2019-2020 学年上学期高三第二次月考精编仿真金卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列 中， 为前 项和， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．抛物线 上一点 到抛物线焦点 的距离为 ，则点 到 轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，则
的值可以为（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．若一个半径为 的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．执行如图所示的程序框图，若输入的 为正整数，且 ，则输出的 为偶数
的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1{ }|A y y x= = − 2{ | 9}B x x= ≤ A B =
[ 3,1]− [1,3] [0,3] [ 3,3]−
i 2i
2 i
a +
− a
1 1− 1
2 2
{ }na nS n 7 82 5a a= + 11S =
55 11 50 60
22y x= A F 13
4 A y
1 5
4
3
2 2
π( ) sin(2 )3f x x= + a ( ) cos2g x x= a
π
12
5π
12
7π
12
11π
12
0 1a b< < <
1 1( ) ( )2 2
a b< log 3 log 3a b
> 4 4a b> 1 1
3 3
log loga b<
3
32π 36π 45π 54π
1( ) ln 1f x x x
= − − ( )y f x=
n [10,20]n∈ i
4
11
2
5
5
11
6
11
2 1, 1( ) ln 1, 1
x xf x x x
+ ≤= + > ( ) ( 1) 1f x f x+ + > x
( 1, )− +∞ 3( , )4
− +∞ (0, )+∞ (1, )+∞
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 11 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， 点 在 棱 上 ，
， 与平面 交于 点，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知 ， 是双曲线 的左右焦点，点 是第二象限内双曲线
上一点，且直线 与双曲线的一条渐近线 平行， 的周长为 ，则该双
曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．已知 ， ， ， ，若 ，则 ．
14．已知数列 的前 和 满足 ，若 ，则数列
的前 项和为 ．
15．“ ”联赛将 支球队均分为 组，常规赛中小组内球队之间交手 次（ 主
客），小组外球队之间交手 次（ 主 客），已知常规赛 ， 两队同组，由前几赛季结
果知 队主场获胜的概率为 ，客场获胜的概率为 ，则常规赛 对 的比赛结果
为 的概率为 ．（结果保留 位小数）
16．已知 ， ， ， ，
若存在 ， ，使得 ，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17 ．（ 12 分 ） 已 知 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， ， 且
．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积．
18．（12 分）五面体 中， 是等腰梯形． ， ， ，
， ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
P ABCD− BC AD∥ 3AD BC= E PD
2PE ED= PC ABE F PF FCλ= λ =
2 4 6 8
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > A
1AF by xa
= 1 2AF F△ 9a
2 5 3 2 3
(2, 4)= −a ( 1,1)= −b = +m a b λ= −n a b ⊥m n =λ
{ }na n nS 2 2n nS a= − 2 2logn nb a=
1
4
n nb b +
⋅
100
CBA 20 4 4 2 2
2 1 1 A B
A 0.7 0.4 A B
2: 2 4
2 2 4( ) 2x xf x e e e+= + − 2( ) 3 xg x x ae= − { | ( ) 0}A x f x= = { | ( ) 0}B x g x= =
1x A∈ 2x B∈ 1 2 1x x− < a
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2a =
2 2( 1) 1b c= − +
B
sin 3
5A = ABC△
ABCDEF ADEF 2AD = 2AB = 3CE =
1AF FE ED BC= = = = BC AD∥ BAF ⊥ ADEF
AB ⊥ ADEF
B AF C− −19．（12 分）已知椭圆 过点 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，设点 ，直线 ， 的
斜率分别为 ， ，问 是否为定值?并证明你的结论．
20．（12 分）某地种植常规稻 和杂交稻 ，常规稻 的亩产稳定为 公斤，今年单
价为 元/公斤，估计明年单价不变的可能性为 ，变为 元/公斤的可能性为
，变为 的可能性为 ，统计杂交稻 的亩产数据，得到亩产的频率分布直
方图如图①，统计近 年杂交稻 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）
的关系，得到的 组数据记为 ，并得到散点图如图②．
（1）根据以上数据估计明年常规稻 的单价平均值；
（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 的亩产平均值，
以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 的亩产超过 公斤的概率；
（3）①判断杂交稻 的单价 （单位：元/公斤）与种植亩数 （单位：万亩）是否线
性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出 关于 的线性回归方程；
②调查得知明年此地杂交稻的种植亩数预计为 万亩，若在常规稻 和杂交稻 中选择，
明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据： ， ， ， ，
附：线性回归方程 ， ．
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 3 3( , )2 2
6
3e =
C
(1,0)M l C A B (3,2)N AN BN
1k 2k 1 2k k+
α β α 485
3.70 10% 3.90
70% 4.00 20% β
10 β
10 ( , )( 1,2, ,10)i ix y i =
α
β
β 795
β y x
y x
2 α β
1.60x = 2.82y =
10
1
( )( ) 0.52i i
i
x x y y
=
− − = −∑ 10
2
1
( ) 0.65i
i
x x
=
− =∑
y bx a= + 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑21．（12 分）已知函数 ．
（1）讨论函数 ， 的单调性；
（2）证明： ；
（参考数据： ， ， ， ）
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（ 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，曲线 的普通方程为 ，以原点 为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的参数方程与 的直角坐标方程；
（2）射线 与 、 分别交于异于极点的点 、 ，求 ．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知 ．
（1）解不等式 ；
（2）若 恒成立，求整数 的最大值．
( ) lnf x x x=
2( ) 1( ) 22
a f xg x x xx
⋅= + − a∈R
2( ) 1 xf x e x+ < −
ln 2 0.69≈ ln3 1.10≈
3
2 4.48e ≈ 2 7.39e ≈
xOy 1C 2 2 4 0x y x+ − = O x
2C 2 45
7 2cos2
= −ρ θ
1C 2C
π ( 0)6
θ ρ= ≥ 1C 2C A B AB
( ) | 1| 2 | 1|f x x x= − + +
( ) 5f x ≥
2( )f x x m≥ − + m2019-2020 学年上学期高三第二次月考精编仿真金
卷
理 科 数 学答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由 ，得集合 ，
由 ，得 ，
∴ ．
2．【答案】A
【解析】∵ 为纯虚数，
∴ ，解得 ．
3．【答案】A
【解析】由 ， ， ．
4．【答案】B
【解析】抛物线 中，准线方程为 ，
由题意知 ，得 ，则 ．
5．【答案】A
【解析】由题意知， 图象与 的
图象重合，
则 ，故选 A．
6．【答案】B
1 0 0x y− ≥ ⇒ ≥ [0, )A = +∞
2 9 3 3x x≤ ⇒ − ≤ ≤ [ 3,3]B = −
[0,3]A B =
2i ( 2i)(2 i) 2 2 ( 4)i
2 i (2 5i)(2 i)
a a a a+ + + − + += =− − +
1 0
4 0
a
a
− =
+ ≠ 1a =
7 82 5a a= + 6 5a = 1 11
11 6
( ) 11 11 552
a aS a
+ ⋅= = =
21
2 y x= 1
8y = −
1 13
8 4Ay + = 25
8Ay = 5
4Ax =
π( ) sin(2 2 )3f x a x a+ = + + π( ) cos2 sin(2 )2g x x x= = +
π π π2 2 π, π,3 2 12a k k a k k+ = + ∈ ⇒ = + ∈Z Z【解析】 ，
在 上递减， 在 上递增， 在 上递减，
则 A、C、D 错误，
，又 ，则 B 正确．
7．【答案】B
【解析】由三视图，可知该几何体是一个球体挖去 之后剩余的部分，
故该几何体的表面积为球体表面积的 与两个半圆面的面积之和，
即 ．
8．【答案】A
【解析】令 ，则 ，
由 ，得 ，即函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，即函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 有最小值， ，
于是对任意的 ，有 ，故排除 B，D，
因函数 在 上单调递减，则函数 在 上递增，故排除 C．
9．【答案】A
【解析】 时， ， ， ， 且为偶函数，输出；
， ， 时，输出的 为偶数；
时， ， ， 最后输出 为奇数，
， ， 时，最后输出 为奇数，
故输出的 为偶数的概率为 ．
10．【答案】B
【解析】由题意，根据函数的解析式可知，
0 1a b< < <
1( )2
xy = R 4xy = R 1
3
logy x= (0, )+∞
3 3
1 1log 3 ,log 3log loga ba b
= =
3 3log log 0a b< <
1
4
3
4
2 23 14π 3 2 π 3 36π4 2S = × × + × × =
( ) ln 1g x x x= − − 1 1( ) 1 xg x x x
−′ = − =
( ) 0g x′ > 1x > ( )g x (1, )+∞
( ) 0g x′ < 0 1x< < ( )g x (0,1)
1x = ( )g x min( ) (0) 0g x g= =
(0,1) (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x >
( )g x (0,1) ( )f x (0,1)
10n = 1 10i = < 2 10i = < 5 10i = < 14 10i = >
11n = 12 13 14i =
14n = 1 14i = < 2 14i = < 41i =
15n = 20 41i =
i 4
11当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以当 时， 恒成立；
当 时，因为 ，所以 恒成立，
综上： ．
11．【答案】C
【解析】 与平面 交于 点，
设 ，所以有 ，
因为 ， ，所以 ，因此 ．
12．【答案】A
【解析】由题意知 ， ，
解得 ， ，
直线 与 平行，则 ，得 ，
，
即 ，
化简得 ，即 ，解得 或 （舍）．
1 01 1
x xx
≤ ⇒ ≤ + ≤ ( ) ( 1) 2 1 2 3 1f x f x x x+ + = + + + > 3 04 x− < ≤
1 11 1
x xx
> ⇒ > + > ln 1 1x + >
1x > ( ) ( 1) 1f x f x+ + >
0 1x< ≤ 1 1 2x< + ≤ ( ) ( 1) 2 1 ln( 1) 1 1f x f x x x+ + = + + + + >
3
4x > −
PC ABE F
PF FCλ=
2
23
1
3
D ABP
P ABE E ABP P ABD
C ABE E ACB P ACB
P ACB
VV V V
V V VV
−
− − −
− − −
−
= = = =λ
BC AD∥ 3AD BC= 3ABD ABCS S=△ △
2 6P ABD
P ACB
V
V
−
−
= =λ
2 1 2AF AF a− = 2 1 9 2AF AF a c+ = −
2
11 2
2
a cAF
−= 1
7 2
2
a cAF
−=
1AF by xa
= 1 2tan bAF F a
∠ = 1 2cos aAF F c
∠ =
2 22
1 2
1 2
1
4cos 2 2
AF c AFaAF F c AF c
+ −∠ = = ⋅
2 2 2 2
249 28 4 121 44 444 4
7 22 22
a ac c a ac cca
a cc c
− + − ++ −
= −× ×
2 22 8 0c ac a+ − = 2 2 8 0e e+ − = 2e = 4e = −第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】 ， ， ，
则 ，即 ，解得 ．
14．【答案】
【解析】 ， ，两式相减得 ，
又 ，知数列 等比， ，
， ，
其前 项和为 ．
15．【答案】
【解析】由题意知 队在 主 客的 场比赛中获胜两场，胜场可以是 主， 客
或 主 客，
概率 ．
16．【答案】
【解析】令 ，解得 或 （舍），
所以 ，即 ，
若存在 ， ，使得 ，即 ，得 ，
即 在 上有解，等价于 在 上有解，
7
2
−
(1, 3)= + = −m a b (2 , 4 )λ λ λ= − = + − −n a b ⊥m n
0⋅ =m n (2 ) 3( 4 ) 0+ − − − =λ λ 7
2
= −λ
100
101
2 2n nS a= − 1 12 2n nS a+ += − 1 2n na a+ =
1 1 12 2 2a a a= − ⇒ = { }na 2n
na =
2
2 2 2log log 2 2n
n nb a n= = =
1
4 4 1 1
4 ( 1) 1n nb b n n n n+
= = −⋅ + +
100 1 1 1 1 1 1 1001 12 2 3 100 101 101 101
− + − + + − = − =
0.3924
A 2 2 4 2 2
1 1
2 2 2 2 1 1
2 20.7 0.6 0.3 0.4 C 0.7 0.3 C 0.4 0.6 0.3924P = × + × + × × × =
2
1 4( , ]3 3e e
2 2 4) 0( 2x xf x e e e++ − == 2xe e= 22e−
2x = { } { }( ) 0 2A x f x= = =
1x A∈ 2x B∈ 1 2 1x x− < 22 1x− < 2 (1,3)x ∈
2 0( ) 3 xg x x ae= − = (1,3)
2
3 x
xa e
= (1,3)令 ， ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递
减．
， ， ，所以 ，
即有 的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知得 ， ，
即有 ，所以 ，
或 ， ，即 ，
即有 ，
由 ，得 ．
（2）由 ，若 ， ，
在 中， ，
若 ， ，
，不合题意，舍；
2
( ) 3 x
xh x e
= (1,3)x∈ (2 )( ) 3 x
x xh x e
−′ =
(1,2)x∈ ( ) 0h x′ > ( )h x (2,3)x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x
1(1) 3h e
= 2
4(2) 3h e
= 3
3(3) (1)h he
= > 2
1 4( ) ( , ]3 3h x e e
∈
a 2
1 4( , ]3 3e e
π
4B = 7
6
2 2 2 22 2 2 cosb c c a c ac B= + − = + − 2a =
2 cos 1B = 2cos 2B =
2 2 2 2b c c= + − 2a = 2 2 2 2b c a ac= + −
2 2 2 2 2cos 2 2 2
c a b acB ac ac
+ −= = =
(0,π)B∈ π
4B =
3sin 5A = π(0, )2A∈ 2 4cos 1 sin 5A A= − =
ABC△ 7 2sin sin( ) sin cos cos sin 10C B A B A B A= + = + =
π( ,π)2A∈ 2 4cos 1 sin 5A A= − = −
2sin sin( ) sin cos cos sin 10C B A B A B A= + = + = −由正弦定理 ，得 ，
所以 ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）连接 ，取 中点 ，连 ，
则 ， ，∴ 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ，
是等边三角形， ，
∴ ，∴ ，
∵平面 平面 ，且交线为 ，∴ 平面 ，
∴ ， 且 ，
∴ 是平行四边形，∴ ， ，
∴ ，即 ， ，∴ 平面 ．
（2）如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴，在平面 内过点 且与
垂直得直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
由（1）知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ．
取 ，得 ，
sin sin
a b
A B
= 5sinsin 3
ab BA
= ⋅ =
1 1 5 7 2 7sin 22 2 3 10 6ABCS ab C= = × × × =△
2 22
11
DF AD Q ,QF QE
QD EF∥ QD EF= QDEF
FQ DE∥ FQ DE= 1FQ QA QD AF= = = =
AFQ△ 60AQFAFQ ∠∠ = = °
30QFD∠ = ° 90AFD∠ = °
BAF ⊥ ADEF AF DF ⊥ BAF
DF AB⊥ EF AD BC∥ ∥ 1BC EF= =
BCEF BF CE∥ 3BF CE= =
2 2 2BF AB AF= + AB AF⊥ AF DF F= AB ⊥ ADEF
A AB x AD y ADEF A AD
z
1 3(0, , )2 2F ( 2,1,0)C (0,2,0)D (0,0,0)A
( 2,1,0)AC = 1 3(0, , )2 2AF =
BAF 3 3(0, , )2 2FD = −
CAF ( , , )x y z=m
2 0
1 3 02 2
AC x y
AF y z
⋅ = + =
⋅ = + =
m
m
6y = ( 3, 6, 2)= − −m则 ，
∴二面角 的余弦值为 ．
19．【答案】（1） ；（2）为定值，定值为 2．
【解析】（1）依题意， ，又 ，则 ，
点 在椭圆上，故 ，解得 ，则 ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）①当直线 的斜率不存在时，由 ，解得 ， ．
设 ， ，则 为定值．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ．
将 代入 整理化简，得 ．
依题意，直线 与椭圆 必相交于两点，
2 6 2 22cos , 1111 3
FD
FD
FD
⋅
< > = = =
⋅⋅
m
m
m
B AF C− − 2 22
11
2
2 13
x y+ =
6
3
c
a
= 2 2 2a b c= + 2 23a b=
3 3( , )2 2
2 2
2 2
3 3( ) ( )2 2 13b b
+ = 1b = 3a =
C
2
2 13
x y+ =
l 2
2
1
13
x
x y
= + =
1x = 6
3y = ±
6(1, )3A 6(1, )3B − 1 2
6 62 23 3 22 2k k
− +
+ = + =
l l ( 1)y k x= −
( 1)y k x= − 2
2 13
x y+ = 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k+ − + − =
l C设 ， ，则 ， ．
又 ， ，
所以
．
综上得 为常数 ．
20 ．【答 案 】（ 1 ） （ 元 / 公 斤 ）；（ 2 ） ； （ 3 ） ① 线 性 相 关 ，
；②明年选择种杂交稻 收入更高．
【解析】（1）设明年常规稻 的单价为 ，则 的分布列为
，
估计明年常规稻 的单价平均值为 （元/公斤）．
（2）杂交稻 的亩产平均值为
，
依题意知杂交稻 的亩产超过 公斤的概率 ，
则 将 来 三 年 中 至 少 有 二 年 ， 杂 交 稻 的 亩 产 超 过 公 斤 的 概 率 为 ：
．
（3）①∵散点图中各点大致分布在一条直线附近，
∴可以判断杂交稻 的单价 与种植亩数 线性相关，
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
1 2 2
6
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
kx x k
−= +
1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= −
1 2 1 2 2 1
1 2
1 2 1 2
2 2 (2 )(3 ) (2 )(3 )
3 3 (3 )(3 )
y y y x y xk k x x x x
− − − − + − −+ = + =− − − −
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
[2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 12 2( ) [2 4( ) 6]
9 3( ) 9 3( )
k x x k x x x x k x x x x
x x x x x x x x
− − − + − − − − + + − + += =− + + − + +
2 2 2
22 2 2
2 2 2
2 2
6 3 3 612 2 [2 4 6] 12(2 1)3 1 3 1 3 1 26 3 3 6(2 1)9 3 3 1 3 1
k k kk kk k k
k k k
k k
−− × + × − × + ++ + += = =− +− × ++ +
1 2k k+ 2
3.9 0.104
ˆ 0.8 4.10y x= − + β
α ξ ξ
( ) 3.7 0.1 3.9 0.7 4 0.2 3.9E ξ = × + × + × =
α 3.9
β [(750 810 820) 0.005 (760 800) 0.01+ + × + + ×
(770 790) 0.02 780 0.025] 10 78.2 10 782+ + × + × × = × =
β 795 0.1 0.05 2 0.2p = + × =
β 795
2 2 3
3C 0.2 (1 0.2) 0.2 0.104× × − + =
β y x由题中提供的数据得 ，
由 ，得 ，
∴线性回归方程为 ．
②估计明年杂交稻 的单价 元/公斤，
估计明年杂交稻 的每亩平均收入为 元/亩，
估计明年常规稻 的每亩平均收入为 元/亩，
∵ ，∴明年选择种杂交稻 收入更高．
21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1） ，
，
设 ， ， ，对称轴 ，
①当 ，即 时， ，即 ，
此时 在 上递增；
②当 ， ，即 时，令 ，
解得 ，
则 时， ；
时， ，
此时 在 ， 上递增，在 上递减；
③当 ，即 时，令 ，解得 ， 舍，
当 时， ；当 时， ，
此时 在 上递减，在 上递增．
0.52 0.80.65b
−= = −
y bx a= + 2.82 0.8 1.60 4.10a y bx= − = + × =
ˆ 0.8 4.10y x= − +
β 0.8 2 4.10 2.50y = − × + =
β 782 2.50 1955× =
α 485 ( ) 485 3.9 1891.5E ξ× = × =
1955 1891.5> β
2 2( ) 1 1( ) 2 ln 2 ,( 0)2 2
a f xg x x x a x x x xx
⋅= + − = + − >
2 2( ) 2a x x ag x xx x
− +′ = + − =
2( ) 2G x x x a= − + (0)G a= (1) 1G a= − 1x =
(1) 0G ≥ 1a ≥ ( ) 0G x ≥ ( ) 0g x′ ≥
( )g x (0, )+∞
(0) 0G > (1) 0G < 0 1a< < ( ) 0G x =
1 20 1 1 1 1 1x a x a< = − − < < = + −
(0,1 1 ) (1 1 , )x a a∈ − − + − +∞ ( ) 0g x′ >
(1 1 ,1 1 )x a a∈ − − + − ( ) 0g x′ <
( )g x (0,1 1 )a− − (1 1 , )a+ − +∞ (1 1 ,1 1 )a a− − + −
(0) 0G ≤ 0a ≤ ( ) 0G x = 0 1 1x a= + − 1 1 0x a= − − <
(0,1 1 )x a∈ + − ( ) 0g x′ < (1 1 , )x a∈ + − +∞ ( ) 0g x′ >
( )g x (0,,1 1 )a+ − (1 1 , )a+ − +∞（2）要证 ，即证 ，
先证明 ，取 ，则 ，
易知 在 递增，在 递减，
故 ，即 ，当且仅当 时取“ ”，
故 ， ，
故只需证明当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，
∵ 递增，故 时， ， 递减，即 递减；
时， ， 递增，即 递增，
且 ， ， ，
由零点存在定理，可知 ， ，使得 ，故
或 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，故 的最小值是 或 ，
由 ，得 ，
，
∵ ，∴ ，故 时， ，原不等式成立．
22．【答案】（1） （ 为参数）， ；（2） ．
【解析】（1）由 ，得 ，
所以曲线 是以 为圆心， 为半径的圆，
所以曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
2( ) 1 xf x e x+ < − 2 ln 1 0xe x x x− − − >
ln 1x x< − ( ) ln 1h x x x= − + 1( ) xh x x
−′ =
( )h x (0,1) (1, )+∞
( ) (1) 0h x h≤ = ln 1x x≤ − 1x = =
ln ( 1)x x x x≤ − 2 2ln 1 2 1x xe x x x e x x− − − ≥ − + −
0x > 22 1 0xe x x− + − >
2( ) 2 1,( 0)xk x e x x x= − + − ≥ ( ) 4 1xk x e x′ = − +
( ) ( )F x k x′= ( ) 4xF x e′ = − ( ) 0F x′ = 2ln 2x =
( )F x′ ( ]0,2ln 2x∈ ( ) 0F x′ ≤ ( )F x ( )k x′
(2ln 2, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x ( )k x′
(2ln 2) 5 8ln 2 0k′ = − < (0) 2 0k′ = > 2(2) 8 1 0k e′ = − + >
1 (0,2ln 2)x∃ ∈ 2 (2ln 2,2)x∃ ∈ 1 2( ) ( ) 0k x k x′ ′= =
10 x x< < 2x x> ( ) 0k x′ > ( )k x
1 2x x x< < ( ) 0k x′ < ( )k x ( )k x (0) 0k = 2( )k x
2( ) 0k x′ = 2
24 1xe x= −
( ) ( )( )2 2
2 2 2 2 22 1 2 2 1xk x e x x x x= − + − = − − −
2 (2ln 2,2)x ∈ 2( ) 0k x > 0x > ( ) 0k x >
2 2cos
2sin
x
y
= +
=
α
α α 2 2
19 5
x y+ = 302 3 2
−
2 2 4 0x y x+ − = 2 2( 2) 4x y− + =
1C (2,0) 2
1C 2 2cos
2sin
x
y
= +
=
α
α α由 ，得 ，即 ，
所以 ，则曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）易得曲线 的极坐标方程为 ，
则射线 与曲线 的交点的极径 ，
射线 与曲线 的交点的极径 满足 ，
解得 ．
所以 ．
23．【答案】（1） 或 ；（2）2．
【解析】（1） ，
∴ 或 或 ，得 或 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ．
（2） 恒成立 恒成立，
令 ，
结合二次函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，∴整数 的最大值为 ．
2 45
7 2cos2
= −ρ θ
2
2
45
9 4cos
= −ρ θ
2 2 29 4 cos 45− =ρ ρ θ
2 2 29 9 4 45x y x+ − = 2C
2 2
19 5
x y+ =
1C 4cos=ρ θ
π ( 0)6
θ ρ= ≥ 1C 1
π4cos 2 36
ρ = =
π ( 0)6
θ ρ= ≥ 2C 2
ρ 2 2
2
π(9 4cos ) 456
ρ − =
2
30
2
=ρ
1 2
302 3 2AB = − = −ρ ρ
{ | 2x x ≤ − 4}3x ≥
3 1, 1
( ) | 1| 2 | 1| 3, 1 1
3 1, 1
x x
f x x x x x
x x
− − ≤ −
= − + + = + − <
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