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3.2.1 几类不同增长的函数模型
选题明细表
知识点、方法
题号
指数函数、对数函数、幂函数模型的比较
1,2,8
图表、图象信息迁移问题
3,6,7,8,10
应用函数模型解决问题
4,5,9,11
基础巩固
1.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则x∈R时,有( A )
(A)f(x)>g(x) (B)g(x)>f(x)
(C)f(x)≥g(x) (D)g(x)≥f(x)
解析:在同一直角坐标系内,作出f(x)=4x与g(x)=2x的图象如图,可知函数f(x)=4x的图象在g(x)=2x的图象上方,故x∈R时,f(x)>g(x).故选A
2.下面对函数f(x)=lox,g(x)=()x与h(x)=在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是( C )
(A)f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
(B)f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
(C)f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越慢
(D)f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
解析:观察函数f(x)=lox,g(x)=()x与h(x)=在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知,
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函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;同样,函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢.故选C.
3.在某实验中,测得变量x和变量y之间对应数据,如表.
x
0.50
1.01
2.01
3.98
y
-1.01
0.01
0.98
2.00
则x,y最合适的函数是( D )
(A)y=2x (B)y=x2-1
(C)y=2x-2 (D)y=log2x
解析:根据x=0.50,y=-1.01,代入计算,可以排除A;根据x=2.01, y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
4.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,由于市场发生变化,A产品连续两次提价20%,B产品连续两次降价20%,结果都以23.04元出售.若此时厂家同时出售A,B产品各一件,则相对于没有调价时的盈亏情况是( D )
(A)不亏不赚 (B)赚5.92元
(C)赚28.96元 (D)亏5.92元
解析:设A,B两产品的原价分别为a元,b元,则a==16,b= =36,16+36-23.04×2=5.92(元),所以比原价亏5.92元,故选D.
5.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I与电线半径r的三次方成正比,若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为( D )
(A)60安 (B)240安 (C)75安 (D)135安
解析:由已知,设比例常数为k,则I=k·r3.
由题意,当r=4时,I=320,故有320=k×43,
解得k==5,所以I=5r3.
故当r=3时,I=5×33=135(安),故选D.
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6.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示,
现给出下列说法:
①前5 min温度增加越来越快;
②前5 min温度增加越来越慢;
③5 min后温度保持匀速增加;
④5 min后温度保持不变.
其中说法正确的是( C )
(A)①④ (B)②④ (C)②③ (D)①③
解析:前5 min温度y随x增加而增加,增长速度越来越慢;
5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加.故②③正确.故选C.
7.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致为( D )
解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意可得ax=a(1+0.104)y,故y=log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数y=f(x)的图象大致为D中图象.故选D.
8.根据三个函数f(x)=2x,g(x)=2x,h(x)=log2x给出以下命题:
①f(x),g(x),h(x)在其定义域上都是增函数;
②f(x)的增长速度始终不变;
③f(x)的增长速度越来越快;
④g(x)的增长速度越来越快;
⑤h(x)的增长速度越来越慢.
其中正确的命题序号为 .
解析:f(x)=2x的增长速度始终不变,g(x)的增长速度越来越快,而h(x)的增长速度越来越慢,故①②④⑤正确.
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答案:①②④⑤
能力提升
9.2006年至2018年河北省电影放映场次(单位:万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( A )
(A)f(x)=aln x+b (B)f(x)=aex+b
(C)f(x)=eax+b (D)f(x)=ax2+bx+c
解析:由图象可得这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,a>0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征;a0,b>0,可得满足条件的函数;对于C,取a>0,b>0,可得满足条件的函数;对于D,f(x)=ax2+bx+c,取a>0,-0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.(参考数据:≈1.414,≈1.732,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
解:(1)因为y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p+q(p>0)的增长速度越来越慢,
所以依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有解得所以y=8×()x(x∈N).
(2)当x=0时,y=8.
设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 1 000 倍.
由题意得8·()x=8×1 000,
所以x=lo1 000==≈17.
答:原先投放的水葫芦的面积为8 m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍.
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