数学理
(全卷满分 150 分，答卷时间 120 分钟)
第 I 卷
一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题给出的四个选项中，只有一项符合
题意。)
1.已知集合 ，则
A. B.
C. D.
2.复数 z 满足 i·z＝2＋3i，则|z|＝
A. B. C. D.
3.已知向量 ，且 ，则实数 k＝
A.4 B.－4 C.0 D.
4.我们常用的数是十进制数，如 4657＝4×103＋6×102＋5×101＋7×100，数要用 10 个数码
(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：
0 和 1，如二进制中 110＝1×22＋1×21＋0×20 等于十进制的数 6，110101＝1×25＋1×24＋0×
23＋1×22＋0×21＋1×20，等于十进制的数 53。那么十二进制数 66 用二进制可表示为
A.1001110 B.1000010 C.101010 D.111000
5.某人 5 次上班途中所花的时间(单位：分钟，均为正整数)分别为 x，y，10，11，9。已知这
组数据的平均数为 10，则它的极差不可能为
A.8 B.4 C.2 D.1
6.《九章算术》是我国古代著名数学经典。其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中
有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径
几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1
寸，锯道长 1 尺。问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体
中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)。
2 2{ 3 0}, { 0}M x R x x N x N x= ∈ − < = ∈ ≥ M N =
{ 0 3}x x< < { 0 0 3}x Z x x∈ < < b>1，0bac C. D.logac>logbc
9.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an－4，n∈N*，则 an ＝
A.2n＋1 B. 2n C. 2n－1 D. 2n－2
10.过抛物线 y2＝4x 焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，交其准线于点 C，且 A、C 位于 x 轴
同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于
A.2 B.3 C.4 D.5
11.已知椭圆 M： ，双曲线 N： 。若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M
的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，设椭圆 M 的离心率为 e1，双曲线 N
的离心率为 e2，则 e1＋e2 为
A. ＋3 B. ＋1 C.2 －1 D.2 ＋1
12.已知点 P 为函数 f(x)＝lnx 的图象上任意一点，点 Q 为圆 上任意一
点，则线段 PQ 的长度的最小值为
0 5sin 22.5 13
≈
( ) sin( )( 0,0 )f x xω ϕ ω ϕ π= + > < <
6
π
( ) sin( )f x xω ϕ= +
,012
π
6x
π=
5,12 12
π π −
5 ,12 12
π π −
a b
c c
<
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2 2 1x y
m n
− =
3 3 3 3
2 21[ ( )] 1x e ye
− + + =A. B.
C. D.
第 II 卷
二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。)
13.在 的展开式中，含 x 项的系数为________。
14.若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围为________。
15.已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且满足 f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足
a1＝1 且 ，则 f(a36)＋f(a37)＝________。
16.点 S、A、B、C 在半径为 的同一球面上，点 S 到平面 ABC 的距离为 ，AB＝BC＝CA＝
，则点 S 与△ABC 中心的距离为________。
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。第 17～
21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。)
(一)必做题：共 60 分。
17.(本题满分 12 分)已知函数 。
(1)当 时，求 f(x)的值域；
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，a＝4，b＋c＝5，求△ABC
的面积。
18.(12 分)清华大学自主招生考试题中要求考生从 A，B，C 三道题中任选一题作答，考试结束
后，统计数据显示共有 600 名学生参加测试，选择 A，B，C 三题答卷数如下表：
(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从 600 份答案中抽
2 1e e
e
− − 22 1e e
e
+ −
2 1e e
e
+ − 1 1e e
+ −
2 32(1 ) (1 )x x
+ −
3 0
2 5 0
2 0
x y
x y
y
− − ≤
+ − ≥
− ≤
y
x
*
1( )( )n n na n a a n N+= − ∈
2 1
2
3
2( ) 3sin sin cosf x x x x= +
0, 3x
π ∈
3( )2 2
Af =出若干份答卷，其中从选择 A 题作答的答卷中抽出了 3 份，则应分别从选择 B，C 题作答的答
卷中各抽出多少份？
(2)测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有 60 份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽
出的选择 A 题作答的答卷中，记其中得优的份数为 X，求 X 的分布列及其数学期望 EX。
19.(12 分)如图 1，△ABC 是等腰直角三角形，AB＝AC＝ ，D，E 分别是 AC，AB 上的点，CD
＝BE＝ ，△ADE 将沿 DE 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 A’－BCDE，使得 A’B＝A’C＝ 。
(1)证明：平面 A’BC⊥平面 BCD；
(2)求 A’B 与平面 A’CD 所成角的余弦值。
20.(12 分)在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点 F(l，0)的距离和它到定直线 x＝4 的距离之
比是 ，设动点 P 的轨迹为 E。
(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；
(2)设过 F 的直线交轨迹 E 的弦为 AB，过原点的直线交轨迹 E 的弦为 CD，若 AB//CD，求证：
为定值。
21.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝(x－1)2＋a(lnx－x＋1)，且 a0；
(2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求证： 。
2 2 cos( )4
πρ θ= +
4
πα =
2 2 2
3b c a
a b c
+ + ≥
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