人教A版数学必修5同步辅导与检测第一章1.2第2课时高度、角度问题.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 第一章 解三角形 ‎1.2 应用举例 第2课时高度、角度问题 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了‎3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是(　　)‎ A. B．‎2 C．3 D．2或 解析：由正弦定理，得 sin A＝＝＝，‎ 因为BC＞AC，所以A＞B，B＝30°，所以A有两解，即A＝60°或A＝120°.‎ 当A＝60°时，∠ACB＝90°，x＝2；‎ 当A＝120°时，∠ACB＝30°，x＝.故选D.‎ 答案：D ‎2．在‎200 m高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)‎ A. m B. m C. m D. m 解析：如下图所示，由题意知∠PBC＝60°，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，所以AB＝PA.‎ 又在Rt△PBC中，BC＝200·tan 30°，‎ 所以在Rt△PAD中，PA＝＝.‎ 因为PA＝AB，所以AB＝.‎ 答案：A ‎3．在静水中划船的速度是每分钟‎40 m，水流的速度是每分钟‎20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为(　　)‎ A. B. C. D.π 解析：设水流速度与船速的合速度为v，方向指向对岸．‎ 则由题意知，sin α＝＝＝，‎ 又α∈，所以α＝.‎ 答案：C ‎4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距‎500米，则电视塔在这次测量中的高度是(　　)‎ A．‎100‎米 B．‎400米 C．‎200‎米 D．‎‎500米 解析：由题可得右图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处．‎ 则∠ABS＝45°，‎ ‎∠ACS＝30°，‎ BC＝500，∠ABC＝120°，‎ 所以在△ABS中，AB＝AS＝h，‎ 在△ACS中，‎ AC＝h，‎ 在△ABC中，AB＝h，AC＝h，BC＝500，∠ABC＝120°.‎ 由余弦定理(h)2＝5002＋h2－2·500·h·cos 120°，‎ 所以h＝500(米)．‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 解析：因为A＝60°，所以第三边即为a，又b＋c＝7，bc＝11.所以a2＝b2＋c2－2bcos A＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16.所以a＝4.‎ 答案：C 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 二、填空题 ‎6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝‎100 m，则山高MN＝________m.‎ 解析：根据图示，AC＝100.‎ 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.‎ 由正弦定理得＝⇒AM＝100.‎ 在△AMN中，＝sin 60°，‎ 所以MN＝100×＝150 (m)．‎ 答案：150‎ ‎7. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬得‎10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行可回到它的出发点，那么x＝________cm.‎ 解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，∠ABC＝180°－105°＝75°，‎ ‎∠BCA＝180°－135°＝45°，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.‎ 由正弦定理得：＝，‎ 所以x＝(cm)．‎ 答案： ‎8.如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．‎ 解析：在△ABM中，由正弦定理得 ＝，‎ 故BM＝，‎ 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90°－β)＝>n.‎ 所以当α与β满足mcos αcos β>nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．‎ 答案：mcos αcos β>nsin(α－β)‎ 三、解答题 ‎9．甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？‎ 解：如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇．‎ 在△ABC中，AC＝28t，‎ BC＝20t，AB＝9，‎ ‎∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.‎ 由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，‎ 即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×，128t2－60t－27＝0，‎ 所以t＝或t＝－(舍去)，‎ 所以甲船用小时能最快追上乙船．‎ ‎10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶‎5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到‎1 m)．‎ 解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，＝，‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ BC＝＝≈7.452 4(km)．‎ CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan 8°≈‎ ‎1 047(m)．‎ B级　能力提升 ‎1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进‎600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进‎200 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为(　　)‎ A．‎200 m B．‎300 m C．‎400 m D．‎100 m 解析：如下图所示，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝200.‎ 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝，‎ 所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝200×＝300(cm)．‎ 答案：B ‎2．一架飞机在海拔8 ‎000 m的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°，则这个海岛的宽度为________m.‎ 解析：宽＝－＝5 856.4(m)．‎ 答案：5 856.4‎ ‎3．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面C和D处，已知CD＝‎6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面点B 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图所示)，求我炮兵阵地到目标的距离．‎ 解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，∠ACD＝45°，根据正弦定理，‎ 有AD＝＝CD，‎ 同理：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，∠BCD＝30°，‎ 根据正弦定理，有BD＝＝CD，‎ 在△ABD中，∠ABD＝∠ADC＋∠BDC＝90°，‎ 根据勾股定理，有AB＝＝CD＝CD＝(km)，‎ 所以我炮兵阵地到目标的距离为 km.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎