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第一章 解三角形
1.2 应用举例
第1课时距离问题
A级 基础巩固
一、选择题
1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( )
A．1 B．2sin 10°
C．2cos 10° D．cos 20°
解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．
答案：C
2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为( )
A．30 m B. m
C．15 m D．45 m
解析：在△ABC中，
cos ∠ABC＝＝，
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∠ABC∈(0°，180°)，
所以sin∠ABC＝ ＝，
所以在Rt△ABD中，
AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝ (m)．
答案：B
3．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )
A．6 km B．3 km C．3 km D．3 km
解析：由题意知，AB＝24×＝6 (km)，
∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理得BS＝＝＝3 (km)．
答案：C
4．设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100 m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A、B两点的距离为( )
A．40 m B．50 m C．60 m D．70 m
解析：如下图所示，△ABC是Rt△，AB＝AC，所以AB＝50 m.
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答案：B
5．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为( )
A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km
解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2，在△ABC中由勾股定理得：
AB＝＝＝4.
答案：C
二、填空题
6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．
解析：如下图所示，因为AC＝BC，
所以∠CAB＝∠CBA.
又∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
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所以∠CAB＝∠CBA＝50°.
故A在B的北偏西10°的方向．
答案：北偏西10°
7．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3 km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为________．
解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.
答案：3
8．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________．
解析：因为B＝30°，C＝135°，
所以A＝180°－30°－135°＝15°.
由正弦定理，＝得：
a＝＝＝4sin 15°.
又sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝－，所以a＝－.
答案：－
三、解答题
9．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．
解：如图所示，在△ACD中，
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∠ACD＝120°，
∠CAD＝∠ADC＝30°，
所以AC＝CD＝ (km)．
在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，
所以BC＝＝( km)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝()2＋－2××cos 75°＝3＋2＋－＝5，
所以AB＝(km)．
所以A、B之间的距离为 km.
10．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?
解：如图，连接BC，由余弦定理得：
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝10.因为＝，所以
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sin∠ACB＝，因为∠ACB＜90°，所以∠ACB＝41°.
所以乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．
B级 能力提升
1．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1 km；参考数据；≈1.41，≈1.73)( )
A．3.4 km B．2.3 km
C．5 km D．3.2 km
解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10 km，
CD＝AC＝5(km)，
AD＝AC·cos30°＝5(km)．
在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，
BC＝＝5(km)．
AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，
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AC＋BC－AB＝10＋5＝(5＋5)＝
5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．
答案：A
2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．
解析：由题可知PM＝68，∠MPN＝120°，N＝45°，
由正弦定理＝
得MN＝68××＝34.
所以速度v＝＝(海里/时)．
答案：
3.如图所示，港口B在港口O正东方向120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，且在港口B北偏西30°方向上．一艘科学家考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去．现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？
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解：设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇．
如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行．
在△OBC中，由题意易得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，
因为BO＝120，
所以BC＝60，OC＝60.
故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.
在△OCD中，由题意易得∠COD＝30°，
OD＝20x，CD＝60(x－2)．
由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，
所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.
解得x＝3或x＝，
因为x>1，所以x＝3.
所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇．
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