数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分）
1. 数列 2，6，12，20， ，的第 6 项是
A. 42 B. 56 C. 90 D. 72
2. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设抛物线 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
4. 如图，在空间四边形 ABCD 中，设 E，F 分别是 BC，CD 的中点，则 等于
A. B. C. D.
5. 设 a，b 是非零实数，若 ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
6. 若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是
A. B. 1 C. 10 D. 12
7. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题 p 是“甲降落在指定范围”，q
是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A. B. C. D.
8. 已知 ， ， ， 成等差数列， ， ， ， ， 成等比数列，则 等于
A. B. C. D. 或
9. 方程 表示的曲线为
A. 一条线段和半个圆 B. 一条线段和一个圆
C. 一条线段和半个椭圆 D. 两条线段
10. 已知 a，b， ，且 ，则 的最大值为
A. 3 B. C. 18 D. 9
11. 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，过 的直线 l
交 C 于 A、B 两点，若 的周长为 ，则 C 的方程为A. B. C. D.
12. 已知数列 是递增的等差数列，且 ， 是函数 的两个零点．设数列
的前 n 项和为 ，若不等式 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的
取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 16.0 分）
13. 给出下列命题：
命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；
“ ”是“ ”的必要不充分条件；
命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”；
命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题．
其中所有正确命题的序号是______ ．
14. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 的右焦点 到一条渐
近线的距离为 ，则其离心率的值是________．
15. 已知函数 ，若对于任意 ，都有 成立，则实数 m 的取值范
围是____
16. 设 ， ， ，则 的最小值为______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17. 在锐角 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 ．
求角 A 的大小；
若 ， ，求 的面积．
18. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ．
求 的通项公式；
若 ，求数列 的前 n 项和 ．
19. 设函数 ．当 时，求不等式 的解集；
若 ，求 a 的取值范围．
20. 在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 ， 的距离之和为 4，设点 P 的轨迹为
C，直线 与轨迹 C 交于 A，B 两点．
求出轨迹 C 的方程；
若 ，求弦长 的值．
21.已知二次函数 、b、c 均为实常数， 的最小值是 0，函数 的
零点是 和 ，函数 满足 ，其中 ，为常数．
已知实数 、 满足 ，且 ，试比较 与 的大小关系，并说明理
由；
求证： ．答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为 ， ， ， ， ，
所以第 6 项为： ．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：由 得 ，
由 得 ，
所以“ ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ ”的非充分条件；
因为“ ”不能推出“ ”，
所以“ ”是“ ”的非必要条件．
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：抛物线 的准线为 ，
点 P 到 y 轴的距离是 4，
到准线的距离是 ，
根据抛物线的定义可知点 P 到该抛物线焦点的距离是 6
故选：B．
4.【答案】C
【解析】解：连接 AF，E，F 分别是 BC，CD 的中点，
则 ．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：A 选项不正确，因为 ， 时，不等式就不成立；
B 选项不正确，因为 ， 时，不等式就不成立；
C 选项正确，因为 ，故当 时一定有 ；
D 选项不正确，因为 ， 时，不等式就不成立；
选项正确，因为 是一个增函数，故当 时一定有 ，
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：由实数 x，y 满足约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得 ，
化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 y 轴上的截距最大，
z 有最大值：10．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：命题 p 是“甲降落在指定范围”，则 是“甲没降落在指定范围”，
q 是“乙降落在指定范围”，则 是“乙没降落在指定范围”，
命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括
“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”
或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．
所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 ．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解： ， ， ， 成等差数列，
，
， ， ， ， 成等比数列，
，
．
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：由方程 得 或 ，
方程 表示一条线段和半个圆．
故选：A．
10.【答案】B
【解析】解：由柯西不等式得：
，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
故选：B．
11.【答案】A
【解析】解： 的周长为 ，
且 的周长 ，
，
，
离心率为 ，
，解得 ，，
椭圆 C 的方程为 ．
故选 A．
12.【答案】C
【解析】解：数列 是递增的等差数列，则公差 ，
， 是函数 的两个零点，
可得 ， ，则公差 ， ，
则 ，则 ，
，
数列 单调递增，
．
要使不等式 对任意正整数 n 恒成立，
只要 ．
， ．
，即 ．
故选：C．
由 ， 结 合 公 差 ， 可 得 ， ， 可 得 ， 利 用 裂 项 法 可 求
，从而可求得 由 ，可判
断数列 单调递增，可得 的最小值，由对数不等式的解法从而可求得 a 的取值范围．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．
根据命题的否命题和原命题之间的关系判断． 利用充分条件和必要条件的定义判断．
利用特称命题的否定判断． 利用逆否命题的等价性进行判断．
【解答】
解： 根据否命题的定义可知命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，所
以 错误．
由 得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 错
误．
根据特称命题的否定是全称命题得命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均
有 ”，所以 错误．
根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若 ，则 ”的
逆否命题为真命题，所以 正确．
故答案为 ．14.【答案】2
解：双曲线 的右焦点 到一条渐近线 的距离为 ，
可得： ，
可得 ，即 ，
所以双曲线的离心率为： ．
故答案为：2．
15.【答案】
【解析解： 二次函数 的图象开口向上，
对于任意 ，都有 成立，
即 ，解得 ，
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】解： ， ， ，
则 ，
， ， ，
由基本不等式有： ，
，
，
故： ，当且仅当 时，即： ， 时，等号成立，
故 的最小值为 ．
故答案为 ．
17.【答案】解： 由 ，利用正弦定理得： ，
，
，
又 A 为锐角，
则 ；
由余弦定理得： ，即 ，，
又 ，
则 ．
18.【答案】解： 因为 ，所以 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ．
，
于 是 ，
，
由 ，得 ，
所以 ．
19.【答案】解： 当 时， ．
当 时， ，解得 ，
当 时， 恒成立，即 ，
当 时， ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ，
，
，
，
，
，
解得 或 ，
故 a 的取值范围 ．
20.【答案】解：Ⅰ设 ，由椭圆定义可知，
点 P 的轨迹 C 是以 为焦点，
长半轴为 2 的椭圆． 分
它的短半轴 ， 分，
故曲线 C 的方程为 分Ⅱ设 ， ，
其坐标满足 ，
消去 y，整理得 ， 分
设 ， ，
则 分若 ，即 分
而 ，
于是 ，
化 简 得 ， 所 以 分
分
21.【答案】解： 由二次函数 、b、c 均为实常数， 的最小值是 0 可
知， ，
又函数 的零点是 和 ，
由根与系数的关系可知， ， ，
由 可得， 或 舍去，
， ，
，
根据条件， ，
，
又 ，且 ，
；
由 知， ，
若 ，且 ，则 ，
令 ，则 ，且 ，
，亦即 ，
， ， ， ，
．
微信/支付宝扫码支付