高二数学月考试卷.pdf

1 江苏省扬州中学 2019—2020 学年度第一学期月考 高二数学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 2019.12 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，计 40 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选项中，只有 一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．等差数列{푎푛}中，푎3 = −6，푎7 = 푎5 + 4，则푎1=（ ） A．−10 B． 2− C．2 D．10 2．方程 푥2 푚−2 + 푦2 3−푚 = 1表示焦点在푥轴上的椭圆的一个必要不充分条件是（ ） A．2＜m＜3 B．2＜m＜5 2 C．5 2＜m＜3 D．11 4 ＜m＜3 3．数列 2，4 3，8 5，16 7 ，32 9 …的一个通项公式 an 等于（ ） A． 2푛 2푛−1 B．2푛 푛 C． 2푛 2푛−1 D． 2푛 2푛+1 4．已知△ 퐴퐵퐶为等腰直角三角形，其顶点为 ,,A B C ，若双曲线퐸以퐴, 퐵焦点，并经过顶点퐶，该双曲线퐸的 离心率是（ ） A．√2 − 1 B．√2 2 C．√2 D．√2 + 1 5．《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？” 其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的 2 倍，第一天屠了 5 两肉，共屠了 30 天，问一共屠了多少两肉？” （ ） A．5 × 230 B．5 × 229 C．230 − 1 D．5 × (230 − 1) 6．如图所示，在平行六面体퐴퐵퐶퐷 − 퐴1퐵1퐶1퐷1中，设퐴퐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 푎 ，퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 푏⃗ ，퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 푐 ，푁是 퐵퐶的中点，试用푎 ，푏⃗ ，푐 表示퐴1푁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A．−푎 + 푏⃗ + 1 2 푐 B．−푎 + 푏⃗ + 푐 C．−푎 − 푏⃗ + 1 2 푐 D．푎 − 푏⃗ + 1 2 푐 7．已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1，Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则2푆푛+16 푎푛+3 的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2√3 − 2 D．2 8．已知퐹是双曲线퐶: 푥2 − 푦2 8 = 1的右焦点，푃是퐶左支上一点，퐴(0,6√6)，当훥퐴푃퐹周长最小时，该三角形 的面积为（ ） A． 26 B．4√6 C．12√6 D．8√6 2 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分．在每小题所给的 A.B.C.D.四个选项中，有多项是 正确的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求 涂黑. 9．下列说法中正确的是（ ） A．“|푥| = 2019”是“푥 = 2019”的充分条件 B．“푥 = −1”的充分不必要条件是“푥2 − 2푥 − 3 = 0” C．“푚是实数”的充分必要条件是“푚是有理数” D．若푏 < 푎 < 0，则1 푎 < 1 푏 10．已知等比数列{푎푛}中，满足푎1 = 1, 푞 = 2，则（ ） A．数列{푎2푛}是等比数列 B．数列{ 1 푎푛 }是递增数列 C．数列{푙표푔2푎푛}是等差数列 D．数列{푎푛}中，푆10, 푆20, 푆30仍成等比数列 11．已知三个数1, 푎, 9成等比数列，则圆锥曲线푥2 푎 + 푦2 2 = 1的离心率为（ ） A．√5 B．√3 3 C． 10 2 D．√3 12．已知点퐹是抛物线 ( )2 20y px p=的焦点，퐴퐵, 퐶퐷是经过点퐹的弦且퐴퐵 ⊥ 퐶퐷，퐴퐵的斜率为푘，且 푘 > 0， 퐶, 퐴两点在푥轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ） A．푂퐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 푂퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 3 4 푝2 B．四边形퐴퐶퐵퐷面积最小值为16푝2 C． 1 |퐴퐵| + 1 |퐶퐷| = 1 2푝 D．若|퐴퐹| ⋅ |퐵퐹| = 4푝2，则直线퐶퐷的斜率为−√3 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题 卡相应位置． 13．已知空间向量푎 = (− √3 2 , 1 2 , 1)푏⃗ = (− √3 2 , 1 2 , 0),若空间单位向量푐 满足:푐 ⋅ 푎 = 푐 ⋅ 푏⃗ = 0，则푐 =______. 14．己知命题 p：∃푚 ∈ [−1,1]，푎2 − 5푎 − 3 < 푚 + 2，且 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是______． 15．已知数列{푎푛}的通项公式是푎푛 = 2푛 + 3(푛 ∈ 푁∗)，数列{푏푛}满足푏푛+1 = 푎푏푛(푛 ∈ 푁∗)且푏1 = 푎1，则数列 {푏푛}的通项公式푏푛 =________． 16．抛物线푥2 = 2푝푦(푝 > 0)上一点퐴(√3, 푚)(푚 > 1)到抛物线准线的距离为13 4 ，点 퐴关于푦轴的对称点为퐵， 푂为坐标原点，훥푂퐴퐵的内切圆与푂퐴切于点푀，点 푁为内切圆上任意一点，则푂푀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 푂푁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为_______． 四、解答题：本大题共 6 小题，计 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） (1)已知푥 > 2，求3푥 + 1 푥−2 的最小值; (2) 已知푎 > 0, 푏 > 0,且1 푎 + 2 푏 = 2，求푎 + 푏的最小值. 3 18．（本小题满分 12 分） 已知数列{푎푛}前푛项和푆푛满足푆푛 = 2푛+1 − 2(푛 ∈ 푵∗), {푏푛}是等差数列,且푎3 = 푏4 − 2푏1,푏6 = 푎4． （1）求{푎푛}和{푏푛}的通项公式； （2）求数列{(−1)푛푏푛2}的前2푛项和 2nT ． 19.（本小题满分 12 分） 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，边长为 2，利用综合法完成以下问题： （1）求点 A1 到平面 ACB1 的距离；（2）求二面角퐴 − 퐵1퐶 − 퐴1的余弦值. 20.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥푃 − 퐴퐵퐶퐷中，底面퐴퐵퐶퐷为矩形，平面푃퐶퐷 ⊥平面퐴퐵퐶퐷,퐴퐵 = 2,퐵퐶 = 1，푃퐶 = 푃퐷 = √2， 퐸为푃퐵中点．利用空间向量方法完成以下问题： （1）求二面角퐸 − 퐴퐶 − 퐷的余弦值； （2）在棱 PD 上是否存在点 M ，使得 AM ⊥ BD ？若存在，求 PM PD 的值；若 不存在，说明理由． C1 D1 B1A1 CD A B4 21.（本小题满分 12 分） 已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2Sn=an2+an-2． （1）求数列{an}的通项公式；（2）若 bn=2푛(푛−1) 푛푎푛 （n∈N*），求数列{bn}的前 n 项和 Tn; （3）是否存在实数 λ 使得 Tn+2＞λ•Sn 对 n∈N+恒成立，若存在，求实数 λ 的取值范围，若不存在说明理由． 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆퐶: 푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎 > 푏 > 0)，与푥轴负半轴交于퐴(−2,0)，离心率푒 = 1 2 （1）求椭圆퐶的方程； （2）设直线푙: 푦 = 푘푥 + 푚与椭圆퐶交于푀(푥1, 푦1)，푁(푥2,푦2)两点，连接퐴푀，퐴푁并延长交直线푥 = 4于 퐸(푥3,푦3)，퐹(푥4, 푦4)两点，若 1 푦1 + 1 푦2 = 1 푦3 + 1 푦4 ，直线푀푁是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不 是，请说明理由.