理科数学
总分：150 分 时量：120 分钟
姓名_______ 考号___________
第Ⅰ卷（共 60 分）
一．选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1． 已知复数 ．则 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3．已知 , , 则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4．已知数列 为等比数列，首项为 ，数列 满足 ，且 ，
则 为（ ）
A．9 B．27 C．81 D．243
5．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D
．6．《九章算术》卷七﹣﹣盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人
出七，不足三．问人数、羊价各几何？”．翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，
还差四十五钱，若每人岀七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”．为了研究该问题，
设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填（ ）
A．k＞20 B．k＞21 C．k＞22 D．k＞23
7. 已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面区域 D1= ，D2= ，在区域 D1 内随机
选取一点 M，则点 M 恰好在区域 D2 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 （ ， ），满足 ，将函数 的
图象向右平移 个单位得到函数 的图象，若 的图象关于直线 对称，则
的取值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．410．已知抛物线 C： 的焦点 F 到其准线的距离为 4，圆 M: ，
过 F 的直线 l 与抛物线 C 和圆 M 从上到下依次交于 A,P,Q,B 四点，则|AP|+4|BQ|的最小值为
（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
11．已知函数 ，若方程 有两个不同实根，则实数 的
取值范围为（ ）
A．（ ， ） B．（ ， ﹣1]
C．（ ，1）∪（1， ） D．（ ，1）∪（1， ﹣1]
12．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形，平面 PBC⊥平面 ABCD, 于 E，EC=1，
，BC=3， PE=2，则四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共 90 分）
二．填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．函数 在 处的切线方程是__________．
14．已知二项式 展开式中各项系数和为 243，则 的展开式中含
项的系数为_______．
15. 数列 通项公式为 ，若 为数列 的前 项和，则
______．
16．已知双曲线 C: 右焦点为 F,直线 与双曲线 C 交于 A,B
两点，AF、BF 的中点依次为 M，N,若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为
_________．
三.解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.）17.（12 分） 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点（含端点），记∠BAD＝ ，∠
ADC＝ ．
（1）求 的最大值；
（2）若 BD＝1，cos ＝ ，求△ABD 的面积．
18．（12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形， ，
，平面 ⊥平面 ，点 为棱 的中点．
（1）在棱 上是否存在一点 ，使得 平面 ，并说明理由；
（2）当二面角 的余弦值为 时，求直线 与平面 所成的角．
19.（12 分）有两种理财产品 和 ，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理
财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品 ：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损概率
产品 ：
投资结果 获利 不赔不赚 亏损
概率
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品 投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求实数 的取值范围；
（2）若丙要将 20 万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，
则丙选择哪种产品投资较为理想.
20. （12 分）已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ，点
是椭圆 的左右顶点，点 是椭圆 上一动点， 的周长为 6，且直线 的
斜率之积为 ．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 、 为椭圆 上位于 轴同侧的两点，且 ，求四边形
面积的取值范围．
21.（12 分）已知函数 （ 是自然对数的底数），
是函数 的一个极值点．（1）求函数 的单调递增区间；
（2）设 ，若 ，不等式 恒成立，求的最大值．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修 4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分）
已知在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数）．以原点
为极点， 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）求圆 的普通方程及其极坐标方程；
（2）设直线 的极坐标方程为 ，射线 与圆 的交点为
（异于极点），与直线 的交点为 ，求线段 的长．
23.【选修 4—5：不等式选讲】（本小题满分 10 分）已知函数
（1）解不等式 ；
（2）若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.
理科数学参考答案及解析
总分：150 时量：120
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A B C A A C B B C D A
9.解：∵f（0）＝ ，∴sinφ＝ ，∴φ＝ ，即 f（x）＝2sin（ωx+ ），
∴g（x）＝2sin[ω（x﹣ ）+ ]，
∵g（x）的图象关于直线 x＝ 对称，∴ω（ ﹣ ）+ ＝ +kπ，k∈z，
则 ω× ＝ +kπ，k∈z，令 k＝1，得 ω＝2．故选：B．
11 解：方程 f（x）﹣kx＝1 有两个不同实根可化为
函数 f（x）与函数 y＝kx+1 有两个不同的交点，
当 x＞1 时，f（x）＝f（x﹣1），周期性变化；
函数 y＝kx+1 的图象恒过点（0，1）；
作函数 f（x）与函数 y＝kx+1 的图象如下，
C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故 kAC＝e﹣1，kBC＝ ；
在点 C 处的切线的斜率 k＝e0＝1；结合图象可得，实数 k 的取值范围为
（ ，1）∪（1，e﹣1]；故选：D．
12. 以 为 底 面 补 成 直 三 棱 柱 ， 由 正 弦 定 理 可 求 得 外 接 圆 直 径 径 为
，外接球半径
从而可求得外接球表面积为
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 14. 30 15. 16. .
15.[解]数列 且 ，
当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ，
所以 ，
．故答案为 ．
16. [解] 因为以线段 MN 为直径的圆经过原点，所以 ,∴
设 左 焦 点 为 , 连 接 ， 则 ， 因 为 , 所 以
，由双曲线定义得
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.)
17.（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α+ ，
0≤α≤ ，故 2cos α﹣cos β＝2cos α﹣cos（α+ ）
= ，
故当α＝ ，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 ．（6 分）
（2）由 cos β＝ ，得 sin β＝ ，
故 sin α＝sin（β﹣ ）＝sin βcos ﹣cos βsin ＝ ，（8 分）
由正弦定理 ＝ ，
故 AB＝ BD＝ ，（10 分）
故 S△ABD＝ AB•BD•sin B＝ × ×1× ＝ ．（12 分）
18.解：（Ⅰ）在棱 AB 上存在点 E，使得 AF∥平面 PCE，点 E 为棱 AB 的中点．
理由如下：取 PC 的中点 Q，连结 EQ、FQ，由题意，FQ∥DC 且 FQ＝ CD， 所以 AE∥CD 且 AE＝ CD，
故 AE∥FQ 且 AE＝FQ． 所以，四边形 AEQF 为平行四边形. （3 分）
所以，AF∥EQ，又 EQ⊂平面 PEC，AF⊄平面 PEC，
所以，AF∥平面 PEC. （5 分）
（2）由题意知△ABD 为正三角形，所以 ED⊥AB，亦即 ED⊥CD，
又∠ADP＝90°，所以 PD⊥AD，且平面 ADP⊥平面 ABCD，
平面 ADP∩平面 ABCD＝AD，
所以 PD⊥平面 ABCD，故以 D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，（6 分）
设 FD＝a，则由题意知 D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），B（ ，1，0），
＝（0，2，﹣a）， ＝（ ），
设平面 FBC 的法向量为
则由 ，令 ，
所以取 ，平面 DFC 的法向量 ＝（1，0，0），（8 分）
因为二面角 D﹣FC﹣B 的余弦值为 ，
所以由题意： ，解得 . （10 分）
由于 PD⊥平面 ABCD，所以 PB 在平面 ABCD 内的射影为 BD，
所以∠PBD 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角，
由题意知在 Rt△PBD 中，tan∠PBD＝ ，从而 ，
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 . （12 分）19.（1）记事件 为“甲选择产品 投资且获利”，记事件 为“乙选择产品 投资且获
利”，记事件 为“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”
则 ， ， ，
又 ，且 ， （5 分）
（2）假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元），则 的分布列为：
投资结果
概率
（7 分）
假设丙选择 产品投资，且记 为获利金额（单位：万元），则 的分布列为：
投资结果 -6
概率
（9 分）
当 时， ，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；
当 时， ，丙应选产品 投资；
当 时， ，丙应选产品 投资. （12 分）
20.（1）∵△AF1F2 的周长为 6，∴2a+2c＝6，即 a+c＝3，①直线 的斜率之积为 ．可求得 ②
联立①②及 a2＝b2+c2，解得 a＝2，b＝ ，c＝1．
∴椭圆 C 的方程为 ；（4 分）
（2）∵∠AF1F2+∠BF2F1＝π，∴AF1∥BF2，
延长 AF1 交椭圆 C 于点 A′，设 A（x1，y1），A′（x2，y2），
由（1）知 F1（﹣1，0），F2（1，0），
直线 AA′的方程为 x＝ty﹣1，联立 ，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9＝0．
∴ ， ．(6 分)
由对称性可知， ,设 AF1 与 BF2 的距离为 d，，
则四边形 AF1F2B 的面积
S＝ ＝ ．
∴S＝
＝ ＝ ＝ ．(9 分)
令 m＝ ，m≥1．∴S＝ ．
∵S（m）在[1，+∞）上单调递减，∴S∈（0，3]．
故四边形 AF1F2B 面积的取值范围为（0，3]．(12 分)
21.（1）f'（x）＝（x+2）ex﹣x﹣a，
∵ 是函数 的一个极值点，∴ ，解得 a＝2（2 分）
则 f'（x）＝（x+2）（ex﹣1）．
令 f'（x）＞0，解得 x＞0 或 x＜﹣2，
故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）．（4 分）
（2）不等式 f（x）≥g（x），可化为 ex≥2mx﹣n，记 h（x）＝ex﹣2mx+n，h'（x）＝ex﹣2m，
当 m≤0 时，h'（x）＞0 恒成立，则 h（x）在 R 上递增，没有最小值，故不成立；（6 分）
当 m＞0 时，令 h'（x）＝0，解得 x＝ln2m，当 x∈（﹣∞，ln2m）时，h'（x）＜0；当 x∈
（ln2m，+∞）时，h'（x）＞0，
当 x＝ln2m 时，函数 h（x）取得最小值 h（ln2m）＝eln2m﹣2mln2m+n≥0，
即 2m﹣2mln2m≥﹣n，则 （9 分）
令 F（m）＝2m﹣mln2m（m＞0），F'（m）＝1﹣ln2m，令 F'（m）＝0，
则 ，当 时，F（m）＞0；当 时，F（m）＜0，
故当 时，F（m）取得最大值 ，
所以 ，即 的最大值为 ．（12 分）
22．（1）由
平方相加，得： ，所以圆 的普通方程为： （2 分）
又
化简得圆 的极坐标方程为： ．（5 分）
（2）把 代入圆的极坐标方程可得： （7 分）
把 代入直线 的极坐标方程可得： （9 分）
所以线段 的长 （10 分）（其他方法酌情记分）
23.（1）当 时， ，无解
当 时， ，得
当 时， ，得
所以不等式解集为 （.5 分）
（2） 当且仅当 时取等
当且仅当 时取等
所以当 时， 最小值为 4， ， （7 分）
所以
所以
当且仅当 且 即 时取“=”
所以 最小值为 （.10 分）
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