第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页
文科数学试卷
本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U = R ，集合
1{ | 0}xAxx
−=， { | lg(3 1)}B x y x= = − ，则 ()UAB=
A． (0,1] B． 1(0, ]3 C． 1( ,1]3 D． 1( , ]3−
2．已知 a R ，复数 2i
3i
az −= +
（i 为虚数单位），若 z 为纯虚数，则 a =
A． 2
3 B． 2
3− C． 6 D． 6−
3．某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取 25 名职工进行
问卷调查，若采用分层抽样方法，则 40 ～ 50岁年龄段应抽取的人数是
A． 7 B．8
C．9 D．10
4．下列函数中，在区间 (0,)+ 上单调递增的是
A． 3 xy −= B． 0.5logyx= C． 2
1y x= D． 1
2
xy x
+= +
5．已知抛物线 2 4yx= 的焦点为 F ，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A 、 B 两点，若| | 3| |AF BF= ，则
||AB =
A． 4 B． 9
2 C．13
2 D．16
3
6．已知 π 1tan( )43 − = − ，则 πsin(2 ) 2sin(π )cos(π )2 + − − + =
A． 7
5 B． 1
5 C． 1
5− D． 31
25
7．设变量 x 、 y 满足约束条件
20
2 4 0
2 4 0
xy
xy
xy
+ −
− +
− −
，且 z kx y=+的最大值为12 ，则实数 k 的值为
A． 2− B． 3− C． 2 D．3
8．在△ ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，若 1a = ， 23c = ， πsin sin( )3b A a B=−，则 sinC =
A． 3
7 B． 21
7 C． 21
12 D． 57
19
9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外
接球的表面积为
A． 27π B． 28π
C． 29π D．30π
10．函数 ||13cos e6
xyx=−的大致图象是
11.已知双曲线
22
22: 1( 0, 0)xyC a bab− = 的右焦点为 F ，直线 :3l y x= 与C 交于 A , B 两点，
AF , BF 的中点分别为 M , N ，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为
A．33− B． 2 3 1− C． 32+ D． 31+
12.在△ ABC 中， 8AB = , 6AC = , 60A = , M 为△ ABC 的外心，若 AM AB AC=+ , ,R ，
则 43+=
A． 3
4 B． 5
3 C． 7
3
D． 8
3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知{}na 为等比数列，若 3 3a = , 5 12a = ，则 7a = ．
14．若函数 ( ) 2cos( 2 ) cos2 (0 )2f x x x= + + 的图象过点 (0,1)M ，则 ()fx的值域为 ．
15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页
广泛的应用，其定义为：
1 , ( , , )
()
0, 0,1 [0,1]
qqx p qp p pRx
x
==
=
当 都是正整数 是既约真分数
当 或 上的无理数
，若函数 ()fx是定义
在 R 上的奇函数，且对 任 意 x 都有 (2 ) ( ) 0f x f x− + = ，当 [0,1]x 时， ( ) ( )f x R x= ，则
18( ) (lg30)5ff+= ．
16．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为 a ，E 、F 、G 分别是 1DD 、AB 、
BC 的中点，过点 E 、F 、G 的截面将正方体分割成两部分，则较大部分几
何体的体积为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17．（12 分）某学校为了解学生假期参与志愿服务活动
的情况，随机调查了 30 名男生，30 名女生，得到他
们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单
位：人）：
（1）能否有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过 1 小时与性别有关？
（2）以这 60 名学生参与志愿服务活动时间超过 1 小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校
学生中随机抽查 10 名学生，试估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人
数．
附：
2()P K k 0.050 0.010 0.001 2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +k 3.841 6.635 10.828
18．（12 分）已知数列{}na 是等差数列，其前 n 项和为 nS ，且 3 5a = ， 4237Sa−=；数列{}nb 为等
比数列，且 12ba= ， 49bS= ．
（1）求数列{}na 和{}nb 的通项公式；
（2）若 n
n
n
ac b= ，设数列{}nc 的前n项和为 nT ，求证： 1 13 nT．
19．（12 分）如图，已知四边形 ABCD 为梯形， //AB CD ， 90CBA = ，
四边形 ACFE 为矩形， 且 平 面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ，又
AB BC CF a= = = ， 2CD a= ．
（1）求证： DE BF⊥ ；
（2）求点 E 到平面 BDF 的距离．
20．（12 分）已知点 5(2, )3M 在椭圆
22
22: 1( 0)xyE a bab+ = 上， 1A , 2A 分别为 E 的左、右顶点，直
线 1AM与 2AM的斜率之积为 5
9− , F 为椭圆的右焦点，直线 9: 2lx= ．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B ,C 两点，直线 2BA 、 2CA 分别与直线 l 交于 P ,Q 两点．试
问：以 PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由．
21．（12 分）已知函数 ( ) ln ( 1) 1f x x x ax x= − − − ， a R ．
（1）当 1a =− 时，求曲线 ()y f x= 在点 (1, (1))Mf 处的切线方程；
（2）当 1a 时，求证：函数 ( ) ( ) 1g x f x=+恰有两个零点．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分．作答时请写清题号．
22． [选修 4—4：坐标系与参数方程选讲]（10 分）
以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
是 6sin 4cos =+ ，直线l 的参数方程是 4 cos
3 sin
xt
yt
=+
=+
，（t 为参数）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 交于 M 、 N 两点，且| | 4 3MN = ，求直线l 的倾斜角 ．
23． [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) | 3 1| | 3 2 |f x x x= + − + 的最大值为 m , ,,abc均为正实数，且 a b c m++= ．
（1）求证： 1 1 1 9abc+ + ；
（2）求证： 3abc+ + ．
超过 1 小时 不超过 1 小时
男 22 8
女 14 16 第1页 共 5 页
文科数学答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C D D A C B C A D C
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 48
14. [ 3, 3
2−
15. 1
5−
16. 3119
144 a
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17.（12 分）
解：（1）作出列联表如下（单位：人）：
超过 1 小时 不超过 1 小时 合计
男 22 8 30
女 14 16 30
合计 36 24 60
………………………………2 分
则
2
2 60(22 16 14 8) 40 4.4436 24 30 30 9K − = =
， ………………………………4 分
所以 2 3.841K ， ………………………………5 分
所以有 95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时与性别有关. …6 分
（2）根据以上数据，学生一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的概率为：
36 3
60 5p ==， ………………………………8 分
故估计这 10 名学生中一周参与志愿服务活动时间超过 1 小时的人数为：
3 10 65 =（人）. ………………………………12 分 第2页 共 5 页
18.（12 分）
解：（1）设等差数列{}na 的公差为 d ，等比数列{}nb 的公比为 q ，
由 3 5a = ， 4237Sa−=，可得，
1
11
25
434 3( ) 72
ad
a d a d
+= + − + =
， …………………………2 分
解得： 1 1
2
a
d
=
=
，所以 21nan=−. ……………………………4 分
所以， 1 3b = ， 4 81b = ，故 3 4
1
27bq b==， 3q = ， 3n
nb = . …………………………6 分
（2）由（1）可得， 21
3
n
n n
n
a nc b
−== ，
则 1 2 3
1 1 1 11 3 5 (2 1)3 3 3 3n nTn= + + + + − ，①
2 3 4 1
1 1 1 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)3 3 3 3 3 3n nnT n n += + + + + − + − ，②
①-②得， 1 2 3 4 1
2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 2 (2 1)3 3 3 3 3 3 3n nnTn+= + + + + + − − ，……………8 分
所以 21
11
11(1 )2 1 1 2 2( 1)332[ ] (2 1)13 3 3 3 31 3
n
n nn
nTn
−
++
− += + − − = −
−
，
所以 11 3n n
nT +=− ， …………………………10 分
因为 n N ，所以 1 03n
n + ， 1113n n
nT += − ， …………………………11 分
又 0nc ，所以 1
211 33nTT = − = ，所以 1 13 nT. …………………………12 分
19.（12 分）
证明：（1）因为 ACFE 为矩形，AE AC⊥ ，且平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ，
平面 ACFE 平面 ABCD AC= ，
所以 AE ⊥ 平面 ABCD ， 同理CF ⊥ 平面 ABCD ，故
90DCF BCF BAE DAE = = = = ，
则在 Rt △ DCF 中， 5DF a= ，在 Rt △ BCF 中， 2BF a= ，在 Rt △ ABE
中，
2BE a= . ………………………1 分
第 19 题 第3页 共 5 页
在梯形 ABCD 中， 90CBA = ， AB BC a==， 2CD a= ，
所以 5BD a= ， 2AD a= ， 2AC a= ，所以在 Rt △ DAE 中， 3DE a= .…………2 分
所以在△ DBE 中， 5BD a= ， 2BE a= ， 3DE a= ，可知 2 2 2BD BE DE=+，
故 90DEB = ，即 DE BE⊥ ； ………………………4 分
在△ DEF 中， 5DF a= ， 3DE a= ， 2EF AC a== ，可知 2 2 2DF DE EF=+，
故 90DEF = ，即 DE EF⊥ ． ………………………5 分
又 BE EF E= ，所以 DE ⊥ 平面 BEF ．
又 BF 平面 BEF ，所以 DE BF⊥ . ………………………6 分
（2）在△ BEF 中， 2BE BF EF a=== ，
则 2233( 2 )42BEFS a a = = .
由（1）知， DE ⊥ 平面 BEF ，故三棱锥 D BEF− 的体积为:
231 1 3 133 3 2 2D BEF BEFV DE S a a a−= = = . ……………………………8 分
在△ BDF 中， 5BD DF a== ， 2BF a= ，则在等腰△ BDF 中，底边 BF 上的高为：
222 3 2( 5 ) ( )22a a a−=，则 21 3 2 322 2 2BDFS a a a = = . ………………………10 分
设点 E 到平面 BDF 的距离为 h ，故三棱锥 E BDF− 的体积为: 213
32E BDFV h a− = ，
根据 D BEF E BDFVV−−= ，可得 231 3 1
3 2 2h a a = ，则 ha= ，
所以点 E 到平面 BDF 的距离为 a ． ……………………………12 分
20.（12 分）
解：（1）由题意可知 1( ,0)Aa− ， 2 ( ,0)Aa ，则
12 2
55
25 533
2 2 9(4 ) 9A M A Mkk a a a = = = −+ − −
，
所以
22
2
4 25 1,9
25 5,9(4 ) 9
ab
a
+=
=− −
解得： 3,
5,
a
b
= =
……………………………2 分
所以椭圆 的方程为
22
195
xy+=． ……………………………3 分 E第4页 共 5 页
（2）由（1）可知， (2,0)F ，
当直线 m 斜率不存在时，易知 5(2, )3B ， 5(2, )3C − ， 95( , )22P − ， 95( , )22Q ，
以 PQ 为直径的圆的方程为： 229 25()24xy− + = ，此时圆过点 (2,0)F ， (7,0)R . ………4 分
下面证明以 PQ 为直径的圆过定点 (2,0)F ， (7,0)R .
当直线 m 斜率存在时，设 : ( 2)( 0)m y k x k= − ， 11( , )B x y ， 22( , )C x y ，
联立
22
195
( 2)
xy
y k x
+=
=−
，可得 2 2 2 2(5 9 ) 36 36 45 0k x k x k+ − + − = ，
则
2
12 2
36
59
kxx k+=+
，
2
12 2
36 45
59
kxx k
−= +
. ……………………………5 分
直线 1
2
1
: ( 3)3
yBA y xx=−−
，令 9
2x = ，得 1
1
39( , )2 2( 3)
yP x −
，同理可得 2
2
39( , )2 2( 3)
yQ x − .…6 分
那么 1
1
35( , )2 2( 3)
yFP x= −
， 2
2
35( , )2 2( 3)
yFQ x= −
， ……………………………7 分
则
22
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 9 ( 2)( 2) 9 [ 2( ) 4]25 25 25
4 4( 3)( 3) 4 4( 3)( 3) 4 4[ 3( ) 9]
y y k x x k x x x xFP FQ x x x x x x x x
− − − + + = + = + = +− − − − − + +
，
（*）
将
2
12 2
36
59
kxx k+=+
，
2
12 2
36 45
59
kxx k
−= +
代入（*）式，
得
22
2
222
22 2
22
36 45 2 369 ( 4)25 25 9 ( 25) 25 255 9 5 9 036 45 3 364 4 4 9 4 44( 9)5 9 5 9
kkk kkkFP FQ kk k
kk
−−+ −++ = + = + = − =− −+++
，………11 分
故 FP FQ⊥ ，所以点 (2,0)F 在以 PQ 为直径的圆上，
同理，点 (7,0)R 也在以 PQ 为直径的圆上.
综上可知，以 PQ 为直径的圆过定点 (2,0)F ， (7,0)R ． …………………………12 分
21.（12 分）
解：（1）当 1a =− 时， 2( ) ln 1f x x x x x= + − − ， (1) 1f =− ， …………………………1 分
( ) ln 1 2 1 ln 2f x x x x x = + + − = + ，故 (1) 2f = ， …………………………2 分
故所求切线的方程为： 1 2( 1)yx+ = − ，即 2 3 0xy− − = ． …………………………3 分
（2） ( ) ln ( 1) [ln ( 1)]g x x x ax x x x a x= − − = − − ， 0x ，第5页 共 5 页
因为 0x ，所以只需证明在已知条件下， ( ) ln ( 1)h x x a x= − − 恰有两个零点即可.
由 ( ) ln ( 1)h x x a x= − − ，则
1()1()
ax ah x axx
−
= − = − ， ……………………………4 分
当 1(0, )x a 时， ( ) 0hx ；当 1( , )x a + 时， ( ) 0hx .
所以 ()hx在区间 1(0, )a
内单调递增，在区间 1( , )a + 内单调递减，………………………5 分
因为 1a ，故 101a，所以 1( ) (1) 0hha =， …………………………6 分
记 ( ) e ( 0)xr x x x= − ，则 ( ) e 1 0xrx = − ，所以 ( ) exr x x=−单调递增，故 1a 时，
( ) (1) e 1 0r a r = − ，即e0a a−， e1a a，所以 11
ea a ，即 10ea
a
−，
又 (e ) lne (e 1) e 0a a a ah a a− − − −= − − = − ， …………………………9 分
由 1( ) 0h a , (e ) 0ah − ，且 ()hx在区间 1(0, )a
内单调递增，可得，
存在唯一 0
1(e , )ax a
− ，即 0
1(0, )x a ，使得 0( ) 0hx = ， ………………………10 分
又 ()hx在区间 1( , )a + 内单调递减， (1) 0h = ， 11 ( , )a + ，
故 ( ) ln ( 1)h x x a x= − − 恰有两个零点，
所以， 1a 时，函数 ( ) ( ) 1g x f x=+恰有两个零点. …………………………12 分
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分.作答时请写清题号.
22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】（10 分）
解：（1）由 6sin 4cos =+ 可得， 2 6 sin 4 cos =+， ………………………2 分
则 2264x y y x+ = + ，即 22( 2) ( 3) 13xy− + − = . …………………………4 分
（2）将 4 cos ,
3 sin
xt
yt
=+
=+
代入 22( 2) ( 3) 13xy− + − = ，可得，
22(2 cos ) ( sin ) 13tt+ + = ，化简得： 2 4 cos 9 0tt+ − = ， …………………………6 分
设 M 、 N 两点所对应的参数分别为 1t ， 2t ，
则 12
12
4cos ,
9,
tt
tt
+ = −
=−第6页 共 5 页
由 22
1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 16cos 36=4 3MN t t t t t t = − = + − = + ， …………………………8 分
所以 3cos = 2 ，
又 [0,π) ，故 π
6 = 或 5π
6 = ． …………………………10 分
23．【选修 4−5：不等式选讲】（10 分）
证明： ( ) | 3 1| | 3 2 | | 3 1 3 2 | 1f x x x x x= + − + + − − = ，故 1m = ，
所以 1abc++=. ………………………2 分
（1） 1 1 1 3a b c a b c a b c b a c a c b
a b c a b c a b a c b c
+ + + + + ++ + = + + = + + + + + + . …………4 分
因为 0a ， 0b ， 0c ，
所以 2ba
ab+， 2ca
ac+， 2cb
bc+，
所以 6b a c a c b
a b a c b c+ + + + + ， …………………………5 分
所以 1 1 1 9abc+ + （当且仅当 1
3abc= = = 时，等号成立）. …………………………6 分
（2） 2( ) 2 2 2 1 2 2 2a b c a b c ab bc ac ab bc ac+ + = + + + + + = + + + ，…7 分
因为 0a ， 0b ， 0c ，
所以 2 ab a b+， 2 bc b c+， 2 ac a c+，
所以 2 2 2 2( ) 2ab bc ac a b c+ + + + = ， …………………………8 分
所以 2( ) 3abc+ + ，
故 3abc+ + （当且仅当 1
3abc= = = 时，等号成立）.…………………………10 分
微信/支付宝扫码支付