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天水一中 2020 届 2019-2020 学年度第一学期第四次考试
数学文科试题
一、选择题(每题 5 分，共 60 分)
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．以下四个命题：
①“若 ，则 ”的逆否命题为真命题
②“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件
③若 为假命题，则 ， 均为假命题
④对于命题 ： ， ，则 为： ，
其中真命题的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．已知 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系是
A． B． C． D．
4．函数 f(x)=Asin(ωx+φ)，（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如
图，则 f(x)=（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 F1、F2 为椭圆 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A，B 两点，若
，则|AB|= ( )
{ | 1 }A x y x= = − { | ( 1)( 3) 0}B x x x= + − < ( )R A B =
[1,3) (1,3) ( 1,0] [1,3)− ( 1,0] (1,3)−
x y= 2 2x y=
2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+
p q∧ p q
p 0x R∃ ∈ 2
0 0 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥
0.3log 2a = 0.12b = sin 789c = a b c
a b c< < a c b< < c a b< < b c a< <
( ) 2 4 3f x sin x
π = +
( ) 2 4 3f x sin x
π = −
( ) 4 82 3 9f x sin x
π = −
( ) 4 82 3 9f x sin x
π = +
2 2
125 9
x y+ =
2 2 12F A F B+ =- 2 -
A．6 B．7 C．5 D．8
6．定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则函数 的
零点的个数是( )
A． B． C． D．
7．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 b=1，
= ，若 A=2B，则△ABC 的周长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．已知 ，若不等式 恒成立，
则 的最大值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．20
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线的左支上存
在一点 ，使得 与双曲线的一条渐近线垂直于点 ，且 ，则此双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
R ( )f x 0x > ( ) 20192019 logxf x x= + ( )f x
1 2 3 5
a b c
b
− +
sinC
sinA sinB sinC+ −
2 3+ 3 3+
0, 0a b> > 3 1
3
n
a b a b
+ ≥ +
n
2
2
3
2
5
2 2
cos
x
xy
e
=
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2,F F
P 2PF H 2 24PF F H=
2 6
3
4
3
13
2
5
3- 3 -
12．定义在 上的函数 满足 ， ，则关于 的不等式
的解集为( )
A． B． C． D．
二、填空题(每题 5 分，共 20 分)
13．已知向量 ， ， ，则| ______.
14．已知实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为_____．
15．已知直线 ： 是圆 的对称轴.过点
作圆 的一条切线，切点为 ，则 .
16．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ________
三、解答题（共 70 分）
17．(本小题满分 12 分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18．(本小题满分 12 分)已知向量 ， ， .
（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
（2）记 的内角 的对边分别为 .若 ， ，
求 的值．
19．(本小题满分 12 分)如图， 是平行四边形， 平面
∞（0，+ ） f x（ ） 2
1( ) 0f x x
′ + > 52 2f =（ ） x
1 2lnf lnx x
> +（ ）
2(1, )e 2(0, )e 2( , )e e 2( , )e +∞
( )1,2a = − 3b = 7a b− = a b+ =
x y
2 0,
2 5 0,
2 0,
x y
x y
y
− − ≤
+ − ≥
− ≤
2z x y= −
l 1 0( )x ay a R+ − = ∈ 2 2: 4 2 1 0C x y x y+ − − + =
( 4, )A a− C B | |AB =
y kx b= + lny x= 2xy e −= k =
{ }na n nS 3 12S = 6 9 19a a+ =
{ }na
23 na
nb n−= + { }nb n nT
sin 2 ,sin6m x x
π = +
( )1,sinn x= ( )f x m n= ⋅
( )y f x=
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 1
2 2
Bf
+ = 5, 3b c= =
a
ABCD AP ⊥- 4 -
， ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；（2）求四面体 的体积.
20．(本小题满分 12 分)已知抛物线 ，过其焦点 的直线与抛物线相交
于 、 两点，满足 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，求 的最
小值.
21．(本小题满分 12 分)已知函数 （其中 a 是实数）．
（1）求 的单调区间；
（2）若设 ，且 有两个极值点 ，求 取值范围．（其中 e 为自
然对数的底数）．
22．(本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，
以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求 ， 的极坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程 ，设 与 的交点为 ， ，求 的
面积.
23．(本小题满分 10 分)设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围．
ABCD //BE AP 2AB AP= = 1BE BC= = 60CBA∠ =
//EC PAD B ACE−
( )2: 2 0E y px p= > F
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y = −
E
C ( )2,0− CA CB 1k 2k 2 2
1 2
1 1
k k
+
( ) 2 2lnf x x ax x= − +
1x 2x a
xOy 1 : 2C x = − 2 2
2 :( 1) ( 2) 1C x y− + − =
O x
1C 2C
3C
4
πθ = ( )Rρ ∈ 2C 3C M N 2C MN∆
( ) | | | 1| 5( )f x x m x m R= − + + − ∈
2m = ( ) 0f x ≥
( ) 2f x ≥ −- 5 -
文科答案
一、选择题
BCBADCDCBDDA
二、填空题
13. 3 14. 6 15. 6 16. 1 或
三、解答题
17.（1）由题得 ，
解之得 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由题得 ，
所以数列 的前 项和 ，
所以 .
18.（1）由题意，向量 ， ，
所以
，
因为 ，所以函数的最小正周期为 ，
令 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间为 ．
（2）由（1）函数的解析式为 ，
1
e
1 1 1
1 1
2 12
5 8 19
a a d a d
a d a d
+ + + + =
+ + + =
1 3, 1a d= =
3 ( 1) 1 2na n n= + − × = +
{ }na 2na n= +
3n
nb n= +
{ }nb n nT 1 2 3(3 3 3 3 ) (1 2 3 )n n= + + + + + + + + +
1 23(1 3 ) 3 3 3( 1) (3 1) ( 1)1 3 2 2 2 2
n n
n
n
n n n nT n n
+− + + −= + + = − + + =−
(sin(2 ),sin )6m x x
π= + ( )1,sinn x=
( ) 2 3 1 (1 cos2 )sin(2 ) sin sin 2 cos26 2 2 2
xx x xf x m n x
π −+ + = + += ⋅ =
3 1sin 22 2x= +
2ω = 2T
π πω= =
32 2 2 ,2 2k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ 3 ,4 4k x k k Z
π ππ π+ ≤ ≤ + ∈
3[ , ],4 4k k k Z
π ππ π+ + ∈
( ) 3 1sin 22 2f x x= +- 6 -
可得 ，解得 ，
又由 ，根据正弦定理，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 为锐角，
所以 ，
由余弦定理可得 ，可得 ，
即 ，解得 或 ．
19.（1）证明： ， 平面 ， 平面
平面 .同理可证 平面 .
， 平面 平面 .
平面 ， 平面 ·
（2） 平面 ， ，
即 ， ·
在 中， ， ，
·
故四面体 的体积为
20.（1）因为直线 过焦点 ，设直线 的方程为 ，
3 1 2 1( ) sin2 2 2 2
Bf B
+= + = 6sin 3B =
5, 3b c= = sin 10sin 5
c BC b
= =
b c> B C> C
2 210 15cos 1 sin 1 ( )5 5C C= − = − =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 23 5 2 3a a= + −
2 2 3 2 0a a− + = 3 1a = + 3 1a = -
/ /BE AP BE ⊄ PAD AP ⊂ PAD
//BE∴ PAD //BC PAD
BC BE B= ∴ //BCE PAD
EC ⊂ BCE //EC∴ PAD
PA ⊥ ABCD / /BE AP BE ABCD∴ ⊥ 平面
BE ABC∴ ⊥ 平面 B ACE E ABCV V− −∴ =
ABC∆ 2AB = 1BC = 60ABC∠ =
1 1 3 3sin 2 12 2 2 2ABCS AB BC ABC∆∴ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
1 1 3 313 3 2 6E ABC ABCV S BE− ∆= ⋅ = × × =
B ACE− 3
6
AB ,02
pF
AB 2
px my= +- 7 -
将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，消去 得 ，
所以有 ， ， ，因此，抛物线 的方程 ；
（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为 ，设直线 的方程为 ，
联立抛物线的方程 ，所以 ， ，
则有 ， ，
因此
.
因此，当且仅当 时， 有最小值 .
21.（1） (其中 是实数)，
的定义域 ， ，
令 ， = -16,对称轴 ， ，
当 = -16 0，即-4 时， ，
函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，
当 = -16 0,即 或
若 ，则 恒成立，
的单调递增区间为 ，无单调递减区间。
AB E
2
2
2
px my
y px
= +
=
x 2 22 0y mpy p− − =
2
1 2 4y y p= − = − 0p > 2p∴ = E 2 4y x=
( )1,0F AB 1x my= +
2 4 4 0y my− − = 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = −
1 1
1 3mk y
= +
2 2
1 3mk y
= +
2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 3 3 1 1 1 1=2 6 9m m m mk k y y y y y y
+ = + + + + + + +
( ) ( )2 2
1 2 1 22 2 21 2
2 2
1 2 1 2
2 4 84 92 6 9 2 6 9 54 16 2
y y y y my y mm m m m my y y y
+ − ++= + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ = +−
0m = 2 2
1 2
1 1
k k
+ 9
2
( ) 2 2f x x ax lnx= − + a
( )f x∴ ( )0,+∞ ( ) 2´ 2 2 22 x axf x x a x x
− += − + =
( ) 22 2g x x ax= − + 2a x 4
a= ( )0 2g =
2a ≤ 4a≤ ≤ ( )´
0f x ≥
∴ ( )f x ( )0,+∞
2a > 4a < − 4a 时，>
4a < − ( )´
0f x >
( )f x∴ ( )0,+∞- 8 -
若 4，令 ，得
= ， = ，
当 (0, ) ( ,+ 时， 当 （ ）时，
的单调递增区间为（0， ），（ ），单调递减区间为（ ）
综上所述当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间，
当 时， 的单调递增区间为（0， ）和（ ），单调递减区间为（ ）
(2)由(1)知，若 有两个极值点，则 4，且 ， ，
又 ， ， ， ，
又 ，解得 ，
令 ， 则 恒成立
在 单调递减， ，
即
故 的取值范围为
22.（1）
a > ( )´
0f x =
1x
2 16
4
a a− −
2x
2 16
4
a a+ −
x∈ 1x 2x )∞ ( )´
0f x > ， x∈ 1 2x x， ( )´
0f x <
( )f x∴ 1x 2x + ∞， 1 2x x，
4a ≤ ( )f x ( )0,+∞
4a > ( )f x 1x 2x + ∞， 1 2x x，
( )f x a > 1 2 02
ax x+ = > 1 2 1x x = 1 20 1x x∴ < < <
2
1 12 2 0x ax− + = 1
1
1a 2 x x
= +
1 202 3e ae
+ <
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