文科试卷 1
2019-2020 学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考
高三年级文科数学试卷
试卷说明：本试卷分第 I 卷选择题（1-12 共 60 分）和第 II 卷（非选择题 13-23 题共 90
分）。答卷前考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上。作答时，将答案写在答题
纸上，写在本试卷上无效。
考试时间：120 分钟 考试分数：150 分
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一．选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1、若集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2、设 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
3、函数 部分图象可以为（ ）
A. B.
C. D.
4、A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 ，现用随机模
拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 之间整数值的随
机数，并用 0，1，2，3，4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以每 3
个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：
402 978 191 925 273 842 812 479 569 683
231 357 394 027 506 588 730 113 537 779
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ）
A． B． C． D．
5、设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若 ，则 ； ②若 则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 .
其中正确命题的序号是( )
2{ 0 6}, { 2 0}A x x B x x x= < < = + − > A B =
{ 1 6}x x< < { 2, 0}x x x< − >或
{ 2 6}x x< < { 2, 1}x x x< − >或
1 i 2i1 iz
−= ++ z =
1
2 2
,m n ,α β
,m α α β⊂ ⊥ m β⊥ / / , ,mα β β⊂ / /m α
, / / , / /m m nα α β⊥ n β⊥ / / , / / , / /m n m nα β / /α β文科试卷 2
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
6、朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字
的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子。他对文艺
的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括
钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”。“十二平均律”是指一个八度有 13 个音，相邻两
个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率
为 ，第八个音的频率为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7、甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：
是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有
一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定
8、已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，以坐标原点 为圆心，
的长为半径作圆， 与 在第一象限交于点 ，若直线 的倾斜角为 且 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
9、已知函数 ，则（ ）
A． 在（0,2）单调递增 B． 在（0,2）单调递减
C．y= 的图像关于点（1,0）对称 D.y= 的图像关于直线 x=1 对称
10、将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数在区间
上无极值点，则 的最大值为（ ）
. . . .
11、已知 O 为坐标原点，抛物线 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 P 为抛物线 C
2f 8f 8
2
f
f
2 3 2 4 2 6 2
( ) ln ln(2 )f x x x= + −
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
)42sin(
π−= xy 4
π
),( mm−
m
A 8
π
B 4
π
C 8
3π
D 2
π文科试卷 3
准线上的动点，则 的最小值为（ ）
A. B. 8 C. D.
12、已知函数 f（x）＝ 则函数 g（x）＝2[f（x）]2－3f（x）－2 的零点
个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
二．填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x= .
14. 已 知 数 列 满 足 ： ， 则
.
15、已知 则当 a 的值为 时 取得最大值.
16、一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，
向容器内放入一个半径为 1 的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与
铁球相切）则容器内水的体积为_____ .
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17-21
题为必考题，每个试题考生必须做答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求做答
17、（本小题满分 12 分）
在 中， ， ．
（1）若 ，求 的面积；
（2）若点 D 在 BC 边上且 ，AD＝BD，求 BC 的长．
18、（本小题满分 12 分）
3 2
0
4 6 1 0
xe x
x x x
， ＜ ，
－ ＋ ， ≥ ，
}{ na )(,112,2
1,1
21
21
∗
++
∈+=== Nnaaaaa
nnn
=2019a
0, 0, 8,a b ab> > = ( )2 2log log 2a b⋅文科试卷 4
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产
方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，
第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务
的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超
过 和不超过 的工人数填入下面的列联表：
超过 不超过
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ， ．
19、（本小题满分 12 分）
在四棱柱 中，底面 为平行四边形，
平面 ． ，
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与底面 所成角为 ， ， ， 分
别为 ， ， 的中点，求三棱锥 的体积．
m
m m
m m
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2( ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
P K k
k
≥
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD
1AA ⊥ ABCD 2 4AB AD= =
3DAB
π∠ =
1D BC ⊥ 1D BD
1D B ABCD 6
π
M N Q
BD CD 1D D C MNQ−文科试卷 5
20、 已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，右焦点为 F，以原点 为圆心，
椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 相切．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图，过定点 P（2，0）的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，
连接 AF 并延长交 C 于 M，求证：∠PFM＝∠PFB．
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 极值；
（Ⅱ）若对任意 ， ，求 的取值范围.
选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分
22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系原点 为极点， 轴正方向为极轴，已知曲线 的方程为 ，
的方程为 ， 是一条经过原点且斜率大于 0 的直线.
（1）求 与 的极坐标方程；（2）若 与 的一个公共点 （异于点 ）， 与 的
一个公共点为 ，求 的取值范围.
23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 均为正实数.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）若 ，求 .
2 2
2 2: 1x yC a b
+ =
2
2
x y− 2 0− =
O x 1C ( )2 21 1x y− + =
2C 3x y+ = 3C
1C 2C 1C 3C A O 2C 3C
B
3OA OB
−
O文科试卷 6
五校联考数学（文科）参考答案
一、 选择题
1-5 BCADC 6-10 ABCDA 11-12 AB
二、填空题 13、 -2/3 14、1/2019 15 .4 16、 .
三、解答题
17、（本小题满分 12 分）
1）由正弦定理得： ，所以 sinC=1， ，（2 分）
所以 ，（4 分）所以 ．（6 分）
（2）设 DC=x，则 BD=2x，由余弦定理可得 （9 分）
解得： 所以 ．（12 分） 其他解法酌情给分
18、（本小题满分 12 分）
解：（1）第二种生产方式的效率更高．（2 分）
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时
间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至
多 79 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5
分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟．因此第
二种生产方式的效率更高．
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分
钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生
产方式的效率更高．
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的
最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布
在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所
需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第
一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给
出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分（5 分）．文科试卷 7
（2）由茎叶图知 （7 分）．列联表如下：（9 分）
超过 不超过
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）由于 ，（11 分）
所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 （12 分）
19、（本小题满分 12 分）
（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ .
又 ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ .（2 分）
又∵ ，∴ .
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，（4 分）
而 平面 ，
∴平面 平面 ；（6 分）
（2）∵ 平面 ，
∴ 即为直线 与底面 所成的角，即 ，（7 分）
而 ，∴ .（8 分）
79 81 802m
+= =
m m
2
2 40(15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K
× − ×= = >× × ×
1D D ⊥ ABCD BC ⊂ ABCD 1D D BC⊥
4AB = 2AD =
3DAB
π∠ = 2 22 4 2 2 4 cos 2 33BD
π= + − × × × =
2 2 2AD BD AB+ = AD BD⊥
/ /AD BC BC BD⊥
1D D BD D∩ = BD ⊂ 1D BD 1D D ⊂ 1D BD
BC ⊥ 1D BD
BC ⊂ 1D BC
1D BC ⊥ 1D BD
1D D ⊥ ABCD
1D BD∠ 1D B ABCD 1 6D BD
π∠ =
2 3BD = 1 2DD =文科试卷 8
又 ，∴ （12 分）
20.解：（1）依题意可设圆 方程为 ，
圆 与直线 相切， . ， （2 分）
由 解得 ， 椭圆 的方程为 .（4 分）
（2）依题意可知直线 斜率存在，设 方程为 ，代入 整理得
，
与椭圆有两个交点， ，即 .（5 分）
设 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ，
则 ， .（7 分）
（8 分）
，即 .（12 分）
21、（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）令 ， （1 分）
+
1
4C MNQ Q CMN Q BDCV V V− − −= = 1 1 1 32 3 2 14 3 2 6C MNQV − = × × × × × =
C 2 2 2x y b+ =
C 2 0x y− + =
2 2
2
1
1 1
b∴ = =
+
2 2 1a c∴ − =
2
2
c
a
= 2a = ∴ C
2
2 12
x y+ =
l l ( )2y k x= − 2
2 12
x y+ =
( )2 2 21 2 8k x k x+ − 28 2 0k+ − =
l 0∴∆ > 22 1 0k − <
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AF BF 1k 2k
2
1 2 2
8
1 2
kx x k
+ = +
2
1 2 2
8 2
1 2
kx x k
−= +
( )1,0F
1 2
1 2
1 21 1
y yk k x x
∴ + = +− −
( ) ( )1 2
1 2
2 2
1 1
k x k x
x x
− −= +− −
1 2
1 12 1 1k k x x
= − + − − ( )1 2
1 2 1 2
22 1
x xk k x x x x
+ −= − − + +
2
2
2 2
2 2
8 21 22 8 2 8 11 2 1 2
k
kk k k k
k k
−+= − − − ++ +
2
2
4 22 02 1
kk k k
−= − =− PFM PFB∠ = ∠文科试卷 9
极小值
，无极大值； （4 分）
（II）对任意 ， 即 ，
设 ， ，
①当 时， 单调递增， 单调递增， ，成立；
②当 时，令 ， 单调递增， 单
调递增， ，成立；
③当 时，当 时， ， 单调递减， 单
调递减， ，不成立.
综上， 的取值范围为 .（12 分）其他解法酌情给分
22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
（1）曲线 的方程为 ， 的极坐标方程为 ，（3 分）
的方程为 ，其极坐标力程为 .（5 分）
（2） 是一条过原点且斜率为正值的直线， 的极坐标方程为 ，
，（6 分）
联立 与 的极坐标方程 ，得 ，即 ，（7 分）
联立 与 的极坐标方程 ，得 ，即
，（8 分）
所以 ，（9 分）
又 ，所以 .（10 分）
23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1C ( )2 21 1x y− + = 1C 2cosρ θ=
2C 3x y+ = 3
cos sin
ρ θ θ= +
3C 3C θ α=
0, ,2 R
πα ρ ∈ ∈
1C 3C 2cosρ θ
θ α
=
= 2cosρ α= 2cosOA α=
1C 2C
3
cos sin
ρ θ θ
θ α
= +
=
3
cos sin
ρ α α= +
3
cos sinOB α α= +
3 2cos cos sinOA OB
α α α− = − − 2cos 4
πα = +
0, 2
πα ∈
( )3 1,1OA OB
− ∈ −文科试卷 10
解：（Ⅰ）
；当且仅当 ad=bc 取等号 （5 分）
（II）
当且仅当 a=b 取等号 而 ，所以 .（10 分）
微信/支付宝扫码支付