福建省永安市第一中学2020届高三上学期第二次月考试题数学（理）（Word版含答案）.doc

永安一中 2019---2020 学年第一学期第二次月考 高三数学理科试题 （考试时间：120 分钟 总分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.已知全集 ，集合 ，那么 =( ) A. B. C. D. 2. 下列选项中，说法正确的是( ) A．若 ，则 B．向量 共线的充要条件是 C．命题“ ”的否定是“ ” D．设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的充要条件 3. 已知 ，且 ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A. 　　　　 B. 　　　　 C. 　　　　 D. 4．在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则 （ ） A．20 B．27 C．36 D．45 5．已知 是两条不同直线, 是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A．若 则 B．若 则 C．若 ，则 D．若 ,则 6.将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的图象大致为（ ） RU = { } { }1|,lg| +==== xyyBxyxA )( BCA U φ ]10( ， )10( ， ),1( +∞ 0>> ba ba 2 1 2 1 loglog > ( ) ( )( )1, , ,2 1a m b m m m R= = − ∈  0=m 1* 2)2(3, −⋅+>∈∀ nn nNn 1* 2)2(3, −⋅+≤∈∀ nn nNn }{ na n nS 01 >a 23 SS > ,2,1 == →→ ba    −⊥ →→→ baa → a → b 2 1 2 2 1 2 { }na nS n 2 6 7 12a a a+ + = 9S = m n、 α β、 m mα β⊥ ⊥， ， α β∥ α⊥mnm ,// n α⊥ m α⊥ ， β⊂m α β⊥ nm =∩ βαα,// nm // sin( )12y x π= − 4 π 1 2 5 24x π= 5 12x π= 6x π= 3x π= ( )( ) 2 2 lnx xf x x−= +A． 　 B． 　 C． D． 8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称 药品，他先将 的砝码放在左盘，将药品放 在右盘使之平衡；然后又将 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所 得药品( ) A． 大于 B．小于 C． 大于等于 D． 小于等于 9. 已知 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, ,若三棱 锥 体积的最大值为 ,则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 11.已知函数 其中 ，对于任意 且 ，均存在唯一 实数 ，使得 ，且 ，若 有 4 个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，若函 数 在区间 上单调递增，且 的最大负零点在区间 上，则 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 第 II 卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.已知 . g10 g5 g5 g10 g10 g10 g10 1a b> > ln , ln , lnx b b a y a a b z a b b= − = − = − z x y< < z y x< < x z y< < y z x< < .10 ABCD − O 22,2 === ACBCAB ABCD − 2 O π8 π9 3 25π 9 121π ( ) 1, 0, , 0, xe m xf x ax b x  + − ≥=  + 1m n+ = ( )1 0t tm n + > t = ACAFABAE µλ == , ）（、 1,0∈µλ 14 =+ µλ || MN nS { }na n 1( 1) 2 n n n nS a= − − *n N∈ 1 2 100S S S+ + + = ABCD 2 3D π∠ = 6CD = ACD∆ 3 3 2 AC ADAB ⊥ 4B π∠ = BC { }na d ( )( )* 1 2 1, NnannSS nn ∈−+= 7,1, 531 +− aaa { }na 1 1 n n n b a a + = { }nb nT19．（本题满分 12 分） 已知函数 ， . （Ⅰ）求函数 在区间 上的值域. （Ⅱ） 使得不等式 成立， 求实数 的取值范围. 20.（本题满分 12 分） 如图，矩形 和菱形 所在的平面相互垂直， ， 为 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值． 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 （Ⅰ）当 时，若直线 是函数 的图像的切线，求 的最小值； ( ) cosxf x e x= xxxg sin3cos)( += ( )f x [0, ]2 π 1 20, , 0,2 2x x π π   ∀ ∈ ∃ ∈       ( ) ( )1 2g x f x m+ ≥ m ABCD ABEF 60ABE∠ = ° G BE AG ⊥ ADF 3AB BC= D CA G− − ( ) 1 ,af x nx a Rx = + ∈ 1a = − y kx b= + ( )f x k b+（Ⅱ）设函数 ，若 在 上存在极值，求 的取值范围，并判断极值 的正负． 22. （本题满分 10 分）【选修 4—4 坐标系统与参数方程】 在平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 在以原点为极点， 轴正半轴为极 轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 的参数方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值． 23. （本题满分 10 分）【选修 4—5 不等式选讲】 己知 ，函数 . （Ⅰ）若 ，解不等式 ； （Ⅱ）若函数 ，且存在 使得 成立，求实数 的取值范围. ( ) 1( ) f xg x x −= ( )g x 2[1, ]e a xOy C 2 2 1,9 3 x y+ = x l sin 2 24 πρ θ − =   C l P C Q l PQ 0a > ( )f x x a= − 2a = ( ) ( )3 5f x f x+ + ≤ ( ) ( ) ( )2g x f x f x a= − + 0x R∈ ( ) 2 0 2g x a a≥ − a参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C D B B A C D A C 二、填空题 13. 14. 15. 16. 17．⑴∵ ， ， 的面积为 ∴ ∴ .................................................................................................................3 分 ∴由余弦定理得 ∴ .....................................................................................................................6 分 ⑵由（1）知 中 ， ， ∴ ∵ ,∴ ............................................................................................8 分 又∵ ， ∴在 中，由正弦定理得 10 2− 4 7 7      −12 1 3 1 100 2 3D π∠ = 6CD = ACD∆ 3 3 2 1 1 3 3 3sin 62 2 2 2ACDS AD CD D AD∆ = ⋅ ⋅ = × × × = 6AD = 2 2 2 12 cos 6 6 2 6 ( ) 182AC AD CD AD CD D= + − ⋅ ⋅ = + − × × − = 3 2AC = ACD∆ 6AD = 6CD = 2 3D π∠ = 6 π=∠DAC AB AD⊥ 3BAC π∠ = 4B π∠ = 3 2AC = ABC∆ sin sin BC AC BAC B =∠即 ,∴ .....................................................................................................12 分 18.（1）∵ ， 又 ∴ ……………………………………………………………..2 分 又 成等比数列． ∴ ，…………………………………….3 分 即 ， 解得 ，………………………………………………………..5 分 ∴ 。…………………………………………………..6 分 (2)由（1）可得 ，………….8 分 ……..12 分 19． （1）令 ，因为 ，所以 。..................2 分 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调 递减；................................................................................................................................3 分 所以 ； 又因为 ， ，所以 ；.........................................................5 分 3 2 3 2 2 2 BC = 3 3BC = ( ) ( )' cos sin 0xf x e x x= − = 0, 2x π ∈   4x π= 0, 4x π ∈   ( )' 0f x > ( )f x ,4 2x π π ∈   ( )' 0f x < ( )f x ( ) 4 4 max 2cos4 4 2f x f e e π ππ π = = =   ( )0 1f = 02f π  =   ( )min 0f x =所以 在 上的值域为 ......................................................................6 分 …..9 分 由（1）得， 等价于 实数 的取值范围是 …..12 分 20．（1）∵矩形 和菱形 所在的平面相互垂直，∴ ， ∵矩形 菱形 ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， ∵菱形 中， ， 为 的中点．∴ ，即 ， ∵ ，∴ 平面 ．.........................................5 分 （2）由（1）可知 ， ， 两两垂直，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴 ，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ，故 ， ， ， ，则 ， ， ，.......................................................7 分 设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， ( )f x 0, 2 π     420, 2 e π         ∈+=+= 2,0),6sin(2sin3cos)()2( ππ xxxxxg 1)(,1,2 1 6sin,3 2 66 min =∴   ∈     +∴≤+≤∴ xgxx ππππ ( ) 4 max 2 2 π exf = ( ) ( ) mxfxg ≥+ 21 ( ) ( )( )minmin xfmxg −≥∴ ( ) ( )maxmin xfmxg −≥ 4 2 21 π em −≥∴ 12 2 4 +≤∴ π em ∴ m       +∞− 12 2, 4 π e设平面 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ，................10 分 设二面角 的平面角为 ，则 ， 易知 为钝角，∴二面角 的余弦值为 ．.......................12 分 21.解：(1)设切点坐标为设切点坐标为 ， ， 切线斜率 ，又 ， ∴ ，∴ 令 ，......................................................................................3 分 ， 解 得 ，解 得 ，∴ 在 上递减，在 上递增． ∴ ，∴ 的最小值为 ．...............................................................5 分 （Ⅱ） ， ． ∴ ． 设 ，则 ． 由 ，得 ． 当 时， ；当 时， ． ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减． 0 0 0 1,lnx x x  −    ( ) 2 1 1f x x x ′ = + ( )0 2 0 0 1 1k f x x x ′= = + 0 0 0 1ln x kx bx − = + 0 0 2ln 1b x x = − − 0 2 0 0 1 1ln 1k b x x x + = + − − )0(111ln)( 2 >−−+= xxxxxϕ 23 121)( xxxx +−=′ϕ 2 3 2x x x + −= ( )( ) 3 2 1x x x + −= 0)( ′ xϕ 1x > )(xϕ ( )0,1 ( )1,+∞ 1)1()( −=≥ ϕϕ x k b+ 1− 2 1 1( ) nx ag x x x x = + − 2[1, ]x e∈ 2 2 1 1 1'( ) nxg x x x −= + 3 3 2 2 1 2a x x nx a x x − −− = ( ) 2 1 2h x x x nx a= − − '( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx= − + = − '( ) 0h x = x e= 1 x e≤ < '( ) 0h x > 2e x e< ≤ '( ) 0h x < ( )h x [1, )e 2( , ]e e且 ， ， ． 显然 ． 结合函数图象可知，若 在 上存在极值， 则 或 ．.................................................................................................7 分 （ⅰ）当 ，即 时， 则必定 ，使得 ，且 ． 当 变化时， ， ， 的变化情况如下表： - 0 + 0 - - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴当 时， 在 上的极值为 ，且 ． ∵ ． 设 ，其中 ， ． ∵ ，∴ 在 上单调递增， ，当且仅当 时取 等号． ∵ ，∴ ． ∴当 时， 在 上的极值 ．.......................................9 分 （ⅱ）当 ，即 时， (1) 2 2h a= − ( ) 2h e e a= − 2( ) 2h e a= − 2(1) ( )h h e> ( )g x 2[1, ]e ( ) 0 (1) 0 h e h > 