辽宁省沈阳市2020届高三上学期五校协作体期中联考试题数学（理）（Word版含答案）.doc

理科数学试题 第 1 页（共 10 页） 2019—2020 学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考 高三年级理科数学试卷 试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12 题，共 60 分）和第Ⅱ卷（非选择 题，13—23 题，共 90 分）。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答 题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 考试时间 ：120 分钟 考试分数：150 分 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ， ，集合 A 与 B 关 系 的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 ( ) A． B． C． D． 2. 为虚数单位，复数 在复平面内对应的点的坐标为( ) A． B． C． D． 3.已知 都是实数, 直线 与圆 相切; ,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。两颗星的星等与亮度满足 m2-m1= lg ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k=1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等 为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10-10.1 5.已知 ，则 的大小关系为 A． B． C． D． 6.根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0 得到的回归方程为y^ ＝bx＋a，则(　　) A．a>0，b>0 B．a>0，b > c a b> > a c b> > 4 3( ,0),cos( ) sin3 6 5 π πα α α∈ − + − = sin( )12 πα +理科数学试题 第 2 页（共 10 页） A． B． C． D． 8.函数 （其中 ）的图像不可能是（ ） A． B． C． D． 9.为了丰富 教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选 出 4 位教师组成合唱团，现要从这 16 人中选出 3 人领唱，要求这 3 人不能都是同一个部 门的，且在行政部门至少选 1 人，则不同的选取方法的种数为 A．336 B．340 C．352 D．472 10.已知 ，则 不可能满足的关系是（ ） A． B． C． D． 11. 已 知 向 量 、 满 足 , 点 在 内 ， 且 , 设 （ ），若 ,则 A. B. C. D. 12.已知 是奇函数 f(x)(x )的导函数，f(-1)=0,当 x>0 时， , 则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围为( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题 满分 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.若实数 满足条件 则 的最大值是__________． 14.由曲线 与它在 处切线以及 x 轴所围成的图形的面积为 ． 15.三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是 ,x y 2 0, 0, 3, x y x y y + − ≥  − ≤  ≤ 3 4z x y= − 2 3 5 − 2 10 − 2 3 5 4 5 − ( ) | | mf x x x = − m R∈ 3 4 12a b= = ,a b 4a b+ > 4ab > 2 2( 1) ( 1) 2a b− + − > 2 2 3a b+ < OA OB 0OA OB =   C AOB∠ 30AOC∠ = ° OC mOA nOB= +   ,m n R∈ | | 1 2| | OA OB =   m n = 3 6 4 2 3 1 4 ( )f x′ R∈ ( ) ( ) 0xf x f x′ − < )1,0()1,( ∪−−∞ ),1()0,1( +∞∪− )0,1()1,( −∪−−∞ ),1()1,0( +∞∪ 3xy = ( 0 )x≥ 1=x P ABC− PA ⊥ ABC 2 3BAC π∠ = 3AP = 2 3AB = Q BC O x y O x y理科数学试题 第 3 页（共 10 页） 边上的一个动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则该三棱锥外接球的 表面积为__________． 16.对于函数 ，若在其定义域内存在 ，使得 成立，则称函数 具有 性质 P. （1）下列函数中具有性质 P 的有 ； ① ② ③ ， （2）若函数 具有性质 P，则实数 的取值范围是 . （本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ，且 ． (1)求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四边形 中， ， ，△ 的面积为 ． （1）求 ； （2）若 ， ，求 ． 19．（本小题满分 12 分） 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款 新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1 元/ 公里计费；②行驶时间不超过 分时，按 元/分计费；超过 分时，超出部分按 元/分计费．已知王先生家离上班地点 公里，每天租用该款汽车上、下班各一 次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统 ABCD 2π 3B∠ = 3AB = ABC 3 3 4 AC BC CD⊥ π 4D∠ = AD PQ ABC 3 π ( )y f x= 0x 0 0( ) 1x f x = ( )f x ( ) 2 2 2f x x= − + ( ) sinf x x= ( [0,2 ])x π∈ 1( )f x x x = + ( (0, ))x∈ +∞ a { }na 1 1a = ( )12 2 2,n n na a n n N ∗ −= + ≥ ∈ 2 n n a    { }na { }na n nS 40 0.12 40 0.20 15 t D B C A ( ) lnf x a x=理科数学试题 第 4 页（共 10 页） 计了 次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间 （分） 频数 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为 分． （1）写出王先生一次租车费用 （元）与用车时间 （分）的函数关系式； （2）若王先生一次开车时间不超过 分为“路段畅通”，设 表示 3 次租用新能源分时租 赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望. 20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ， ， ， 分别是 ， 的中点. （1）证明： ； （2）设 为线段 上的动点，若线段 长的最小值为 ， 求二面角 的余弦值. 21.（本小题满分 12 分） 已知 ， . （1）当 时，求证： ； （2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 50 t ( ]20,30 ( ]30,40 ( ]40,50 ( ]50,60 2 18 20 10 ( ]20,60 y t 40 ξ P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2AB = 60ABC∠ =  E F BC PC AE PD⊥ H PD EH 5 E AF C− − 2( ) ln( )xf x e x a= + + ( 0)a > 1, 0a x= ≥ 2( ) ( 1)f x x x≥ + + 0 0x ≥ 2 0 0 0( ) 2ln( )f x x a x< + + a理科数学试题 第 5 页（共 10 页） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 已知曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点 为极点，以 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （2）射线 与曲线 交于点 M，射线 与曲线 交于点 N，求 的取值范围． 23．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 设函数 ． （1）若 ，解不等式 ； （2）求证： ． 高三五校联考理科数学答案 1—5 D C B A B 6—10 B B C A D 11—12 C A 13. 14． 15、 16.（1）①②，（2） 17. （本小题满分 12 分） (1)证明：因为 an＝2an－1＋2n，所以an 2n＝2an－1＋2n 2n ＝an－1 2n－1＋1， 即an 2n－an－1 2n－1＝1………..3 分 所以数列{an 2n }是等差数列，且公差 d＝1，其首项a1 21＝1 2，所以an 2n＝1 2＋(n－1)×1＝n－1 2， 解得 an＝(n－1 2 )×2n＝(2n－1)2n－1 ……………………6 分 (2)Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，① 2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，② ①－②，得－Sn＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)2n 1− 1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ O x 2C sin( ) 14 πρ θ − = 1C 2C ( )2OM πθ α α π= < ≤ −或理科数学试题 第 6 页（共 10 页） ＝1＋4 × 1－2n－1 1－2 －(2n－1)2n＝(3－2n)2n－3. 所以 Sn＝(2n－3)2n＋3 ………… …………12 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）由 ， ，得 ．…3 分 因为 ，所以由余弦定理 ． …………………… 6 分 （2）由（1）知 ，因为 ，所以 ． 在△ 中，由正弦定理得 ，所以 ．……………………12 分 19.（本小题满分 12 分） （1）当 时， 当 时， . 得： …………………… 6 分 （2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 ……7 分 可取 ， ， ， . ………………………8 分 ， ， 的分布列为 ………………..10 分 1 3 3sin2 4AB BC B⋅ ⋅ = 2π 3B∠ = 3BC = 3AB = 2 2 2π2 cos 33AC AB CB AB CB= + − ⋅ ⋅ = π 6ACB∠ = BC CD⊥ π 3ACD∠ = ACD sin sin AC AD D ACD =∠ ∠ 3 6 2AD = D B C A理科数学试题 第 7 页（共 10 页） 或依题意 ， …………………… 12 分 20．（本小题满分 12 分） 解析：（1）证明：∵四边形 为菱形， ， ∴ 为正三角形.又 为 的中点， ∴ .又 ，因此 . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ .而 平面 ， 平面 且 ， ∴ 平面 .又 平面 ， ∴ . …………………… 4 分 （2）如图， 为 上任意一点，连接 ， . 当线段 长的最小时， ，由（1）知 ， ∴ 平面 ， 平面 ，故 . 在 中， ， ， ，∴ ， 由 中， ， ，∴ .…………6 分 由（1）知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系 ， 又 ， 分 别 是 ， 的 中 点 ， 可 得 ， ， ， ， ， ， ， 所 以 ， . 设 平 面 的 一 法 向 量 为 ， 则 ABCD 60ABC∠ =  ABC∆ E BC AE BC⊥ / /BC AD AE AD⊥ PA ⊥ ABCD AE ⊂ ABCD PA AE⊥ PA ⊂ PAD AD ⊂ PAD PA AD A∩ = AE ⊥ PAD PD ⊂ PAD AE PD⊥ H PD AH EH EH EH PD⊥ AE PD⊥ PD ⊥ AEH AH ⊂ AEH AH PD⊥ Rt EAH∆ 3AE = 5EH = EA AH⊥ 2AH = Rt PAD∆ 2AD = 45PDA∠ =  2PA = AE AD AP A E F BC PC ( )0,0,0A ( )3, 1,0B − ( )3,1,0C ( )0,2,0D ( )0,0,2P ( )3,0,0E 3 1, ,12 2F       ( )3,0,0AE = 3 1, ,12 2AF  =      AEF ( )1 1 1, ,n x y z=理科数学试题 第 8 页（共 10 页） 因此 ，取 ，则 ，……………8 分 因为 ， ， ，所以 平面 ， 故 为平面 的一法向量.又 ，……………10 分 所以 .二面角 为锐角，故所求二 面角的余弦值为 …………………… 12 分 21．（本小题满分 12 分） （1）设 ， ， 由 故 增且 ，所以， 在 上递增， 所以 …………………… 4 分 （2）即 ( )F x′ ( ) (0) 0F x F′ ′≥ = [ )0 + ∞，理科数学试题 第 9 页（共 10 页） 所以： 在 上为单调递增函数，所以： 当 时， 恒成立，不合题意 综上所述： …………………… 12 分 22．（本小题满分 10 分） 解：（1）由曲线 的参数方程 ( 为参数)得： ，即曲线 的普通方程为 又 ， 曲线 的极坐标方程为 ，即 …….3 分 曲线 的极坐标方程可化为 ， 故曲线 的直角方程为 ……………………5 分 （2）由已知，设点 和点 的极坐标分别为 ， ，其中 则 ， 于是 由 ，得 故 的取值范围是 ……………………10 分 23．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 ，所以 ， 即 或 故不等式 的解集为 …………4 分 （2）由已知得： 0a < 3 3( ) (0) 2 2 5g a f a aa a = = − + = − − ≥ 1C 2 cos 3sin x y ϕ ϕ  = = ϕ 22 2 2cos sin 1 2 3 x yϕ ϕ   + = + =      1C 2 2 12 3 x y+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C 2 2 2 23 cos 2 sin 6ρ θ ρ θ+ = 2 2 2cos 2 6ρ θ ρ+ = 2C sin cos 2ρ θ ρ θ− = 2C 2 0x y− + = M N 1( , )ρ α 2( , )4 πρ α − 2 π α π< < 2 2 1 2 6 cos 2OM ρ α= = + 2 2 2 2 2 1 1 cossin ( )2 ON ρ π αα = = = − 2 2 2 2 2 1 1 cos 2 7cos 2cos6 6OM ON α αα+ ++ = + = 2 π α π< < 1 cos 0α− < < 2 2 1 1 OM ON + 1 3( )3 2 ， 3 ,2a −≤ 1 0a− ≤ < ( ) 5g a ≥ 3 , 1 02a a a − − − ( )f x 3 2a  −∞  ，- 3 ,2a  − +∞   min 3 3 3( ) ( ) 2 2 ( 2 )( ) 2 32 2 2f x f a aa a a = − = − − − − =≥ ( ) 2 3f x ≥