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理科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合U = −1,1,3,5,7,9 , A ={1,5}, B = −1,5,7，则 CU (A B) =
A．3,9 B．1,5,7 C．−1,1,3,9 D．−1,1,3,7,9
2．已知空间三条直线 l,m,n ，若 l 与 m 垂直， l 与 n 垂直，则
A． m 与 n 异面 B． m 与 n 相交
C． m 与 n 平行 D． m 与 n 平行、相交、异面均有可能
3．复数 z 满足 z −1 = z + 3 ，则 z
A．恒等于 1 B．最大值为 1，无最小值
C．最小值为 1，无最大值 D．无最大值，也无最小值
4．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积（单位： cm2 ）是
A．16
B．32
C．44
D．64
5．已知 x + y 0，则“ 2|x| + x2 2|y| + y2 ”是“ x 0 ”的
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．函数 ln cos( 2 )y x 2 x= − 的图像可能是
A B C D
7．已知两个不相等的非零向量 b,a ，满足 1=a ，且 a 与 ab− 的夹角为 60 ，则 b 的取值范围是
A．
2
30， B．
1,2
3 C．
+,2
3 D． ( )+，1
8．已知随机变量 的分布列为：
x y
P y x
则下列说法正确的是
A．存在 x，y ( )1,0 ， 1() 2E B．对任意 x，y ( )1,0 ， 1() 4E
C．对任意 x，y ( )1,0 ， ( ) ( )DE D．存在 x，y ( )1,0 ， 1() 4D
9．设函数 ( ) dcxbxaxxf +++= 23 ( ), , , 0a b c d aR 且 ，若 ( ) ( ) ( ) 14433220 == fff ，则
( ) ( )51 ff + 的取值范围是
A． ( )10， B． ( )21， C． ( )3,2 D． ( )4,3
10．已知 21,FF 分别为双曲线 ( )0012
2
2
2
=− ,bab
y
a
x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，使得点
2F 到直线 1PF 的距离为 a ，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．
2
51， B．
+，
2
5 C． ( )51， D． ( )+，5
11．如图，在菱形 ABCD 中， 60ABC=，E，F 分别是边 AB，CD 的中点，现将 ΔABC
沿着对角线 AC 翻折，则直线 EF 与平面 ACD 所成角的正切值最大值为
A． 2 B．
3
21
C．
3
3
D．
2
2 （第 11 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页
12．已知数列 na 满足 11 =a ， 11ln1 ++=+
n
nn aaa ，记 nn aaaS +++= 21 ， t 表示不超过 t 的
最大整数，则 2019S 的值为
A．2019 B．2018 C．4038 D．4037
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 2,2− 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 kxy = 与圆 ( ) 95 22 =+− yx 相交”发生的概率
为 ．
14．如图，在 ABC 中， ACAB ， 32=BC ， = 60A ， ABC 的面积
等于 32 ，则角平分线 AD 的长等于 ．
15．已知数列 na 满足 naa nn 2151 −=+ + ，其前 n 项和为 nS ，若 nS 8S 恒
成立，则 1a 的取值范围为 ．
16．已知 P 为椭圆 C：
22
+143
xy= 上一个动点， 1F 、 2F 是椭圆 C 的左、右焦点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P
点处的切线距离为 d，若 12
24
7PF PF=，则 d = ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作
答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）已知函数 xxxf cos3sin)( −=
（1）求函数 ()fx的单调递增区间；
（2）在 ABC 中，角 ,,A B C 所对的边分别是 a , b , c ，若 ( ) 3fB= ， 3b = ，求 ABC
面积的最大值．
18．（12 分）如图，已知四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD//BC，BC=2AD，
AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点．
（1）求证：AE//平面 PDC；
（2）若 BC=CD=PD，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的余弦值．
19．(12 分) 已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球，现从甲，乙
两个盒内各任取 2 个球．
（1）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；
（2）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望．
20．(12 分)如图，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 2 4yx= 交于 A 、 B 两点，直线 PM 垂
直平分弦 AB ，且分别交 AB 、 x 轴于 M 、 P ，已知 ( )4,0P ．
（1）求 M 点的横坐标；
（2）求 PAB△ 面积的最大值．
21．（12 分）已知函数
x
axxxf −= ln)( ， Ra ．
（1）若函数 )(xf 有且只有两个零点，求实数 a 的取值范围；
（2）设函数 )(xf 的两个零点为 21, xx ，且 21 xx ，求证 exx 221 + ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清
题号．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
4cos
2sin
x
y
=
=
（ 为参数），在以坐标原点 O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴的极坐标系中，点 P 的极坐标为 4, 3
，直线l 的极坐标方程为 2 sin 96−=
．
（1）求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；
（2）若 Q 是曲线 C 上的动点，M 为线段 PQ 的中点，直线l 上有两点 A,B，始终满足 AB 4= ，求 MAB△ 面积
的最大值与最小值．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 cba ,, 为正实数，且满足 3=++ cba ．证明：
（1） 3++ acbcab ； （2） 3
222
++ a
c
c
b
b
a ．
（第 14 题图）
l 第1页 共 7 页
理科数学答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B A D D C A B D D
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3
8
14． 43
3
15． ( ,7]−
16． 14
2
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．解： ( ) sin 3 cos 2sin( )3f x x x x = − = − ………………………………2 分
（1）令 222 3 2k x k − − + （ kZ ）得
52266k x k− + （ kZ ）
故函数 ()fx的单调递增区间为 52 ,266kk−+
（ kZ ） …………………5 分
（2）由 ( ) 3fB= ，得 3sin( )32B −= ，
323
+=− kB
或
,3
223
+=− kB
∴ 22 2 ,3B k B k k Z = + = + 或 ， 第2页 共 7 页
3
2=BB是三角形的内角，
． ………………………………7 分
∵ Baccab cos2222 −+=
∴ 922 =++ acca
∴ 92 + acac ，即 3ac ………………………………9 分
∴ 1 3 3sin24ABCS ac B =． ………………………………11 分
当且仅当 3ac== 时， ABC 面积的最大值是 33
4
． ……………………………12 分
18．（1）取 PC 的中点 F，连接 DF，EF，
∵ E 是 PB 的中点，
∴ EF//BC，且 BC=2EF，
又 AD//BC，BC=2AD
∴ AD//EF 且 AD=EF， ………………………………2 分
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形，
∴ AE//DF，又 DF⊂平面 PDC, AE PCD 平面 ， ……………………………… 4 分
∴ AE//平面 PDC． ………………………………5 分
（2）若 PD=DC，则△PDC 是等腰三角形，
∴ DF⊥PC，
又 AE//DF，∴ AE⊥PC
∵ PD⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD
∴ PD⊥BC，
又 BC⊥CD,CD PD D=
∴ BC⊥平面 PDC， ………………………………7 分
∵ DF⊂平面 PDC
∴ BC⊥DF
∴ BC⊥AE
又 AE⊥PC ,PC BC C=
∴ AE⊥平面 PBC， ………………………………9 分
连接 EC，AC，则∠ACE 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角． ………………………10 分
设 PD=CD=BC=2，
E
B
A
P
C D
F第3页 共 7 页
在 Rt△PCB 中，求得 PC= 22 ，PB= 23 ，EC= 3 ，
在 Rt△ADC 中，求得 AC= 5 ,
∴ 在 Rt△AEC 中， 3 15
5cs
5
o ECECA AC= == ． ………………………………12 分
19．（1）设事件 iA 为“甲盒中取出i 个红球”，事件 jB 为“乙盒中取出 j 个红球”
则 ( ) ( )22
2 3 3 3
22
56
,
i i j j
ij
C C C CP A P BCC
−−
==
设事件C 为“4 个球中恰有 1 个红球”
( ) ( ) ( )
0 2 1 1 1 1 0 2
2 3 3 3 2 3 3 3
0 1 1 0 2 2 2 2
5 6 5 6
3 9 6 3 3C 10 15 10 15 10
C C C C C C C CP P A B P A B C C C C = + = + = + =
…
………………………………3 分
（2） 可取的值为0,1,2,3 4，
( ) ( )
0 2 0 2
2 3 3 3
00 22
56
C C C C 30 B =C C 50P P A = = = ……5 分
( ) ( ) 31C10PP = = =
( ) ( ) ( ) ( )
0 2 2 0 1 1 1 1 2 0 0 2
2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3
0 2 1 1 2 0 2 2 2 2 2 2
5 6 5 6 5 6
112 + + 25
C C C C C C C C C C C CP P A B P A B P A B C C C C C C = = + = + =
………………………………7 分
( ) ( ) ( )
1 1 2 0 2 0 1 1
2 3 3 3 2 3 3 3
1 2 2 1 2 2 2 2
5 6 5 6
93 + + 50
C C C C C C C CP P A B P A B C C C C = = = = …………………9 分
( ) ( )
2 0 2 0
2 3 3 3
22 22
56
C C C C 14 B =C C 50P P A = = = ………………………………10 分
的分布列为：
0 1 2 3 4
P 3
50
3
10
11
25
9
50 50
1
3 3 11 9 1 90 1 2 3 +450 10 25 50 50 5E = + + + = ………………………………12分 第4页 共 7 页
20．（1）设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )A x y B x y M x y ，则 1 2 1 2
00,22
x x y yxy++==，……1 分
∴ 12
1 2 1 2 0
42yyk x x y y y
−= = =−+
， ………………………………3 分
而 0
0 4MP
yk x= −
， ………………………………4 分
由 1MPkk = − 得 0 42x − = − ，即 0 2x = ． ………………………………5
分
（2）设直线 0: ( ) 2AB x m y y= − + 即 0:2AB x my my= − + ，
与抛物线 2 4yx= 联立得 2
04 4 8 0y my my− + − = ，
22
016 4(4 8) 0, 2m my m= − − △
则 1 2 1 2 04 , 4 8y y m y y my+ = = − ， ………………………………7 分
所以 2 2 2
1 2 0| | 1 | | 1 16 16 32AB m y y m m my= + − = + − + ，
而 P 到直线 AB 的距离为 0
2
| +2 |
1
myd
m
=
+
，
所以 2
00
1 | | 2 | 2 | 22PABS d AB my m my = = + − + ………………………………9 分
又由于 01
2
ym k== ，
所以 2 2 2 22(2 2) 2 4( 1) 2PABS m m m m = + − = + − （ 2 2m ）， …………………10 分
令 22 mt−=，则 0t 且 222mt=−，
所以 234(3 ) 12 4PABS t t t t = − = − ，
令 3( ) 12 4 ( 0)g t t t t= − ，
则 2( ) 12 12 12(1 )(1 )g t t t t = − = − + ，
当 01t ， ( ) 0gt ，当 1t 时， ( ) 0gt ，
故 3( ) 12 4 (1) 8g t t t g= − = ，即 PAB 面积的最大值为 8． ………………………12 分第5页 共 7 页
21．（1）解： 2
1 ln' ) 0,xf x x ex
−= = =（
当 ' ) 0 0 , ( ) 0 )f x x e f x e （ 时， 在（ ， 上单调递增 ，
当 ' ) 0 , ( ) , )f x x e f x e +（ 时， 在（ 上单调递减．
1) ( )f x f e ae = = −极大值（ ……3 分，
1)0f x a e （ 有且只有两个零点， ， 0 0 ( ) 0x x f x → 又 且 时 ，
0 ( ) 0x a f x→ + = 时，若 时， 不符合题意， 0 lim ( ) 0
x
a f x a
→+
= − 若 时, 不符合 ，
0 lim ( ) 0
x
a f x a
→+
= − 若 时, 满足 ，
综上，若使 ()fx有且只有两个零点， 10 a e …………………… 4 分
（2）证法一：
lnln) 0 ln , ln xxf x a x ax x a ex= − = = = （ ， ， 12ln ,ln xx x xe a−=是 的两根
tt ettgettgxtxt −− −==== )1()(',)(,ln,ln 2211设 ，
上单调递减上单调递增，在，在（ ),1[]1-)( + tg ， ………………………………6 分
,10,),()( 212121 tttttgtg = 则必有设
），（构造函数 10),1()1()(G −−+= ttgtgt ，
,01-()1(')1(')(G' 2
1 =−++= + ）t
t ee
ttgtgt
,0)0()(,)1,0()(G = GtGtt 上单调递增在 ………………………………9 分
)()()2( 211 tgtgtg =− ，
上单调递减，在又 ),1()(),,1(,2 21 ++− ttgtt
2,-2 2121 + tttt ,
12ln ln 2xx + ，即 2
12x x e； 12
122
xx x x e+ ，即 122x x e+．……12 分
证法二：
不妨设 121 x e x ， 第6页 共 7 页
)()( 21 xfxf = ， 12
12
ln lnxx
xx= ，即 22
11
ln
ln
xx
xx= ， ………………………………6 分
设 21( 1)x tx t= ， 11
11
ln ln ln
ln ln
tx t xt xx
+ = = ， 1
lnln 1
tx t=−
，
1
ln
1
lnlnlnln)ln(ln 112 −=−+=+== t
tt
t
ttxttxx
，
tt
txx ln1
1lnln 21 −
+=+
，
12
122
xx xx+ ，要证 122x x e+，只需证 2
12x x e，
即证 12
1ln ln ln 21
tx x tt
++ = − ，即证 2( 1)ln 01
tt t
−−+
． …………………………9 分
设 2( 1)( ) ln , ( 1)1
tg t t tt
−= − +
，
2
22
1 4 ( 1)'( ) 0( 1) ( 1)
tgt t t t t
−= − = ++
， ()gt 在(1, )+ 单调递增．
0)1( =g ， 0)1()( = gtg ，
12ln ln 2xx + ， 12
122
xx x x e+ ，即 122x x e+．………………………12 分
证法三：
不妨设 121 x e x ，
12( ) ( )f x f x= ， 12
12
ln lnxx
xx= ， ………………………………6 分
要证 122x x e+，只需证 1 2 2 1 1
2 1 12 ln ln ln
x x x x x ex x x
+− = − ， ……………………7 分
变形，得： 21
21
21
2( )ln ln xxxxxx
−−+
，即
2
21
21
1
2( 1)
ln
1
x
xx
xx
x
−
+
．
设 2
1
2( 1)ln ( 1)1
x tt t txt
−= +
，设 2( 1)( ) ln ,( 1)1
tg t t tt
−= − +
，……………………10 分
2
22
1 4 ( 1)'( ) 0( 1) ( 1)
tgt t t t t
−= − = ++
， ( ) 1gt + 在（ ， ）上单调递增，
( ) (1) 0g t g = ， 1 2 1
12 ln
x x x ex
+ = 成立 ， 122x x e + ．………………………12 分 第7页 共 7 页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．作答时请写清题号．
22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分）
（1）因为直线l 的极坐标方程为 2 sin 96−=
，
即 312 sin cos 922 − =
．由 cos , sinxy ==，
可得直线 l 的直角坐标方程为 3 9 0xy− + = ． ………………………………2 分
将曲线 C 的参数方程 4cos
2sin
x
y
=
=
，消去参数 a，
得曲线 C 的普通方程为
22
416 1xy+=． ………………………………4 分
（2）设 ( )Q 4cos ,2sin ， )0, 2 ．
点 P 的极坐标 4, 3
，化为直角坐标为( )2,2 3 ．
则 ( )M 2cos +1,sin 3+ ． ………………………………6 分
所以点 M 到直线 l 的距离
( ) ( )2cos +1 3 sin + 3 +9 7 sin 7
2 2d
− −+
==，（其
中， 23tan 3 = ），所以 7 7 7 7d,22
−+
………………………………8 分
AB 4= ， 1 2 7 7 7 72ΔMABS AB d d , = = − +
MAB△ 面积的最大值为 77+ ，最小值为 77− …………………………10 分
23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分）
23．（1）因为 ,,abc为正实数，且满足 3abc+ + = ．所以，
( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++ 第8页 共 7 页
accbc,acab,bba 222 222222 +++ ， acbcabcba ++++ 222
……2 分
( )2 3 3 3a b c ab ac bc + + + + ， 3abc+ + = ， 3ab bc ac+ + ，当且仅当
abc==时，等号成立 ………………………………5 分
（2）
2 2 2
2 , 2 , 2a b cb a c b a cb c a+ + + ，
( )
2 2 2
2abca b c a b cb c a + + + + + + + ………………………………8 分
2 2 2abcabcb c a + + + + ， 3abc+ + = ，
2 2 2
3abc
b c a + + ，当且仅当 abc==
时，等号成立 ………………………………10 分
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