数学（理科）
注意事项：
I.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
2.考试结束后，只文答题卡．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
I.己知集合A = { x I x2 - x - 6 < 0｝，集合B={xlx>l｝，则A门B=
A. [3，�） B. (1,3] C. (1,3) D. (3，倒）
2.若复数z满足 Z·i=l-i ，其中i为虚数单位，则z的虚部为
A. 0 B. -1
3 .设x εR，则“ lgx ＜ 。 ” 是 “ 2z -1 < I ”的
A.充分不必要条件
C.充要条件
C. -i D . .!.;2
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.在平行四边形 ABCD 中， 4乙BAD=60°
, AB 斗， AD=3 ，且否＝3昂，则万 ·AB=
A.5 B.6 C. 7 .,... . · D. 10
5. 函数f( x) = x2 { ex - e-x ） 的大致图象为
YI . +Y
X 。 X
A ’ B ’ C
y
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体
的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A 2,r 4π ．̍ B. ̍3 3
C. 14,r 16,r ̍ D. ̍3 9
7.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯
证明，称为四色定理．其内容是： “ 任意 一 张平面地图只用四种颜色
就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色” ．用数学语言表示为
“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1,2,3,4
四个数字之 一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”．如
y
。 X
rk-;LJ '.
i 己 l I
l;ffi;I 第7题图
永州市2020年高考第一次模拟考试试卷·数学（理科）第1页（共4页）•
图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1,2,3, 4的囚
色地图符合四色定理，区域A和 区域B标记的数字丢失．若在该四色地图上随机取一点，
则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的一个是
A. 土 B. 土 c. _!_
15 10 3
8.己知数列｛a＂｝的前n项和为S”，且a1 = l, 2 S n = a,.+1an，则S10 =
D. 旦－
30
A. 100 B. 110 . C. 50 D. 55
9. 将偶函数f(x
y= g (x）的图象，则 g (x）的一
个单调递减区间为
. （－－，�） B. （一，一） C. （一，一） . . D～（主，生）
1r 7,r 1r 2 万
3 6 12 12 6 3 · 3 6
10.己知F(c, 0）为双曲线C ： 三 ＿ .i_ = 1（α＞ O,b > 0）的右焦点，若圆F: (x - c )2
+ y2 = a2 上
’
. a2 b2
恰有三个点到双曲线C的一
条渐近线的距离为主，则双曲线的离心率为2
,.. J13 A. 王 B. 亟 C. 亚.Jo
2 2 2 2
11.在正方体ABCD - A 1BP1D 1 中，E,F分别为棱BBl 'DD l的中点，G为侧面ABB,Ai内 一
个动点．若D 1GII平面AEC IF，则D IG与平面ABB I码所成角的正切值的最大值为
A 豆 B. I · C. 2 .. _ ·_,. D ‘ JS’ ·-;
5 . . . . . .
12.对于函数y =f(x），若存在勺，使f(xo ) = -i(-xo ），则称点 （xo ,f(xo ））与点 （－xo,f(-xo ))
llnx x>O 是函数f(x）的一
对
“
隐对称点
”
．若函数f(x） 斗 ’ 的图像恰好有2对
“
隐l-mx
2
-mx,x 三0
对称点
”
，则实数m的取值范围是
A. （吵 B 则 C. （＿！.月）e D. (1,-+«>)
二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分．
12x-1 �o
13.己知实数x, y满足忖 － y三0 ，则目标函数z ::3x+y的最小值为
lx+y-2s;O · ·.
14. (I+ xXI -x)5
的展开式中含x2
项的系数为
15.在平面直角坐标系x命中，点A为以0为圆心的单位圆在第一象限上一点，B(l,O),
LB OA =f，若叫单位阳时针方向旋转角α到 点 川 I ＞ ，则 cosa＝� .5 5
16. 己知直线l过抛物线C :x2 = 2py(p > 0）的焦点F，交C于A,B两点，交C的准线于点
M.若AF=FM，则J!_=IBFI
永州市 2020 年高考第 一次模拟考试试卷·数学（理科）第 2 页（共 4 页）三、解答题：本大题共6小题，共70分，轔应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17
题 ～ 第 2 1题 为必考题，每个试题 考生都必须作答 ，第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．
（ － 〉必做题：60 分 ．
17. （本 题满分 12 分〉如图，在6ABC 中，角A、B、C所对的边分别为 a、b、c ，
bcosA -asin B = 0.
(1）求ζBAC;
(2）若 AB l. AD, AC= 2.fi, CD = Js，求 AD 的长
C
B
D A
1 8. （本题满分12分〉 在等腰梯形 ABCD中， AB I !CD，ζA BC=60 。， AB = 2CD = 4，点
E为 AB 的 中点．现将今 BF£ 沿线段 EC 翻折，得四棱锥 P-AECD，且二面 角
P-EC-D为直二面角．
(1）求证： EC .lPD;
(2）求二面角P-AE--C 的余弦值．
19. （本题满分12 分〉已知椭圆 c兰＋ i=l (a>;b>O）过点(1，马，短轴 一个端 点到右焦点· a2 b2 .. . 主 • .: 2 二．＼·
的距离为2. . . －� ” ..- ’· ． V卢 r 二 ’ ,ffi .飞二 、 . ＇�. '; ••
( 1)求椭圆C的方程：
(2）设过定点M〔0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、L B ，若坐标原点。在以线段
AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．＼ .; .啡
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永州市2020年高考第 一 次模拟考试试卷·数学（理科）第3页（共4页）(3）商场为 推广此款产品，现 面向意向客户推出 “ 玩游戏，送大奖 ” 活动，客户可根据
抛硬 ．币的结果，操控机 器人在础上行进，已知硬 币出现 正、反面的概率都是 i·
方格图上标有第0格、第1格、第2格、“．．．．、第50格．机器人开始在第0格，
客户每掷 一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从
k到 k +1），若掷出反面，机器人向前移动两格〈从k到k+2），直到机器人移到
第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜
利大本营”，则可获得优惠券．设机器人移到第n格的概率为马（0 三 n 豆 50, n e N•)
试证明｛凡－ P,,_l}{l 三 n三 49,n εN•）是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买
＆
该款产品．
21. （本题满分1 2分〉己知函数 f ( x) = ex - a 1n x ( a > 0) .
(l）试求函数 f(x）的极值点的个数：
(2）若aεN•, f(x) > 0恒成立，求α的最大值．
参考数据：
X 1.6 1.7 1.74
ex 5.474 5.697
lnx I 0.410 0.531 0.554
1.8 10
6.050 22026
0.558 2.303
1. �
「 ，
’－ r霄，．句 ”；. '
（二）选考题：IO分．请考生在第22、23题中一题作答．如果多做，则按所做第计分．
22. （本题满分10分〉选修牛4：坐标系与参数方程
3x＝㜝一－t+m
在平面直角坐标系x句中，直线l的参数方程是｛
1
2
• (t＿ 为参数）在以0为极
y = 2t
点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程ρ2 = 2
’ cos 2 0 + 2sin 2 θ
(1）求曲线C的直角坐标方程：
4� I句ω 设直线l与 X 轴交于点p，与曲线C交于A, B 两点，且IABI＝子，求实数m的值
23. C本题满分10分〉选修4-5：不等式选讲
己知函数 f(x)=lx-1卜 lx+tl.
(I）求不等式 f(x) < 1的解集：
(2）若不等式 f(x)Sx2 +x+m 恒成立，求实数m的取值范围．
( -
、，
永州市 2020 年高考第一次模拟考试试卷·数学（理科）第 4 页（共 4 页）
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