理科数学试题 第 1 页 共 14 页
衡阳市八中 2020 届高三第六次月考试题
理科数学
考试时量：120 分钟 试卷满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．设集合 ，则
A． B． C． D．
2. 设 为虚数单位，若 是纯虚数，则
A． B． C．1 D．
3. 已知某超市 2019 年 12 个月的收入与支出数据的折线图如图所示：
根据该折线图可知，下列说法错误的是
A．该超市 2019 年的 12 个月中的 7 月份的收益最高
B．该超市 2019 年的 12 个月中的 4 月份的收益最低
C．该超市 2019 年 1~6 月份的总收益低于 2019 年 7~12 月份的总收益
D．该超市 2019 年 7~12 月份的总收益比 2019 年 1~6 月份的总收益增长了 90 万元
4．已知 ，则
A． B． C． D．
{ } { }2
2| log (2 ) , | 3 2 0A x y x B x x x= = - = - + < AC B =
( ,1)−∞ ( ,1]−∞ (2, )+∞ [2, )+∞
i ( )2
a iz a Ri
−= ∈+ a =
1
2
1
2
− 1−
3sin( )3 2 2
π α− = − 2020cos( )3
π α+ =
2
3
2
3− 1
2
1
2
−理科数学试题 第 2 页 共 14 页
5. 已知 ， 满足 ，则
A． B． C． D．
6. 函数 图象的大致形状是
A B C D
7.公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯
前面 1000 米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始
后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米，当阿基里斯跑完下一个 100 米时，
乌龟先他 10 米，当阿基里斯跑完下一个 10 米时，乌龟先他 1 米，……所以，阿基里斯永远
追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为 米时，乌龟爬行的总距
离为
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
8.已知函数 ，且 在
上单调.则下列说法正确的是
A． B．
C．函数 在 上单调递增 D．函数 的图象关于点 对称
9.在 中， ，满足 ，则 的面积的最大值为
A. B. 2 C. D.
10．已知双曲线 C： ， 分别为其左、右焦点， 为坐标原点，
若点 关于渐近线的对称点恰好落在以 为圆心， 为半径的圆上，则 C 的离心率是
A． B． C．2 D．
1
2
1 2
1ln ,2x x e-
= = 3x 3
3lnxe x- =
1 2 3x x x< < 1 3 2x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< <
2( ) 1 sin1 xf x xe
= − +
210-
410 1
90
− 510 1
900
− 510 9
90
− 410 9
900
−
( ) 2sin( )( 0,0 ), ( ) 2, ( ) 08 2f x x f f
π πω ϕ ω ϕ π= + > < < = = ( )f x
(0, )π
1
2
ω = 6 2( )8 2f
π −− =
( )f x [ , ]2
ππ− − ( )f x 3( ,0)4
π
AOB∆ OA a OB b= = ， | | 2a b a b⋅ = − = AOB∆
3 2 3 2 2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2,F F O
2F 1F 1OF
2 3 3理科数学试题 第 3 页 共 14 页
11. 在正方体 中， ， 分别为 ， 上的动点，且满足 ，
则下列 4 个命题中：
①存在 ， 某一位置，使 ； ② 的面积为定值；
③当 时，直线 与直线 一定异面；
④无论 ， 运动到何位置，均有 . 其中所有正确命题的序号是
A. ①②④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④
12．若函数 在区间 内有两个不同的零点，则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上）
13．若 的展开式中 的系数为 ，则实数 __ __．
14．在菱形 中， ，将这个菱形沿对角线 折起，使得平面
平
面 ，若此时三棱锥 的外接球的表面积为 ，则 的长为 ．
15.已知数列 满足 ， ， ，则(1) ，
(2) .
16．如图，衡阳市有相交于点 的一条东西走向的公路 与一条南北走向的公路 ，有一
商城 的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为 2，
短半轴长为 1(单位:千米). 根据市民建议，欲新建一条公路 ，点 分别在公路 上，
且要求 与椭圆形商城 相切，当公路 长最短时， 的长为________千米.
的
1 1 1 1ABCD A B C D− P Q 1AD 1B C 1AP B Q=
P Q AB PQ∥ BPQ
0PA > 1PB AQ
P Q BC PQ⊥
1
2( ) 2 log ( 0)x xf x e x a a−= + − > (0, 2) a
2( 2, 2 )
e
(0, 2] 2
2( 2, 2 )
e+ 3 4
2 4(2 , 2 )
e+
2 51( )ax
x
+ 5x 80− a =
ABCD 060DAB∠ = BD DAB ⊥
BDC A BCD− 5π AB
{ }na 1 1a = 1 3 5n na a n++ = + *n N∈ 2 1na − =
2
1
1
1( 1) i i
n
i
i
aa+
=
+− =∑
O l m
A
PQ ,P Q ,l m
PQ A PQ OQ理科数学试题 第 4 页 共 14 页
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（一）必考题：60 分．
17．(本小题满分 12 分) 已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（1）求角 B 的值；
（2）若△ABC 的面积为 ，设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值．
18．(本小题满分 12 分) 已知正方形 ABCD，E，F 分别为 AB，CD 的中点，将△ADE 沿 DE
折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角 A-DE-C 的大小为 .
（1）证明：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上；
（2）求角 的正弦值.
19．(本小题满分 12 分) 如图，已知椭圆 的长轴 长为 4，
过椭圆的右焦点为 F 作斜率为 的直线交椭圆于 B，C 两点，直线 的斜率
之积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 ，直线 分别与 相交于
两点，设 为线段 的中点，求证：
l
m
Q
O
P
CB
A
B C
E
D
A
D
F
E F
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
A C A Ca b a+ =
3 3
(0 )θ θ π< <
θ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b+ = > > 1 2A A
( 0)k k ¹ 1 2,BA BA
3
4-
C
: 4l x = 1 1,A B AC l
,M N E MN BC EF^
O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B理科数学试题 第 5 页 共 14 页
20．(本小题满分 12 分)已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在区间 上的值域；
（2）对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，
网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消
费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表
示 2015 年，“x=2”表示 2016 年，依次类推；y 表示人数)：
x 1 2 3 4 5
y(万人) 20 50 100 150 180
(1)试根据表中的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数
能超过 300 万人；
(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛
掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购
者可获得免费购物券 500 元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券
200 元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2
格、…、第 20 格。遥控车开始在第 0 格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。
若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从 到 ）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从
到 ），直到遥控车移到第 19 格胜利大本营）或第 20 格（失败大本营）时，游戏结束。
设遥控车移到第 格的概率为 ，试证明 是等比数列，并求网购者
参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。
附：在线性回归方程 中， .
( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax
π= − − ∈+
1a = ( )f x [ , ]π π−
1 20 x x π< < <
2 1
2 1( ) ( ) 2 2x x
f x f x ae e
π− > − −− a
1
2
k 1k + k
2k +
(1 19)n n≤ ≤ nP { }1n nP P −−
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑理科数学试题 第 6 页 共 14 页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22. (本小题满分 10 分) [选修 4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （t 为参数），在以
为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 ，
直线 与曲线 C 交于 A、B 两点．
（1）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求 的值．
23. (本小题满分 10 分) [选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；；
（2）证明： ．
2020 届衡阳市八中高三第六次月考理科数学
参考答案
xOy 1 3P（ ，） l 1
3 2
x t
y t
= +
= +
O x 2sin 16cos 0ρ θ θ− =
l
l
1 1
PA PB
+
( ) 1 ( 1)f x x m x mm
= − + + >
2m = ( ) 3f x >
1( ) 3( 1)f x m m
+ ≥−理科数学试题 第 7 页 共 14 页
考试时量：120 分钟 试卷满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D D A C B C A C B D
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 把答案填在答题卡中的横线上）
13． __ -2 __． 14． ．
15. (1) ， (2) .
16． _ _
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（一）必考题：60 分．
17．(本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
．
（1）求角 B 的值；
（2）若△ABC 的面积为 ，设 D 为边 AC 的中点，求线段 BD 长的最小值．
【详解】(1)由 ，得 ，
即 ，即 .
由正弦定理得 ，因 ，
所以 ，则 ，
所以 ， 所以 ，即 .
3
2 1na − = 3 2n −
2
1
1
1( 1) i i
n
i
i
aa+
=
+− =∑ 29 33
2 2
n n− −
3
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
A C A Ca b a+ =
3 3
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
A C A Ca b a+ = sin ( sin 2 cos ) cos cos2 2 2 2 2
A C A A Ca b a+ =
(cos cos sin sin ) 2 sin cos2 2 2 2 2 2
A C A C A Aa b− = cos sin2
A Ca b A
+ =
sin cos sin sin2
A CA B A
+ = 0 ,sin 0,sin 02
BA Aπ< < ≠ ≠
cos sin2
A C A
+ = cos sin 2sin cos2 2 2
B B BB= =
1cos (0 )2 2 2 2
B B π= < <
2 3
B π= 2
3B
π=理科数学试题 第 8 页 共 14 页
(2)由△ABC 的面积为 ，即 ，得 .
因 为 D 为 边 AC 的 中 点 ， 所 以 ， 所 以
，
即 ，
当且仅当 时取“=”，所以 ，即线段 BD 长的最小值为 .
18．(本小题满分 12 分) 已知正方形 ABCD，E，F 分别为 AB，CD 的中点，将△ADE 沿 DE
折起，使△ACD 为等边三角形，如图所示，记二面角 A-DE-C 的大小为 .
（1）证明：点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上；
（2）求角 的正弦值.
【详解】(1)证明：过点 A 作 AG⊥平面 BCDE，垂足为 G，连接 GC，GD.
因为△ACD 为等边三角形，所以 AC=AD，所以点 G 在 CD 的垂直平分线上.
又因为 EF 是 CD 的垂直平线，所以点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上.
另证：过点 A 作 AG⊥EF，再证 AG⊥CD，从而证得 AG⊥平面 BCDE，
即点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上
(2) 解：以 G 为坐标原点，GA 所在直线为 z 轴，GF 所在直线为 y 轴，过点 G 作平行于 DC
的直线为 x 轴建立空间直角坐标系.设正方形 ABCD 的边长为 2a，连接 AF，
则 AF= a，AE= a，EF=2 a.
所以
设平面 ADE 的一个法向量为 m=(x，y，z)，则 ，
CB
A
B C
E
D
A
D
F
E F
3 3 1 sin 3 32 ac B = 12ac =
1 ( )2BD BA BC = +
2 2 21 ( 2 )4BD BA BC BA BC
= + +
2 2 21 1 1( 2 cos ) (2 ) 34 4 4BD c a ac B ac ac ac = + + ≥ − = =
2 3a c= = 3BD ≥ 3
(0 )θ θ π< <
θ
3
3 3 3(0,0,0), (0,0, ), ( , ,0), ( , ,0), (0, ,0)2 2 2 2
aG A a C a a D a a E- -
3 3 02 2
2 0
m AD ax ay az
m DE ax ay
ìïï = + - =ïïíïïï = + =ïî
G
y
z
x
A
D
E
CB
F理科数学试题 第 9 页 共 14 页
取 y=1，得 m= ，又平面 DEC 的一个法向量 n=(0，0，1)
所以 ，即 .
19．(本小题满分 12 分) 如图，已知椭圆 的长轴 长为 4，
过椭圆的右焦点为 F 作斜率为 的直线交椭圆于 B，C 两点，直线 的斜率
之积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 ，直线 分别与 相交于 两点，设 为线段 的中
点，求证：
【详解】(1)设 ，
因点 B 在椭圆上，所以 ，故
又 ， 所以 ，即
因 所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 BC 的方程为 ，
由 ，得 ，
则 .
直线 的方程为 ，令 ，得 ；
3( 2,1, )3- -
1cos 4
m n
m nq = = 15sin 4q =
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b+ = > > 1 2A A
( 0)k k ¹ 1 2,BA BA
3
4-
C
: 4l x = 1 1,A B AC l ,M N E MN
BC EF^
1 1 2 2( , ), ( , )B x y C x y
2 2
1 1
2 2 1x y
a b+ =
2
2 2 2
1 12 ( )by a xa= -
1 2( ,0), ( ,0)A a A a- 1 2
2
1 2
2
1 1
,BA BA
y y bk k x a x a a= =-+ -
2
2
3 ,4
b
a =
1 2 4,A A = 2a = 3b =
C
2 2
14 3
x y
+ =
( 1)y k x= -
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
ì = -ïïïïíï + =ïïïî
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ - + - =
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
-+ = =+ +
1A B 1
1
( 2)2
yy xx= ++
4x = 1
1
6
2M
yy x= +
O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B理科数学试题 第 10 页 共 14 页
同理 ；
所以 ，
即点 ，又 ，所以 ，所以 .
20．(本小题满分 12 分)已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在区间 上的值域；
（2）对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【详解】(1) 当 时， ，则
令 ，则 .
当 时，
当 时， ，得 ，解得
当 时， ，得 ，解得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故
即 ， 在 上单调递减，
所以
所以函数 在区间 上的值域为 .
(2)因为 ，故
可化为
即函数 在区间 上为增函数，
2
2
6
2N
yy x= +
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 3 ( ) 12 33( )2 2 2 2( ) 4
M N
E
y y y y kx x k x x ky x x x x x x k
+ + + -= = + = =-+ + + + +
3(4, )E k- (1,0)F
3
13EF BC
kk k k
-
= =- BC EF^
( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax
π= − − ∈+
1a = ( )f x [ , ]π π−
1 20 x x π< < <
2 1
2 1( ) ( ) 2 2x x
f x f x ae e
π− > − −− a
1a = ( ) e sin 2( 2)xf x xx
π= − −+ ( ) e sin c 1( os )2
xf x x xx
π′ = + − −+
( ) sin cos 12g x xx x
π++= − − ( ) 1 cos sin 1 2sin( )4g x x x x
π′ = + − = − −
xπ π− ≤ ≤ 5 3
4 4 4x
π π π− ≤ − ≤
( ) 0g x′ ≤ 2sin( )4 2x
π− ≥ 3
4 4 4x
π π π≤ − ≤
2 x
π π≤ ≤
( ) 0g x′ ≥ 2sin( )4 2x
π− ≤ 5
4 4 4x
π π π− ≤ − ≤
2x
ππ− ≤ ≤
( )g x , 2
ππ − ,2
π π
( ) ( ) 02g x g
π≤ =
( ) 0f x′ ≤ ( )f x [ ],π π−
min max
( 4) (3 4)( ) ( ) , ( ) ( ) ,2 2
e ef x f f x f
π ππ ππ π
−− += = = − =−
( )f x [ , ]π π− ( 4) (3 4),2 2
e eπ ππ π − − +−
1 20 x x π< < <
2 1
2 1( ) ( ) 2 2x x
f x f x ae e
π− > − −−
2 1
2 1( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )2 2
x xf x a e f x a e
π π− − − > − − −
( ) ( ) ( 2 ) ( sin )2
x xG x f x a e e ax x a
π= − − − = + − (0, )π理科数学试题 第 11 页 共 14 页
所以当 时， 即 恒成立.
①当 时， ；
②当 时， ，
令 ，则 .
当 时， ，
当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递减，故 ，所以 .
综上，实数 的取值范围是 .
21. (本小题满分 12 分) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，
网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消
费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据(其中“x=1”表
示 2015 年，“x=2”表示 2016 年，依次类推；y 表示人数)：
x 1 2 3 4 5
y(万人) 20 50 100 150 180
(1)试根据表中的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数
能超过 300 万人；
(2)该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛
掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购
者可获得免费购物券 500 元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券
200 元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2
格、…、第 20 格。遥控车开始在第 0 格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次。
若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从 到 ）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从
到 ），直到遥控车移到第 19 格胜利大本营）或第 20 格（失败大本营）时，游戏结束。
设遥控车移到第 格的概率为 ，试证明 是等比数列，并求网购者
参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值。
附：在线性回归方程 中， .
[ ]0,x π∈ ( ) ( sin cos ) 0xG x e ax x x′ = + + ≥ sin cos 0ax x x+ + ≥
0x = a R∈
0 x π< ≤ sin cosx xa x
+− ≤
sin cos( ) x xh x x
+= 2
( 1)cos ( 1)sin( ) x x x xh x x
− − +′ =
0 1x< ≤ ( 1)cos 0,( 1)sin 0, ( ) 0x x x x h x′− < + > ∴ <
1 2x
π≤ ≤ ( ) 0h x′ <
2 x
π π< ≤ ( ) 0h x′ <
( )h x [ ]0,π min
1( ) ( )h x h π π= = − 1a π≥
a 1[ , )π +∞
1
2
k 1k + k
2k +
(1 19)n n≤ ≤ nP { }1n nP P −−
ˆˆ ˆy bx a= + 1
2 2
1
ˆ ˆˆ,
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑理科数学试题 第 12 页 共 14 页
(1)
故 从而
所以所求线性回归方程为 ，
令 ，解得 .
故预计到 2022 年该公司的网购人数能超过 300 万人
（3）遥控车开始在第 0 格为必然事件， ，第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一
格，其概率为 ,即 。遥控车移到第 n（ ）格的情况是下列两种，而且也只
有两种。
①遥控车先到第 格，又掷出反面，其概率为
②遥控车先到第 格，又掷出正面，其概率为
所以 ，
当 时，数列 是公比为 的等比数列
以上各式相加，得
（ ）， 获胜的概率
失败的概率
设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为 元， 或
X 的期望
5 5
2
1 1
3, 100, 1920, 55,i i i
i i
x y x y x
= =
= = = =∑ ∑
1920 5 3 100ˆ 42,55 5 9b
− × ×= =− × ˆ 100 42 3 26,a = − × = −
ˆ 42 26y x= −
*42 26 300,x x N− > ∈ 8x ≥
0 1P =
1
2 1
1
2P = 2 19n
2n − 2
1
2 nP −
1n − 1
1
2 nP −
2 1
1 1
2 2n nnP P P− −= + 1 1 2
1 ( )2n n n nP P P P− − −∴ − = − −
∴ 1 19n 1{ }n nP P −− 1
2
−
2 3
1 2 1 3 2 1
1 1 1 11 , ( ) , ( ) , ( )2 2 2 2
n
n nP P P P P P P −∴ − = − − = − − = − ⋅⋅⋅ − = −
2 31 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
n
nP − = − + − + − +⋅⋅⋅+ − = 1 1( ) 1 ( )3 2
n − − −
12 11 ( )3 2
n
nP + ∴ = − − 0,1,2, ,19n = ⋅⋅⋅ ∴ 20
19
2 11 ( )3 2P = − −
19
20 18
1 1 112 3 2P P = = + （ ）
∴ X 200X = 500
∴ 20 19 192 1 1 1 1500 1 ( ) 200 1 ( ) 100 4 ( )3 2 3 2 2EX = × − + × + = − 理科数学试题 第 13 页 共 14 页
参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为 ，约 400 元.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22. (本小题满分 10 分) [选修 4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （t 为参数），在以
为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程 ，
直线 与曲线 C 交于 A、B 两点．
（1）求直线 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（2）求 的值．
【解析】（1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），
消去参数，可得直线 l 的普通方程 ，
曲线 C 的极坐标方程为 ，即 ，
曲线 C 的直角坐标方程为 ，
（2）直线的参数方程改写为 （t 为参数），
代入 ，
．
23. (本小题满分 10 分) [选修 4－5：不等式选讲]
已知函数 ．
∴ 191100 4 ( )2
−
xOy 1 3P（ ，） l 1
3 2
x t
y t
= +
= +
O x 2sin 16cos 0ρ θ θ− =
l
l
1 1
PA PB
+
1
3 2
x t
y t
= +
= +
2 1y x= +
2sin 16cos 0ρ θ θ− = 2 2sin 16 cos 0ρ θ ρ θ− =
2 16y x=
51 5
2 53 5
x t
y t
= +
= +
2 2
1 2 1 2
4 4 5 3516 7 0 55 5 4y x t t t t t t= − − = + = = −， ， ，
1 2
1 2
1 1 8 10
35
t t
PA PB t t
−+ = =
( ) 1 ( 1)f x x m x mm
= − + + >理科数学试题 第 14 页 共 14 页
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）证明： ．
【解析】(1)略解： ，
所以不等式 的解集为 ；
(2)证明：因为 ，所以 ，当且仅当 时取“=”
所以
当且仅当 且 时取“=”，故得证.
2m = ( ) 3f x >
1( ) 3( 1)f x m m
+ ≥−
( )
3 12 ( )2 2
5 1( 2)2 2
32 ( 2)2
x x
f x x
x x
− + ≤ −
= − < 3 9( , ) ( , )4 4−∞ − +∞
1m > ( ) 1 1f x m mm m
≥ + = + 1 ,x mm
∈ −
( ) 1 1 1 1 11 1 3( 1) ( 1) 1 1f x m m mm m m m m m m
+ ≥ + + = + = − + + ≥− − − −
2m = 1 ,22x ∈ −
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