秘密★启用前
资阳市高中 2017 级第二次诊断性考试
数学(文史类)
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则 A∩B＝
A.{－1，1，2} B.{1，2} C.{1，2，4} D.{0，1，2，4}
2.已知 i 为虚数单位，复数 z＝i(2＋3i)，则其共扼复数
A.2－3i B.－2－3i C.3－2i D.－3－2i
3.已知圆柱的底面半径为 2，高为 3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形 ABCD(如
图)。若底面圆的弦 AB 所对的圆心角为 ，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，若角 α 的终边经过点 P( )，则 cosα＝
A. B. C. D.
5.函数 的图象大致是
z =
3
π
10 3 3π + 10π 10 33
π + 2 3 3π −
4 4sin ,cos3 3
π π
3
2
1
2
1
2
− 3
2
−
2
( )
1x
xf x
e
=
−6.执行如图所示的程序框图，若输入 x 的值分别为－2， ，输出 y 的值分别为 a，b，则 a＋b
＝
A.－4 B.－2 C. D.
7.已知椭圆 的左顶点为 A，上顶点为 B，且|OA|＝ |OB|(O 为坐标原
点)，则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.关于函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 y＝g(x)图
象，则函数 g(x)
A.最大值为 3 B.最小正周期为 2π C.为奇函数 D.图象关于 y 轴对称
9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭
代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，
数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。如图，由波兰数学家谢尔宾斯
基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角
形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小
三角形重复上述过程逐次得到各个图形。
1
9
7
4
− 1
4
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2 3
3
6
3
2
2
3
3
( ) 3sin(2 ) 1( )3f x x x R
π= − + ∈
12
π若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为
A. B. C. D.
10.圆 x2＋y2＋2x－2y－2＝0 上到直线 l：x＋y＋ ＝0 的距离为 l 的点共有
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
11.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售。现有 8 辆甲型车和 4
辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨且每天能运 4 次，乙型车每次最多能运 10 吨且每天能运
3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元。若需要一天内把 180 吨水果运输到火
车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为
A.2400 元 B.2560 元 C.2816 元 D.4576 元
12.已知直线 y＝a(x＋1)与曲线 f(x)＝ex＋b 相切，则 ab 的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则 a 与 b 所成角的大小为 。
14.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分
表示喜欢徒步的频率。已知该年级男生 500 人、女生 400 名(假设所有学生都参加了调查)，现
从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生人数为 。
15.如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 P 在线段 A1B 上移动，有下列判断：①平面 BDP//
平面 B1D1C；②平面 PAC1⊥平面 B1D1C；③三棱锥 P－B 1D1C 的体积不变；④PC1⊥平面
B1D1C。其中，正确的是 (把所有正确的判断的序号都填上)。
16.已知函数 f(x)＝e|x|＋x2－e，则满足不等式 f(m－2)≤1 的 m 取值范围是 。
9
28
19
28
27
64
37
64
2
1
4e
− 1
2e
− 1
e
− 2
e
−三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答。
(－)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 sinA(2－cosC)＝sinC(1＋cosA)。
(1)证明：a 为 b，c 的等差中项；
(2)若 ，b＝7，求 a。
18.(本小题满分 12 分)
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 4，an，Sn 成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 an2＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
19.(本小题满分 12 分)
已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关。现收集了一只该品种昆虫的产卵数 y(个)和温度 x(℃)
的 7 组观测数据，其散点图如下所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数 y 和温度 x 可用方程 y＝ebx＋a 来拟合，令 z＝
lny，结合样本数据可知 z 与温度 x 可用线性回归方程来拟合。
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中 。
(1)求 z 和温度 x 的回归方程(回归系数结果精确到 0.001)；
2
3B
π=
2 nb
7
1
1ln , 7i i i
i
z y z z
=
= = ∑(2)求产卵数 y 关于温度 x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在 26℃～36℃之间(包括
26℃与 36℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围。(参考数据：e 3.282≈27，e 3.792≈44，
e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568。)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为 。
20.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD，PA＝AB，E 为线段
PB 的中点。
(1)若 F 为线段 BC 上的动点，证明：平面 AEF⊥平面 PBC；
(2)若 F 为线段 BC，CD，DA 上的动点(不含 A，B)，PA＝2，三棱锥 A－BEF 的体积是否存
在最大值?如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝xex－alnx－ax＋a－e。
(1)若 f(x)为单调函数，求 a 的取值范围；
(2)若函数 f(x)仅一个零点，求 a 的取值范围。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分。
22.[选修 4－4，坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
已知曲线 C 的参数方程为 ，(α 为参数)，以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x
的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
ˆˆˆv α βω= +
1
2
1
( )( )
ˆ ˆˆ,
( )
n
i i
i
n
i
i
v v
a v
ω ω
β βω
ω ω
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
2cos
sin
x
y
α
α
=
=(2)P，Q 是曲线 C 上两点，若 OP⊥OQ，求 的值。
23.[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分)
已知正实数 a，b 满足 a＋b＝3。
(1)求 最大值；
(2)若不等式|x＋2m|－|x－1|≤ 对任意 x∈R 恒成立，求 m 的取值范围。
2 2
2 2
OP OQ
OP OQ
⋅
+
2 1 2 1a b+ + +
1 4
a b
+
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