宁夏银川一中2020届高三第五次月考数学（理）试题（Word版附答案）.doc

银川一中 2020 届高三年级第五次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知全集 ，集合 ， ， 则图中阴影部分所表示的集合 A． B． C． D． 2．在复平面内与复数 所对应的点关于 实轴对称的点为 ，则 对应的复数为 A． B． C． D． 3．执行如图所示的程序框图，输出 的值为 A． B． C．4 D．2 4．阿基米德（公元前 287 年—公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若 椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且椭圆 C 的离心率为 ，面积为 12 ，则椭圆 C 的方程为 A． B． C． D． 5．已知 （ ），则 A． B． C． D． RU = }5,4,3,2,1,0{=A }2|{ ≥= xxB { }1 { }0,1 { }1,2 { }0,1,2 2 1 iz i = + A A 1 i+ 1 i− 1 i− − 1 i− + S 3 2 13 log2 + 2log 3 7 4 π 2 2 13 4 x y+ = 2 2 19 16 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = 2 2 116 9 x y+ = ( ) ( 1) ( 2) 2f k k k k k= + + + + +…+ k ∗∈N ( 1) ( ) 2 2f k f k k+ − = + ( 1) ( ) 3 3f k f k k+ − = + ( 1) ( ) 4 2f k f k k+ − = + ( 1) ( ) 4 3f k f k k+ − = +6．已知数列 为等比数列，且 ，则 A． B． C． D． 7．设抛物线 的焦点为 F，准线为 ，P 为抛物线上一点， ，A 为垂足，如 果直线 AF 的斜率为 ，那么 A． B． C． D．4 8．若 ，且 ，则 A． B． C． D． 9．已知三棱锥 中， ， ， ，若该三 棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为 A． B． C． D． 10．在 中，已知 为线段 AB 上的一点，且 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 11．已知函数 是 上的偶函数，且在区间 上是单调递增的， 、 、 是锐角三角形 的三个内角，则下列不等式中一定成立的是 A． B． C． D． 12．已知定义在 R 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数， ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 的值为______. { }na 2 2 3 4 7 64a a a a= − = − 52tan( )3 a π⋅ = 3− 3 3± 3 3 − 2y 4x= − l PA l⊥ 3 3 | |PF = 2 3 4 3 7 3 4sin cos 3 θ θ− = 3 π,π4 θ  ∈   sin(π ) cos(π )θ θ− − − = 2 3 − 2 3 4 3 − 4 3 A BCD− 5AB CD= = 2= =AC BD 3AD BC= = 3 2 π 24π 6π 6π Rt ABC∆ 90 , 3, 4,C CA CB P∠ = = = CA CBCP x y CA CB = ⋅ + ⋅     1 1 x y + 7 6 7 12 7 3 12 3 + 7 3 6 3 + ( )y f x= ( 1 1)− ， ( 1 0)− ， A B C ABC△ (sin ) (sin )f A f B> (sin ) (cos )f A f B> (cos ) (sin )f C f B> (sin ) (cos )f C f B> ( )f x '( )f x '( ) ( )f x f x< ( 2)f x + (4) 1f = ( ) xf x e< ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )4 ,e−∞ ( )4 ,e +∞ ( )2 2 2 1 04 x y aa + = > 2 2 19 3 x y− = a14．已知实数 x，y 满足不等式组 ，且 z=2x-y 的最大值为 a， 则 =______． 15．已知点 ， ，点 在圆 上，则使 的点 的个数为__________. 16．已知函数 ，若方程 有 4 个不同的实数根 ，则 的取值范围是____． 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：(共 60 分) 17．(12 分) 已知等差数列 满足： ，其前 项和为 ． （1）求数列 的通项公式 及 ； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 18．(12 分) 已知函数 . (1)求函数 的单调递增区间； (2)在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，求 的面积. 19．(12 分) 如图，在四边形 中， ， ，四边形 为矩形，且 平面 ， . （1）求证： 平面 ； （2）点 在线段 上运动，当点 在什么位置时，平面 与平面 所成锐 二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 20．(12 分) 2 0 2 5 0 2 0 x y x y y − − ≤  + − ≥  − ≤ dxx ae∫1 ( )2,0A − ( )0,4B P ( ) ( )2 2: 3 4 5C x y− + − = 90APB∠ = ° P ( ) 2 2 log ,0 2 ( ) 3 , 2 x x f x x x  < ≤=  − > ( )f x a= 1 2 3 4 1 2 3 4, , , ( )x x x x x x x x< < < 4 3 4 1 2 3 x x xx x x + + { }na 4 107, 19a a= = n nS { }na na nS 1 1 n n n b a a + = { }nb n nT 2( ) 2 3sin cos 2sin 1f x x x x= + − ( )f x ABC∆ ( ) 2,C , 24f A c π= = = ABC∆ ABCD / /AB CD 2 3BCD π∠ = ACFE CF ⊥ ABCD AD CD BC CF= = = EF ⊥ BCF M EF M MAB FCB已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆 上一点， 轴， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且 ，求 面积的最大值. 21．(12 分) 已知函数 有两个极值点 ，且 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)记 ，求 的取值范围，使得 . (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第 一题记分。 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 ，曲线 的参 数方程为 为参数 ． (1)求曲线 ， 的普通方程； (2)求曲线 上一点 P 到曲线 距离的取值范围． 23．[选修 4－5：不等式选讲] 已知 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 时， ，求 的取值范围. ( )2 2 2: 1 22 x yC aa + = > F P C PF x⊥ 2 2PF = C l C A B AB M O 2OM = AOB∆ ( ) ( )f x lnx x a x a R= + − ∈ 1 2,x x 1 2x x< 5a = ( )y f x= ( )( )4, 4f ( ) ( ) ( )1 2g a f x f x= − a ( ) 150 4 24g a ln< ≤ − 1C ))2,0[(sin3 cos π∈θ    θ= θ= y x 2C 12 2 ( 3 2 x t t y t  = − −  = ) 1C 2C 1C 2C ( ) | | | 2 | ( ).f x x a x x x a= − + − − 1a = ( ) 0f x < ( ,1)x∈ −∞ ( ) 0f x < a银川一中 2020 届高三年级第五次月考（理科）参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D D B B B A C C C B 二、填空题 13. 4 14. 6 15. 1 16. (7,8) 三、解答题 17. 解：（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，…………2 分 解得： ， …………4 分 ∴ ， ． …………6 分 （2） ， …………8 分 ∴数列 的前 项和为 …………10 分 …………12 分 18. 解（1）∵ sin2x﹣cos2x＝2sin （2x ），…2 分 令 2kπ 2x 2kπ ，k∈Z，解得 kπ x≤kπ ，k∈Z， …4 分 ∴函数 f（x）的单调递增区间为：[kπ ，kπ ]，k∈Z． …6 分 （2）∵f（A）＝2sin（2A ）＝2，∴sin（2A ）＝1， ∵A∈（0，π），2A ∈（ ， ），∴2A ，解得 A ， …8 分 { }na d 1 1 3 7 9 19 a d a d + =  + = 1a 1,d 2= = 1 2( 1) 2 1na n n= + − = − 2(1 2 1) 2n n nS n + −= = ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  { }nb n 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1nT n n       = − + − + + −      − +       1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  ( ) 22 3 2 1 3f x sinxcosx sin x= + − = 6 π− 2 π− ≤ 6 π− ≤ 2 π+ 6 π− ≤ 3 π+ 6 π− 3 π+ 6 π− 6 π− 6 π− 6 π− 11 6 π 6 2 π π− = 3 π=∵C ，c＝2， ∴由正弦定理 ，可得 a ， …10 分 ∴由余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得 6＝b2+4﹣2 ，解得 b＝1 ，（负值舍 去）， …11 分 ∴S△ABC absinC （1 ） ． …12 分 19. （Ⅰ）证明：在梯形 中，∵ ,设 ， 又∵ ,∴ ,∴ ∴ .则 . ……2 分 ∵ 平面 , 平面 ，∴ , ……4 分 而 ,∴ 平面 .∵ ,∴ 平面 . ……6 分 （Ⅱ）解：分别以直线 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 ，令 ， 则 ， ……8 分 ∴ 设 为平面 的一个法向量， 由 得 ，取 ，则 ，∵ 是平 面 的一个法向量， ……10 分 ∴ 4 π= a c sinA sinC = 32 2 6 2 2 c sinA sinC ×⋅= = = 12 2b× × × 3+ 1 2 = 1 62 = × × 3+ 2 3 3 2 2 +× = ABCD / /AB CD 1AD CD BC= = = 2 3BCD π∠ = 2AB = 2 2 2 2 cos60 3AC AB BC AB BC= + − ⋅ ⋅ ° = 2 2 2AB AC BC= + BC AC⊥ CF ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD AC CF⊥ CF BC C= AC ⊥ BCF //EF AC EF ⊥ BCF , ,CA CB CF x y z 1AD CD BC CD= = = = ( )0 3FM λ λ= ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 3,0,0 , 0,1,0 , ,0,1C A B M λ ( ) ( )3,1,0 , , 1,1AB BM λ= − = −  ( ), ,n x y z= MAB 0 0 n AB n BM  ⋅ =  ⋅ =   3 0 0 x y x y zλ − + = − + = 1x = ( )1, 3, 3n λ= − ( )1,0,0m = FCB ( ) ( )2 2 1 1cos , 1 3 3 1 3 4 n mn m n m λ λ ⋅= = = + + − × − +     ∵ ，∴当 时， 有最小值为 ， ∴点 与点 重合时，平面 与平面 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为 . ……12 分 20.解：（1）设椭圆 的焦距为 ，由题知，点 ， ， ……2 分 则有 ， ，又 ， ， ， 因此，椭圆 的标准方程为 ； ……4 分 （2）当 轴时， 位于 轴上，且 ， 由 可得 ，此时 ； ……5 分 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，与椭圆交于 ， ， 由 ，得 . ， ，从而 ……7 分 已知 ，可得 . ……8 分 . 设 到直线 的距离为 ，则 ， 0 3λ≤ ≤ 0λ = cosθ 7 7 M F MAB FCB 7 7 C ( )2 0c c > 2, 2P c  ±    2b = 2 2 2 2 2 12 c a      + = 2 2 3 4 c a ∴ = 2 2 2 22a b c c= + = + 2 8a∴ = 2 6c = C 2 2 18 2 x y+ = AB x⊥ M x OM AB⊥ 2OM = 6AB = 1 32AOBS OM AB∆ = ⋅ = AB x AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 x y y kx t  + =  = + ( )2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 8 1 4 ktx x k −∴ + = + 2 1 2 2 4 8 1 4 tx x k −= + 2 2 4 ,1 4 1 4 kt tM k k −   + +  2OM = ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 8 4 81 4 1 41 4 1 4 kt tAB k x x x x k k k  − −  = + + − = + − ×    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 16 8 2 1 1 4 k t k k − + = + + O AB d 2 2 21 td k = +. …10 分 将 代入化简得 . 令 ， 则 . 当且仅当 时取等号，此时 的面积最大，最大值为 . 综上： 的面积最大，最大值为 . ……12 分 21。解：(1) 时， ……2 分 所以，点 处的切线方程是 ； ……4 分 (2) 由己知得， ， ，且 ， ， ……6 分 因为 ， ……8 分 令 ，得 ，且 . 所以 ， ……10 分 令 则 所以 在 上单调递增， 因为 ，所以 ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 16 8 21 14 11 4AOB k t tS k kk ∆ − + = + ⋅ ++ ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) 2 2 2 22 192 4 1 1 16AOB k k S k ∆ + = + 21 16k p+ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 112 1 1192 4 1 4 1 16AOB ppk k S pk ∆ − − + +  = = + 21 1 43 3 43 3p   = − − + ≤      3p = AOB∆ 2 AOB∆ 2 5a = ( ) 5 ,lnx xf x x+ −= ( ) 1 51 2 f x x x ′ = + − ( ) ( )4 4 6, ' 4 0,f ln f= − = ( )( )4, 4f 4 6y ln= − ( ) 1 2 21 22 a x a xf x x xx − +′ = + − = 1 2 2 ax x+ = 1 2 1x x⋅ = 2 16 0a∆ = − > 4a > ( )1 1 1 1 1 2f x lnx x a x lnx x= + − = − − ( )2 2 2 2f x lnx x= − − ， 2 1 x t x = ( )2 21 4 t a t + = 1t > ( ) ( )1 2 1 2 1ln 2xg a x x t lntx t  = + − = − −    ( ) 1 2lnh t t tt = − − ( ) ( )22 2 2 2 11 2 2 1' 1 0tt th t t t t t −− += + − = = > ( )h t (1, )+∞ ( ) 154 4 24h ln= − 1 4t< ≤又因为 在 上单调递增，所以 . ……12 分 22.解：由题意， 为参数），则 ，平方相加， 即可得 ： ， ……2 分 由 为参数），消去参数，得 ： ， 即 . ……4 分 （2）设 ， 到 的距离 ， ……6 分 ∵ ，当 时，即 ， ， 当 时，即 ， . ……8 分 ∴取值范围为 . ……10 分 23.解：（1）当 时，原不等式可化为 ； ……2 分 当 时，原不等式可化为 ，即 ，显然成立， 此时解集为 ； 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时解集为空集； 当 时，原不等式可化为 ，即 ，显然不成立；此 时解集为空集； 综上，原不等式的解集为 ； ……5 分 ( )22 1 1 24 ta tt t += = + + ( ]1,4 4 5a< ≤ cos (3sin x y θ θθ =  = cos sin3 x y θ θ = = 1C 2 2 yx 19 + = 12 2 ( 3 2 x t t y t  = − −  = 2C ( )y 3 x 2= − + 3x y 2 3 0+ + = ( )P cosα,3sinα P 2C 3cosα 3sinα 2 3 d 2 + + = π2 3sin α 2 36 2  + +  = [ )α 0,2π∈ πsin α 16  + =   πα 3 = maxd 2 3= πsin α 16  + = −   4πα 3 = mind 0= 0,2 3   1a = | 1| | 2 | ( 1) 0x x x x− + − − < 1x < (1 ) (2 )( 1) 0x x x x− + − − < 2( 1) 0x − > ( ,1)−∞ 1 2x≤ < ( 1) (2 )( 1) 0x x x x− + − − < 1x < 2x ≥ ( 1) ( 2)( 1) 0x x x x− + − − < 2( 1 0)x − < ( ,1)−∞（2）当 时，因为 ，所以由 可得 ， 即 ，显然恒成立；所以 满足题意； ……7 分 当 时， ，因为 时， 显然不能成立， 所以 不满足题意； ……9 分 综上， 的取值范围是 . ……10 分 1a ≥ ( ,1)x∈ −∞ ( ) 0f x < ( ) (2 )( ) 0a x x x x a− + − − < ( )( 1) 0x a x− − > 1a ≥ 1a < 2( ), 1( ) 2( )(1 ), x a a xf x x a x x a − ≤