福建省永安市第一中学2020届高三上学期第二次月考试题数学（文）（Word版含答案）.doc

永安一中 2019-2020 学年第一学期第二次月考 高三数学（文科）试题 （考试时间：120 分钟 总分 150 分） 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每题仅有一个选项是正确的. 1．已知集合 ，则 A． 　 B． 　 C． 　 D． 2．已知双曲线的渐近线方程为 ，一个焦点 ，则该双曲线的虚轴长为 A． B． C． D． 3．若 ，则“复数 在复平面内对应的点在第三象限”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值为 A．0 B．2 C．4 D．6 5．如图所示的流程图中，输出 的含义是 A.点 到直线 的距离 B.点 到直线 的距离的平方 C.点 到直线 的距离的倒数 D.两条平行线间的距离 6．设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， 则公比 A． B．4 C． D．2 7．函数 的图象大致为 { } { }2| 4 , | 3A x R x B x N x= ∈ ≤ = ∈ ≤ A B = ( ]0,2 [ ]0,2 { }1,2 { }0,1,2 xy 3 3±= ( )0,2F 1 3 2 32 a R∈ 3 2aiz i −= 0a > 0 0 1 0 3 6 0 x y x y x y ≥ ≥  − + ≥  + − ≤ ， 2 3z y x= − d ( )0 0,x y 0Ax By C+ + = ( )0 0,x y 0Ax By C+ + = ( )0 0,x y 0Ax By C+ + = { }na n nS 12,3 432 =+= aaS =q 4± 2± 2ln xxy −=8.直线 截圆 所得劣弧所对圆心角为 A． B． C． D． 9．已知等腰梯形 中， ， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中点， 若记 ， ，则 A． B． C． D． 10．已知 是奇函数，且当 时 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 11．已知函数 在 上恰有一个最大值 和一个最小值 ， 则 的取值范围是 A． B． C． D． 12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的相应位置. 13．已知 ， ，则 ______． 14. 已知 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点．若 且 ， 则 C 的离心率为 ． 15． 已知数列 的前 项和为 ，其首项 ，且满足 ，则 _______． 6 π 3 π 2 π 3 2π 02 =++ yx 422 =+ yx ABCD 2AB DC=  E F AD BC G EF aAB = AD b=  AG = 3 3 8 4a b+  3 1 8 2a b+  1 3 2 4a b+  1 3 4 8a b+  ( )f x 0>x ( ) 2 4xf x = − ( ) 02 >−xf { }| 0 4x x x< >或 { }| 0 2 4x x x< < >或 { }| 0 4x x x< >或 { }| 2 2x x x< − >或 ( ) ( )sin 03f x x πω ω = + >   ( ]0,2 1 1− ω 5 13,12 12 π π    5 13,12 12 π π     7 13,12 12 π π    7 13,12 12 π π     2 1 :C y ax= ( 0)a > 2 : xC y e= a 2 ,8 e +∞  2 0, 8 e     2 ,4 e +∞  2 0, 4 e     5 3cos −=α παπ ≤≤ 2 cos 2 4 πα + =   21, FF C P C 021 =⋅ PFPF 21 2 PFPF = { }na n nS 1 1a = ( )3 2n nS n a= + na =16．已知四棱锥 的底面为矩形，平面 平面 于点 ， ，则四棱锥 外接球的半径为______. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）设三角形 的内角 的对边分别为 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求三角形 面积 的最大值. 18．（12 分）已知 为公差不为 的等差数列， ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 19.（12 分）如图，在三棱柱 中， ， 顶 点 在 底 面 上 的 射 影 恰 为 的 中 点 ， ， ． （1）证明： ； （2）若点 为 的中点，求三棱锥 的体积． 20.（12 分）已知抛物线 的焦点为 ，经过点 作直线与抛物线 相交于 两点,设 ． (1)求 的值； (2)是否存在常数 ,当点 M 在抛物线 上运动时,直线 都与以 为直径的圆相 切？若存在,求出所有 的值；若不存在,请说明理由． 21．（12 分）已知函数 . （1）若 ，求 的极值和单调区间； （2）若在区间 上至少存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分． 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数方 P ABCD− PBC ⊥ ,ABCD PE BC⊥ E 2,3,6,1 ==== PEBCABEC P ABCD− ABC A B C, , a b c, , 1cos 2a C b c= − A 3a = ABC S { }na 0 1 2a = 1 3 9, ,a a a { }na ( )2 , 1n na n n n nb c a b= = + − { }nc n nS 1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 1A ABC AC M 2AB AC= = 1 3AA = 1AB CC⊥ P 1 1B C 1P ABA− xyP 4: 2 = F ( )0,4H P BA, ( ) ( )2211 ,,, yxByxA 21 yy a P ax = MF a 1( ) ln ,( 0, )f x a x a a Rx = + ≠ ∈ 1a = ( )f x (0, ]e 0x 0( ) 0f x < a x l程为： 为参数， )，曲线 的极坐标方程为： . （1）写出曲线 的直角坐标方程; （2）设直线 与曲线 相交于 两点, 若 ，求直线 的斜率. 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 （1）解不等式 ； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 参考答案 一选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C B A D A D B B C C 二、填空题：13． ; 14. ; 15． ; 16．2 三、解答题： 17．解：（1）由正弦定理： 可化为 ………1 分 即 ………………………………2 分 即 ………………………………3 分 所以 ………………………………4 分 又 , 所以 ………………………………5 分 1 cos (sin x t ty t α α = − +  = [0, )α π∈ C 4cosρ θ= C l C ,P Q 7PQ = l ( ) 2 1 4f x x x= + + − ( ) 6f x ≤ 2( ) 4 8f x x a a+ − < − a 50 27 3 5 2 )1( +nn 1cos 2a C b c= − 1sin cos sin sin2A C B C= − 1sin cos sin( ) sin2A C A C C= + − 1sin cos sin cos cos sin sin2A C A C A C C= + − 1cos sin sin 02A C C− = sin 0C ≠ 1cos 2A =因为 ，所以 ………………………………6 分 （2）由余弦定理得 即 所以 ，所以 ………………………………10 分 所以三角形 面积 ………………12 分 18．解：（1） 成等比数列，所以 ………………………………1 分 即 ，即 . ………………………………3 分 因为 ，所以 ， ………………………………4 分 所以 . ………………6 分 （2）由题意得： ， ， ………………8 分 所以 . ………………12 分 19. 解：（1）证明：因为顶点 在底面 上的射影恰为 AC 的中点 M， 所以 ， ………………………………2 分 又 ，所以 ， …………………3 分 又因为 ， 而 ， 且 ，…4 分 所以 平面 ，又因为 ， 所以 ． ………………6 分 （2）解：如图，因为 是 的中点， 所以 …………………………10 分 ………………………12 分 20.解：(1)法一：依题意过点 的直线可设为 ，……………………1 分 由 ，得 ， ……………………3 分 设 ，则 ， …………………4 分 ∴y1y2＝－16. …………………………………5 分 法二:∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)， ∴ (x2－4，y2)． …………1 分 ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(4,0)在一条直线上， ∴(x1－4)y2－(x2－4)y1＝0. …………2 分 ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线 y2＝4x 上， ∴x1＝y21 4 ，x2＝y22 4 ， …………3 分 1A ABC AB AC⊥ 0 πA< < π 3A = 2 2 3 1cos 2 2 b cA bc + −= = 2 2 3b c bc+ = + 3 2bc bc+ ≥ 3bc ≤ ABC 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A= × × =≤ 1 3 9, ,a a a 2 3 1 9 ,a a a= ( ) ( )2 1 1 12 8a d a a d+ = + 2 1a d d= 0d ≠ 1 2d a= = ( ) ( )1 1 2 1 2 2na a n d n n= + − = + − × = 22 4n n nb = = ( ) ( )2 1 4 2 4n nn nc n n= + − = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 1 42 2 4 412 1 4 5 n n n n nS n n + − − −+ + − = + = + −− − 1A M ABC⊥ 平面 AB ABC⊂ 平面 1A M AB⊥ 1 1 1A M A ACC⊂ 平面 1 1AC A ACC⊂ 平面 1A M AC M= AB ⊥ 1 1A ACC 1 1 1CC A ACC⊂ 平面 1AB CC⊥ P 1 1B C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 2 22 2 2 2 3 2 3P ABA C ABA B AA C B AA CV V V V− − − −= = = = × × × × × = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2 2 22 2 2 2 3 2 3P ABA C ABA B AA C B AA CV V V V− − − −= = = = × × × × × = ( )0,4H 4+= myx    = += xy myx 4 4 2 01642 =−− myy ( ) ( )2211 ,,, yxByxA 1621 −=yy∴(y21 4 －4)y2－(y22 4 －4)y1＝0， 即y1y2 4 (y1－y2)＝－4(y1－y2)． …………4 分 根据已知得 y1≠y2，∴y1y2＝－16. …………5 分 (2)存在． …………6 分 ∵F 是抛物线 P 的焦点， ∴F(1,0)． 设 M(x，y)，则 MF 的中点为 N(x＋1 2 ，y 2)，|MF|＝1＋x. …………7 分 ∵直线 x＝a 与以 MF 为直径的圆相切的充要条件是 N (x＋1 2 ，y 2)到直线 x＝a 的距离等于 |MF| 2 ， 即|x＋1 2 －a|＝1＋x 2 ，∴ax＝a2－a. …………9 分 ∵对于抛物线 P 上的任意一点 M，直线 x＝a 都与以 MF 为直径的圆相切， ∴关于 x 的方程 ax＝a2－a 对任意的 x≥0 都要成立． ∴Error!解得 a＝0. …………11 分 ∴存在常数 a，并且仅有 a＝0 满足“当点 M 在抛物线 P 上运动时，直线 x＝a 都与以 MF 为直径的圆相切”． …………12 分 21．解：（1） ， ………1 分 令 ，得 当 x 变化时， 的变化情况如下表： x 1 - 0 + 减 极小值 增 ……4 分 当 时，函数 有极小值 1；函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ； ………………5 分 （2）若在区间 上至少存在一点 ，使 成立，即 在区间 上的最小 值小于 0 ………………6 分 令 ，得 …………7 分 ①当 时， 函数 在区间 上单调递减 函数 在区间 上的最小值为 由 得 ，即 ………8 分 ②当 时， （i）当 即 时， 函数 在区间 上单调递减  1a = ∴ 1( ) ln ,( 0)f x x xx = + > ∴ 2 2 1 1 1'( ) xf x x x x −= − + = '( ) 0f x = 1x = ( ), '( )f x f x (0,1) (1, )+∞ '( )f x ( )f x (1) 1f = ∴ 1x = ( )f x ( )f x (0,1) (1, )+∞ (0, ]e 0x 0( ) 0f x < ( )f x (0, ]e 2 2 1( )1'( ) ,( 0) a xa af x ax x x − = − + = ≠ '( ) 0f x = 1x a = 0a < '( ) 0f x < ∴ ( )f x (0, ]e ∴ ( )f x (0, ]e 1 1( ) lnf e a e ae e = + = + ∴ 1( ) 0f e ae = + < 1a e < − 1( , )a e ∈ −∞ − 0a > 1e a ≤ 10 a e < ≤ '( ) 0f x ≤ ∴ ( )f x (0, ]e函数 在区间 上的最小值为 显然，这与 在区间 上的最小值小于 0 不符 ……9 分 （ii）当 即 时 当 x 变化时， 的变化情况如下表： x － 0 + 减 极小值 增 函数 在区间 上的最小值为 ………10 分 由 ，得 ，即 ……………11 分 综上述，实数 a 的取值范围是 ． ………………12 分 22.解：（1） ， ………1 分 由 ,得 . ……… 3 分 所以曲线 的直角坐标方程为 . ………4 分 （2）把 代入 ，整理得 ………5 分 设其两根分别为 ，则 ………6 分 ………7 分 得 ， ， ………9 分 所以直线 的斜率为 . ………10 分 23.解：（1）由已知得 当 时， 当 时， 当 时， 舍 综上得 的解集为 …………5 分 （2） )(),( xfxf ′ )(xf ′ )(xf ∴ ( )f x (0, ]e 1 1( ) ln 0f e a e ae e = + = + > ( )f x (0, ]e 10 ea < < 1a e > 1(0, )a 1 a 1( , )ea ∴ ( )f x (0, ]e 1 1( ) lnf a aa a = + ∴ 1 1( ) ln 0f a aa a = + < a e> ( , )a e∈ +∞ ∴ 1( , ) ( , )ee −∞ − +∞ 24cos , 4 cosρ θ ρ ρ θ= ∴ = 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = 2 2 4x y x+ = C ( )2 22 4x y− + = 1 cos sin x t y t α α = − +  = 2 2 4x y x+ = 2 6 cos 5 0t t α− + = 1 2,t t 1 2 1 26cos , 5,t t t tα+ = = ( )2 2 1 2 1 2 1 24 36cos 20 7PQ t t t t t t α∴ = − = + − = − = 3cos 2 α = ± 5 6 6 π πα = 或 l 3 3 ± 13 3 2 1( ) 5 42 3 3 4 x x f x x x x x − + < − = + − ≤ ≤  − >  ， ， ， 2 1x < − 3 3 6 1x x− + ≤ ⇒ ≥ − 11 2x∴− ≤ < − 1 42 x− ≤ ≤ 5 6 1x x+ ≤ ⇒ ≤ 1 12 x∴− ≤ ≤ 4x > 3 3 6 3x x− ≤ ⇒ ≤ ( ) 6f x ≤ [ ]1,1− ( ) 4 2 1 2 8 9f x x x x+ − = + + − ≥有解 ， 或 的取值范围是 . …………10 分 2( ) 4 8f x x a a+ − < − 2 8 9a a∴ − > ( 9)( 1) 0a a− + > 1a∴ < − 9a > a∴ ( ), 1 (9, )−∞ − +∞