3A C π+ = 3 A π − 3 π 3 A π + ( )6 3A π π< < 3 1sin( ) cos sin 3 tan3 2 2 3 1 3 tansin( ) cos sin3 2 2 A A Ac Am a AA A A π π + + += = = = −− − 6 3A π π< < ∴ 3 tan 33 A< < tant A= 3 33 t< < 3 ( 3 ) 2 3 2 31 3 3 3 t tm t t t + − − += = = − + − − − 2 31 3 m t = − + − 3( 3 3) 2m∴ > 2 ( , )bA c a 2 ( , )bB c a − D 1F A 2 (0, )2 bD a ∴ 1BD F A⊥ 1 1BD F Ak k = − 2 2 2 2 12 b b b a a a c c − − = − 23 2b ac= ∴ 2 23( ) 2a c ac− = 23 +2 3 0e e − = 3 3e = 3 2 0x y− − = 64π AC BC⊥ ABC∆ AB PAB ⊥ ABC P ABC− PAB高三第四次大联考数学（文） 第 6 页 共 11 页 的外心，根据正弦定理 ，解得 ，所以外接球的表面积为 . 16.【答案】①②④ ，∴ ， 故可设 ， ， ， . ，∴ ， 则 ，当 时， ，故 为钝角三角形. 面 ， 又 ，∴ . ，∴ ，即 ，∴ .当 ， 时， 的面积为 ，故四个结论中，只有③不正确. 填①②④。 三、解答题 17．【答案】（1）男生人数 人，女生人数： 人（2）填表详见解析,有 95%的把握认为“该校 学生的每周平均阅读时间与性别有关.” （1）男生人数：女生人数=1100：900=11：9 所以，男生人数 人,女生人数： 人. （2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过 2 小时的人数为： 人， 所以，平均每周课外阅读时间超过 2 小时的男生人数为 37 人. 可得每周课外阅读时间与性别的列联表为 男生 女生 总计 每周平均阅读时间不超过 2 小时 18 7 25 每周平均阅读时间超过 2 小时 37 38 75 总计 55 45 100 PAB∆ 2sin AB RAPB =∠ 4R = 64π sin :sin :sin ln 2:ln 4:lnA B C t= : : ln 2:ln 4:lna b c t= ln 2a k= ln 4 2 ln 2b k k= = lnc k t= 0k > b a c b a − < < + ln 2 3 ln 2k c k< < 2 8t< < 52 8t< < 2 2 2 0a b c+ − < ABC∆ 2 2ln5 22cos 222222222 ckcba ab cbaabCabCBCA −=−+=−+⋅==⋅ 2•CA CB mc=  2 2 2 2 2 2 2 2 5 ln 2 • 5 ln 2 12 2 2 k c CA CB km c c c − = = = −   ln 2 3 ln 2k c k< 3 2na n= − 23 2 12 nn n− + − 3 2 4 22 bq b = = = 1 1b = 12n nb −= 1 1 1a b= = 6 5 16a b= = 6 1 36 1 a ad −= =− 3 2na n= − 13 2 2n nc n −= − + (1 3 2) 1 2 2 1 2 n n n nS + − −= + − 23 2 12 nn n−= + − 3C π= 19 2 cos 2c A b a= − ∴ 2sin cos 2sin sinC A B A= − 2sin cos 2sin sinC A A C A= +（ ）-∴ 2sin cos 2sin cos 2cos sin sinC A A C A C A= + −∴ 2sin cos in , sin 0A C s A A= ≠∴ 1cos 2C∴ = ( ) , 3C C ππ∈ = 0， ∴ ACD∆ 2 2 2 2 cosAD AC CD AC CD C= + − ⋅ ⋅ 221 25 5CD CD= + −∴ 2 5 4 0CD CD− + = 1CD =∴ 4CD = 1CD = 2BC = ABC∆ 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 125 4 2 5 2 2 19= + − × × × = 19AB =∴高三第四次大联考数学（文） 第 8 页 共 11 页 当 时， , 或 . 20．【答案】（1）证明见解析；（2） ； 证明（1）在 上取点 ，使得 ，连结 ， ，又 ， ，且 ， 四边形 为平行四边形 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （2） 平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ， = = = 三棱锥 的体积为 . 21.已知函数 . （1）若 ，证明: ； （2）讨论函数 零点的个数. 解:(1)证明:当 时, ， 列表: 递增 递减 4CD = 8BC = 2 2 2 2 cosAB AC BC AC BC C= + − ⋅ ⋅ 125 64 2 5 8 492 = + − × × × = 7AB =∴ 19AB =∴ 7AB = 1 27 PD G 1 3PG PD= ,EG GA 1 3PE PC=   1 3 PE PG PC PD = =∴ 1, 13EG DC EG CD= =/ /∴ , 1AB CD AB = / / GE AB/ /∴ =GE AB ∴ ABEG BE AG/ /∴ AG ⊂ PAD BE ⊄ PAD / /BE∴ PAD  PCD ⊥ ABCD PD CD⊥ PCD  ABCD CD= PD∴ ⊥ ABCD 1 2,3 3PE PC PF PA= = 1 3P EFB E PFB C PFBV V V− − −= =∴ 1 2 3 3 C PABV −= × 2 9 P ABCV − 2 1 9 3 ABCS PD∆= × ⋅ 2 1 1 1 127 2 × × × × 1 27 ∴ P EFB− 1 27 21( ) ( 2) 2ln ( )2f x ax a x x a R= − + + ∈ 0a = ( ) 0f x < ( )f x 0a = ( ) 2 2ln ( 0)f x x x x= − + > 2 2(1 )( ) 2 xf x x x −′ = − + = x (0,1) 1 (1, )+∞ ( )f x′ + 0 − ( )f x 2−高三第四次大联考数学（文） 第 9 页 共 11 页 ,即 ； (2) ， ， 讨论: 当 时,由第(1)问可得函数 没有零点； 当 ,即 时，令 得 ,或 , 即函数 的增区间为 , ， 令 得 ,即函数 的减区间为 ， 而 , 因为函数 的减区间为 ,所以 ， 又函数 的增区间为 , ，所以当 时, ， 所以当 时, ， 时， ， 所以函数 在区间 没有零点,在区间 有一个零点； 当 ,即 时, 恒成立， 即函数 在 上递增而 ， 时， ， 所以函数 在区间 有一个零点； 当 ,即 时, 令 得 ,或 ,即函数 的增区间为 , 令 得 ,即函数 的减区间为 ， 因为 ,所以 ，又 时， ， max ( ) (1) 2 0f x f∴ = = − < max( ) ( ) 0f x f x≤ < ( ) 0f x < 2( ) ( 2) ( 0)f x ax a xx ′ = − + + > 2 ( 2) 2 ( 1)( 2)( ) ( 0)ax a x x axf x xx x − + + − −′ = = > 01 0a = ( )f x 02 2 1a > 0 2a< < ( 1)( 2)( ) 0x axf x x − −′ = > 0 1x< < 2x a > ( )f x (0,1) 2( , )a +∞ ( 1)( 2)( ) 0x axf x x − −′ = < 21 x a < < ( )f x 2(1, )a 1 1(1) ( 2) 2ln1 2 02 2f a a a= − + + = − − < ( )f x 2(1, )a 2( ) (1) 0f fa < < ( )f x (0,1) 2( , )a +∞ (0,1)x∈ ( ) (1) 0f x f< < 2( , )x a ∈ +∞ 2( ) ( )f x f a > x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x 2(0, )a 2( , )a +∞ 03 2 1a = 2a = 2( 1)( 2) ( 1)(2 2) 2( 1)( ) 0x ax x x xf x x x x − − − − −′ = = = ≥ ( )f x (0, )+∞ 1 1(1) 2 2 2 02 2f a= − − = − × − < x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x (0, )+∞ 04 20 1a < < 2a > ( 1)( 2)( ) 0x axf x x − −′ = > 20 x a < < 1x > ( )f x 2(0, )a (1, )+∞ ( 1)( 2)( ) 0x axf x x − −′ = < 2 1xa < < ( )f x 2( ,1)a 2a > 2 2 2 2( ) 2 2ln 2 2ln1 0f a a a a = − − + < − − + < x → +∞ ( )f x → +∞高三第四次大联考数学（文） 第 10 页 共 11 页 根据函数单调性可得函数 在区间 没有零点,在区间 有一个零点； 22．【答案】（1） : , : （2） （1）直线 的参数方程为 （其中 为参数），消去 可得 ； 由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 . （2）将直线 的参数方程 代入 ，得 ， 设 对应的参数分别为 ，则 ， . 23．【答案】（1） ；（2） . （1） ，当 时， ． ， 或 或 ， 或 或 ， ， ∴不等式的解集为 ； （2）由（1）知，当 时， ． ∵不等式 的解集包含 ， 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， ( )f x (0,1) (1, )+∞ 1C 2 2 0x y+ − = 2C 2 3x y= 90 1C 3 3 62 3 tx y t  = −  = + t t 2 2 0x y+ − = 2cos 3sinρ θ θ= 2 2cos 3 sinρ θ ρ θ= 2C 2 3x y= 1C 3 3 62 3 x t y t  = −  = + 2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 3 6 18 t t t t  + = = − ( )2 2 2 1 2 1 22 90PM PN t t t t+ = + − = [ ]2 2− , [ ]5,5− 2 , 1 ( ) 1 1 2, 1 1 2 , 1 x x g x x x x x x > = + + − = − ≤ ≤ − < − 0a = 2( ) 8= − +f x x ( ) ( ) f x g x≥ 2 8 2 1 x x x − + ≥  > 2 8 2 1 1 x x − + ≥ − ≤ ≤ 2 8 2 1 x x x − + ≥ −  < − 1 2x∴ < ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 1x− ≤ < − 2 2x∴− ≤ ≤ [ ]2 2− , 1 1x− ≤ ≤ ( ) 2g x = ( ) ( )f x g x≥ [ ]1,1− 2 8 2x ax∴− + + ≥ [ ]1,1− 2 6 0− − ≤x ax [ ]1,1−高三第四次大联考数学（文） 第 11 页 共 11 页 ∴ ， ， ∴ 的取值范围为[-5,5]． 2 2 ( 1) 6 0 1 6 0 a a  − + − <  − − ≤ 5 5a∴− ≤ ≤ a