数学试题
一、单选题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，每个小题只有一个选项符合题目要
求.
1． ，集合 ，集合 ，则集合 的真子集有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．8 个
2．命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）
A．存在 ，都有 B．对任意 ，使得
C．存在 ，使得 D．不存在 ，使得
3．若样本 的平均数是 10，方差为 2，则对于样本
，下列结论正确的是（ ）
A．平均数为 20，方差为 4 B．平均数为 11，方差为 4
C．平均数为 21，方差为 8 D．平均数为 20，方差为 8
4．双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则下
列说法不正确的是
A． B． 在区间 上是增函数
C． 是 图象的一条对称轴 D． 是 图象的一个对称中心
6．如图，已知 ，若点 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、
{1 2 3}A = ， ， { 1 1 3}B = − ，， S A B= S
x R∈ 2 0x ≥
0x R∈ 2
0 0x ≥ x R∈ 2 0x <
0x R∈ 2
0 0x < x R∈ 2 0x <
1 2 31 ,1 ,1 , ,1 nx x x x+ + + +
1 2 32 2 ,2 2 ,2 2 , ,2 2 nx x x x+ + + +
2 2
18 4
x y− =
4 5
5
2 15
5
( ) cos 2 4f x x
π = − 8
π ( )g x
( )
1
6 2g
π =
( )g x 5 7,8 8
π π
2x
π= ( )g x ,08
π −
( )g x
OAB∆ C ( )2 , ,AC CB OC OA OB Rλ µ λ µ= = + ∈ 1 1
λ µ+ =
1
3
2
3
2
9
9
2春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立
春、春分日影长之和为 31．5 尺，前九个节气日影长之和为 85．5 尺，则芒种日影长为（ ）
A．1．5 尺 B．2．5 尺 C．3．5 尺 D．4．5 尺
8．设 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中
点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
10．已知等差数列 的公差不为 0， 中的部分项 成等比数列．若
， ， ，则 （）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，第二象限的点
在椭圆 上，且 ，若椭圆 的离心率为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是定义在 上的奇函数，记 的导函数为 ，当 时，满足
，若存在 ，使不等式 成立，则
x y 2 2 4
1
x y
x
+ +
+
[ ]4,12 [ ]4,11
[ ]2,6 [ ]1,5
{ }na { }na 1 2 3
, ,... ...nk k k ka a a a
1 1k = 2 9k = 3 49k = 2019k =
20182 5 1× − 20192 5 1× − 20202 5 1× − 20212 5 1× −
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1F 2F M
C 2OM OF= C 5
3 2MF
4− 1
4
− 2− 1
2
−
( )f x R ( )f x ( )'f x 0x ≥
( ) ( )' 0f x f x− > x∈R ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ + 实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题:本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.
13．一名信息员维护甲乙两公司的 5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互
独立，它们需要维护的概率分别为 0.4 和 0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为
________
14．若数列 的通项公式 ，则 ________.
15．如图,在平面直角坐标系 xoy 中,将直线 y 与直线 x＝1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋
转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥 π（ ）2dx 据此类比：将曲线 y＝
x2（x≥0）与直线 y＝2 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋转体的体
积 V＝_____．
16．在棱长为 1 的正方体 中，点 是对角线 上的动点（点 与
不重合），则下列结论正确的是____.
①存在点 ，使得平面 平面 ；
②存在点 ，使得 平面 ；
③ 的面积不可能等于 ；
a 11 e
− 11 e
+ 1 e+ e
{ }na ( 1) (3 2)n
na n= − − 1 2 10a a a+ +…+ =
2
x=
1
0
= ∫ 2
x 3 1
0|12 12x
π π= =
1 1 1 1ABCD A B C D− M 1AC M
1A C、
M 1A DM ⊥ 1BC D
M DM / / 1 1B CD
1A DM∆ 3
6④若 分别是 在平面 与平面 的正投影的面积，则存在点 ，
使得 .
三、解答题: 本大题共 6 题，满分 70 分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步一骤.
17．在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
.
（1）求角 B 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
18．如图，在多面体 中，平面 平面 .四边形 为正方形，
四边形 为梯形，且 ， 是边长为 1 的等边三角形，
M 为线段 中点， .
(1)求证： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)线段 上是否存在点 N，使得直线 平面 ？若存在，求 的值；若不存
在，请说明理由.
19．第 7 届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天，共
设置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项，329 个小项.共有来自 100 多个国家的近万名现
役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的
宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉
市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参
与度极高，现从大批参与者中随机抽取 200 名幸运参与者，他们得分（满分 100 分）数据，
统计结果如下：
组别
频数 5 30 40 50 45 20 10
1 2,S S 1A DM∆ 1 1 1 1A B C D 1 1BB C C M
1 2S S=
ABC∆
23sin 2cos 02
A CB
+− =
2sin 2sin sinB A C= ABC∆ 4 3 ABC∆
ABCDEF ADEF ⊥ ABCD ADEF
ABCD / /AD BC ABD∆
BD 3BC =
AF BD⊥
MF CDE
BD / /CE AFN BN
BD
[30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设 ， 分别为这 200
人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求 ， 的值（ ，
的值四舍五入取整数），并计算 ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市
民制定如下奖励方案：得分低于 的可以获得 1 次抽奖机会，得分不低于 的可获得 2 次
抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为 15 元的纪念品 A 的概率为 ，抽中价值为 30 元的
纪念品 B 的概率为 .现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记 Y 为他参
加活动获得纪念品的总价值，求 Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金
额.
（参考数据： ； ；
.）
20．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）是否存在斜率为 的直线 与椭圆 相交于 , 两点，使得 ？若存
在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
21．已知函数 .
（1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）当 时，若实数 满足 ，求证： .
22．如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 为圆心、半径为 2 的圆的一
个交点为 ，曲线 是劣弧 ，曲线 是优弧 .
µ σ
µ σ µ σ
(51 93)P X< <
µ µ
2
3
1
3
( ) 0.6827P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈ ( 2 2 ) 0.9545P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈
( 3 3 ) 0.9973P Xµ δ µ δ− < ≤ + ≈
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )1 2,0F − ( )2 2,0F
151, 3P
− −
C
C
1− l C M N 1 1F M F N=
( )1( ) cos 1 ( )xf x e x ax a R+= + + − ∈
( )f x ( )1,− +∞ a
1a = − 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2( ) ( ) 2f x f x+ = 1 2 0x x+ <
(2,0)A
2, 3B
π
1M OB 2M OB（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 为曲线 上任意一点，点 在曲线 上，若
，求 的值.
23．已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）证明： .
1M
( )1,P ρ θ 1M 2, 3Q
πρ θ − 2M
| | | | 6OP OQ+ = θ
( ) ( )42 2f x x m x mm
= − + + >
4m = ( ) 5f x >
( ) ( )
4 2 2 22f x m m
+ ≥ +−数学试题参考答案
1．BCDCDD BADADA
13．0.88．14．15 . 15． 16．①②④
17．（1）解：
∵
∴
，得：
∵ ，∴ ，∴ ，
（2）由（1）知 ，所以ΔABC 的面积为 ，∴
因为 ，由正弦定理可得 ，
由余弦定理
∴ ，∴ ,所以ΔABC 的周长为
18．解:(1)证明：因为 为正方形，所以 ．
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ．所以 ．
(2)取 AD 中点 O,EF 中点 K，连接 OB，OK.于是在△ABD 中， ，在正方 ADEF
中 ，又平面 平面 ，故 平面 ，进而 ，
即 两两垂直．分别以 为 x 轴，y 轴,z 轴建立空间直角坐标系（如
图）．
于是， ， , , ,
所以
2π
23sin 2cos 3sin (1 cos( ))2
A CB B A C
+− = − + +
A B C π+ + =
3sin (1 cos( )) 3sin (1 cos )B A C B B− + + = − −
3sin cos 1 2sin 1 06B B B
π = + − = + − =
1sin 6 2B
π + =
(0, )B π∈ 7,6 6 6B
π π π + ∈
5
6 6B
π π+ = 2
3B
π=
2
3B
π= 1 2 3sin 4 32 3 4ac ac
π = = 16ac =
2sin 2sin sinB A C= 2 2 32b ac= = 4 2b =
2 2 2 222 cos ( ) 323b a c ac a c ac
π= + − ⋅ = + − =
2( ) 32 48a c ac+ = + = 4 3a c+ = 4 2 4 3+
ADEF AF AD⊥
ADEF ⊥ ABCD ADEF∩ ABCD AD=
AF ⊥ ABCD AF BD⊥
OB OD⊥
OK OD⊥ ADEF ⊥ ABCD OB ⊥ AFEF 0B OK⊥
OB, OD, OK , ,OB OD OK
3 ,0,02B
10, ,02D
3 ,3,02C
1E 0, ,12
⋅
3 1 1M , ,0 ,F 0, ,14 4 2
−
3 3 3 5, ,1 , , ,0 , (0,0,1)4 4 2 2MF CD DE
= − = − =
设平面 的一个法向量为 ，则 即 令
，则 ，则 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
(3) 要使直线 平面 ，只需 ，
设 ,则 ,
, ，所以
,
又 ，由 得 ，解得
所以线段 BD 上存在点 N,使得直线 平面 AFN，且 ．
19．解：（1）由已知频数表得：
，
，
由 ，则 ，而 ，所以 ，
则 X 服从正态分布 ，所以
；
（2）显然， ，
CDE ( , , )n x y z= 0
0
CD n
DE n
⋅ = ⋅ =
3 5 02 2
0
x y
z
− ⋅ − ⋅ =
=
5x = − 3y = ( 5, 3,0)n = −
MF CDE θ | | 3sin | cos , | 14| || |
MF nMF n
MF n
θ ⋅= < > = =
/ /CE AFN AN / /CD
, [0,1]BN BDλ λ= ∈ 3 3 1, , , ,02 2 2n n nx y z λ − = −
3 3 1, , 02 2 2n n nx y zλ λ= − = = 3 3 1, ,02 2 2N λ λ −
3 3 1 1, ,02 2 2 2AN λ λ = − +
3 5( , ,0)2 2CD = − − / /AN CD
3 3 1 1
2 2 2 2
53
22
λ λ− +
=
−−
2= [0,1]3
λ ∈
/ /CE 2= 3
BN
BD
5 30 40 50 45 20( ) 35 45 55 65 75 85200 200 200 200 200 200E X = × + × + × + × + × + × +
1095 65200
× =
2 2 2 2 2( ) (35 65) 0.025 (45 65) 0.15 (55 65) 0.2 (65 65) 0.25 (75 65) 0.225D X = − × + − × + − × + − × + − ×
2 2(85 65) 0.1 (95 65) 0.05 210+ − × + − × =
2196 225σ< < 14 15σ< < 214.5 210.5 210= > 14σ ≈
(65,14)N
( 2 2 ) ( )(51 93) ( 2 ) 2
P X P XP X P X
µ σ µ σ µ σ µ σµ σ µ σ − < < + + − < < +< < = − < < + =
0.9545 0.6827 0.81862
+= =
( ) ( ) 0.5P X P Xµ µ< = ≥ =所以所有 Y 的取值为 15，30，45，60，
， ，
， ，
所以 Y 的分布列为：
Y 15 30 45 60
P
所以 ，
需要的总金额为： .
20．解:（1）因为椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
所以 .由椭圆定义可得
,
解得 ,所以 ,所以椭圆 的标准方程为
（2）假设存在满足条件的直线 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ，即
， ，
解得 ,设 ， ，则 , ,
由于 ，设线段 的中点为 ，则 ，
所以 又 ，所以 ，解得 .
当 时，不满足 .
所以不存在满足条件的直线 .
21.解:（1） ,由 在 上单调递增，
1 2 1( 15) 2 3 3P Y = = × = 1 1 1 2 2 7( 30) 2 3 2 3 3 18P Y = = × + × × =
1 2 1 1 1 2 2( 45) 2 3 3 2 3 3 9P Y = = × × + × × = 1 1 1 1( 60) 2 3 3 18P Y = = × × =
1
3
7
18
2
9
1
18
1 7 2 1( ) 15 30 45 60 303 18 9 18E Y = × + × + × + × =
200 30 6000× =
C ( )1 2,0F − ( )2 2,0F
2c =
2 2
2 215 15 24 962 ( 1 2) ( 1 2) 2 63 3 9 9a
−= − + + + − − + − = + =
6a = 2 2 2 6 4 2b a c= − = − = C
2 2
16 2
x y+ =
l l y x t= − +
2 2
16 2
x y
y x t
+ =
= − +
2 23( ) 6 0x x t+ − + − =
( )2 24 6 3 6 0x tx t− + − = ( )2 2 2( 6 ) 4 4 3 6 96 12 0t t t∆ = − − × × − = − >
2 2 2 2t− < < ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2
3
2
tx x+ = 2
1 2
3 6
4
tx x
−=
1 1F M F N= MN E 1F E MN⊥
1
1 1F E
MN
K K
= − = 3 ,4 4
t tE
1
4 13 24
F E
t
K t
= =
+
4t = −
4t = − 2 2 2 2t− < <
l
( )1( ) sin 1xf x e x a+′ = − + − ( )f x ( )1,− +∞故当 时， 恒成立,即
设 ， ，
∵ ，∴ ,∴ ，即 在
上单调递增，故 ,∴ ；
（2）当 时， ，
,∴ 在 上单调递增，
又∵ 且 ，故
要证 ，只需证 ,即证 ，
只需证 ,即证
令 ，
令
∴ 在 上单调递增
∴ ，故 在 上单调递减，
∴ ，故原不等式成立.
22．解：（1）设以点 为圆心、半径为 2 的圆上任意一点 ，
所以该圆的极坐标方程为 ，
则 的方程为 ；
（2）由点 为曲线 上任意一点，则 ，
1x > − ( )1 sin 1 0xe x a+ − + − ≥ ( )1 sin 1xa e x+≤ − +
( ) ( )( )1 sin 1 1xg x e x x+= − + > − ( ) ( )1 cos 1xg x e x+′ = − +
1x > − ( )1 1,cos 1 1xe x+ > + ≤ ( ) 0g x¢ > ( )g x ( )1,− +∞
( ) ( )1 1g x g> − = 1a ≤
1a = − ( ) ( )1 cos 1xf x e x x+= + + +
( ) ( )1 sin 1 1 0xf x e x+′ = − + + > ( )f x R
( )1 1f − = ( ) ( )1 2 2f x f x+ = 1 21x x< − <
1 2 0x x+ < 2 1x x< − ( ) ( )2 1f x f x< −
( ) ( )1 12 f x f x− < − ( ) ( )1 1 2 0f x f x+ − − >
( ) ( ) ( ) 2h x f x f x= + − −
( )h x′ ( )( ) ( )( )1 1sin 1 1 sin 1 1x xe x e x+ −= − + + + − + − −
1 1 2cos1 sinx xe e x+ −= − − ⋅
( ) 1 1 2cos1 sinx xx e e xϕ + −= − − ⋅
( ) 1 1 2cos1 cos 2 2cos1 cos 0x xx e e x e xϕ + −′ = + − ⋅ ≥ − ⋅ >
( )xϕ ( ), 1−∞ −
( ) ( ) 21 1 sin 2 0x eϕ ϕ< − = − − < ( )h x ( ), 1−∞ −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0h x h f> − = − − =
(2,0)A ( , )ρ θ
4cosρ θ=
1M 4cos 3 2
π πρ θ θ = ≤ ≤
( )1,P ρ θ 1M 1 14cos 3 2
π πρ θ θ = ≤ ≤ 点 在曲线 上，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
即
， 因为 ，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
23．解:（1）依题意， ；
当 时，原式化为 ，解得 ；
当 时，原式化为 ，解得 ，故 ；
当 时，原式化为 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为 或 .
（2）依题意， ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
2, 3Q
πρ θ − 2M 2 4cos 3 2 3 3
π π π πρ θ θ = − − ≤ − ≤
2
24cos 3 6 3
π π πρ θ θ = − − ≤ ≤
1 2| | ,| |OP OQρ ρ= = 1 2| | | |OP OQ ρ ρ+ = +
| | | | 4cos 4cos 3OP OQ
πθ θ + = + −
4 3sin 3
πθ = + 3 2
π πθ≤ ≤ 2
6 3
π πθ− ≤ ≤
3 2
π πθ≤ ≤
| | | | 6OP OQ+ = 4 3sin 63
πθ + =
3sin 3 2
πθ + = 3
πθ =
4 2 1 5x x− + + >
2
1x < − 4 2 1 5x x− − − > 2
3x < −
1 42 x− ≤ ≤ 4 2 1 5x x− + + > 0x > 0 4x< ≤
4x > 4 2 1 5x x− + + > 8
3x > 4x >
( ) 5f x > 2{ | 3x x < − 0}x >
( )
4 23 ,
4 2,
43 ,
x m xm m
f x x m x mm m
x m x mm
− + − < −
= + + − ≤ ≤
− + >
( )min
2 2f mm mf x − = +
=
( ) ( ) ( )
4 2 4
2 2mm m mf x m m
+ ≥ + +− −
2 2 2 22 2 2 2 22 2m mm m m m
= + + − = − + + ≥ +− −
22 2m m
− = − 2 2m = +
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