理科数学试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求.
1.设集合 ， ，则 （ ）
2．复数 ， ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
3.若 ， ， ，则 的大小关系（ ）
4.给出下列两个命题：命题 ：“ ”是“函数 为偶函数”
的必要不充分条件；命题 ：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是
（ ）
A. B. C. D.
5 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 对 任 意 都 有 ， 设
，则数列 的前 5 项的和为（ ）
A. 11 B. 16 C.10 D.15
6..已知向量 满足 ，且 则向量 与 的夹角的余弦值为
（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 的图象如图所示,则函数 的解析式可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
{ }RxyyA x ∈== ,3 { }RxxyxB ∈−== ,21 =BA
.A
2
1 .B ]2
1,0( .C )2
1,0( .D )1,0(
1 1z i= + 2z i= i 1
2
z
z
1− i i−
2ln=a 1
25b
−= dxxc ∫= 2
0
cos2
1 π
, ,a b c
.A a b c< < .B b a c< < .C c b a< < .D b c a< <
p 0, 0a b= ≠ 2y x ax b= + +
q 1ln1
xy x
−= +
p q∧ p q∧ ¬ p q∨ p q∨ ¬
{ }na n nS *n N∈ 2 1n nS a= −
2logn nb a= { }nb
,a b 2, 1a b= = 2b a− = a b
2
2
2
3
2
4
2
5
( )f x ( )f x
( ) (4 4 )x xf x x−= +
4( ) (4 4 )logx xf x x−= −
1
4
( ) (4 4 )logx xf x x−= +
4( ) (4 4 )logx xf x x−= +8 若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.已知 是 内的一点，且 ， ，若 和
的面积分别为 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 8 C. 6 D. 9
10.已知函数 ，若 是函数 的唯一一个极值点，则实
数 的取值范围为( )
A． B．
C． D．
11.抛物线 的焦点为 ，已知点 和 分别为抛物线上的两个动点，
且满足 ，过弦 的中点 作抛物线准线的垂线 ，垂足为 ，则
的最大值为（ ）
A. B.1 C. D.
12.已知 是半径为 的球面上的点， ，点
在 上的射影为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13、若实数 满足 ,则 的取值范围为_______
14.观察下列式子:
, , ,……,根据上述规
律,第 n 个不等式应该为 .
15. 设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解
集为_ 。
16. 设 的内角 的对边长 成等比数列， ，延
长 至 .若 ,则 的面积的最大值为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
1 sin2y wx= ,8 12
π π −
w
[ )4,0− [ )2,0− [ ) [ ]4,0 4,6− ∪ [ ]4,6
N ABC∆ 4 3AB AC⋅ = 030BAC∠ = ,NBC NCA∆ ∆
NAB∆ 1, ,x y 4y x
xy
+
2
2( ) ( ln )
xef x k xx x
= − + 2x = ( )f x
k
( ],e−∞ [ ]0,e
( ),e−∞ [ )0,e
)0(22 >= ppxy F A B
0120=∠AFB AB M MN N
AB
MN
3 3
32
3
3
, , ,P A B C 2 02, 90PA PB PC ABC= = = ∠ = B
AC D P ABD−
3 3
4
3
4
3
8
3 3
8
,x y
2 2
2
2
x y
x y
y
+ ≥
− ≤
≤
z x y= +
2
1 31 2 2
+ < 2 2
1 1 51 2 3 3
+ + < 2 2 2
1 1 1 71 2 3 4 4
+ + + <
R ( )f x ' ( ) ( )f x f x> 1 ( ) (2 1)xe f x f x− < −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1cos( ) cos 2A C B− − =
BC D 2BD = ACD∆步骤）
17.（本小题 10 分）已知在递增的等差数列 中， 是 和 的等比中
项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ， 为数列 的前 项和，求 .
18. （ 本 小 题 12 分 ） 在 中 ， 设 内 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 且
.
⑴求角 的大小；
⑵求 的取值范围.
19.（本小题12分）已知在多面体 中， ， ，
， ， 且平面 平面 .
⑴设点 为线段 的中点，试证明 平面 ；
⑵若直线 与平面 所成的角为 ，
求二面角 的余弦值.
{ }na 1 32,a a= 1a 9a
{ }na
( )
1
1n
n
b n a
= + nS { }nb n nS
ABC∆ CBA ,, cba ,,
B
C
b
ca
cos
cos2 =−
B
2cos2sin2cos3 2 AAC −
ABCDE ABDE // BCAC ⊥
42 == ACBC DEAB 2= DCDA = ⊥DAC ABC
F BC ⊥EF ABC
BE ABC 60
CADB −−20.（本小题 12 分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、
水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一
排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略
小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁
钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰
到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小球.
⑴理论上，小球落入 4 号容器的概率是多少？
⑵一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球个数为 ，
求 的分布列与数学期望.
21．（本小题 12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于
两点，点 的坐标为 .
⑴当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
⑵设 为坐标原点，证明： .
22. （本小题 12 分）已知函数 .
(1) 试讨论函数 的单调区间;
(2) 若不等式 对于任意的 恒成立，求 的取值范围.
2
2: 12
xC y+ = F F l C
,A B M (2,0)
l x AM
O OMA OMB∠ = ∠
X
X
)0(1)( 2
≥+−= aaxx
exf
x
)(xf
xxf ≥)( [ ]1,0 +∈ ax a 理科数学答案
1-6 BADCCC 7-12 DADADD
13. 14. 1+ + +…+ < 15. 16.
17． (1) 设公差为 ,因为 ，所以 ，
解得
所以 .
(2) 由题意可知：
所以 .
18．解：（1）由 得到
即 ，即
又 为三角形内角， ，所以 ，从而 .
（2）
，
所以 .
所以 的取值范围为 .
19.（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 .
在 中 ， .
由平面 平面 ，且交线为 得 平面 .
分别为 的中点， ，且 .
又 ， ， ，且 .
四边形 为平行四边形.
平面 . --
（Ⅱ）解： 平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为
轴 ， 所 在 直 线 为 轴 ，建立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则 ，
， .
平面 ， 直线 与平面 所成的角为 .
. .
可取平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
[ ]0,6 2
1
2 2
1
3 ( )2
1
1n +
2 1
1
n
n
+
+ (1, )+∞ 3
4
d 2
3 1 9a a a= ( ) ( )22 2 2 2 8d d+ = +
( )2 d 0d = =或 舍 ，
2na n=
( )
1 1 1 1
2 1 2 1nb n n n n
= = − + +
nS = ( )
1 1 1 1 1 11 ...2 2 2 3 1 2 1
n
n n n
− + − + + − = + +
B
C
b
ca
cos
cos2 =−
B
C
B
CA
cos
cos
sin
sinsin2 =−
)sin(cossin2 CBBA += ABA sincossin2 =
A 0sin ≠∴ A 1cos 2B =
3B
π=
ACAAC sin2
1)1(cos2
3
2cos2sin2cos3 2 −+=−
2
3)3
2sin(2
1cos2
3 +−−= CC
π
2
3sin4
1cos4
3 +−= CC
2
3)6cos(2
1 ++= π
C
3
20
π综上所述当 时不等式 对于任意的 恒成立
0 0
1 5 1 5( ) 0 ( ) 02 2x g g x
+ +∴ < = ∴ >又
( 1) 0( 1 (1,3))xe x x x a∴ − + ≥ = + ∈
1
(1 ) 12
aef a aa
+
∴ + = ≥ ++
[ ]0,2a∈ xxf ≥)( [ ]1,0 +∈ ax
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