衡阳市八中文数答案6.pdf

1 O x y 1  6 11 12 第 六 次 月 考 《 参 考 答 案 》 1.已 知 全 集      0,1,2,3,4 , 1,2,3, , 0,1,3U A B   ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( B ) A． B A B． {0, }4U AC ＝ C．  1,3A B  D．  0,2A B  2.若 复 数 |1 3 | 1 iz i   ,则 z 的 虚 部 是 （ C ） A． i B． i C． 1 D． 1 3.已 知 抛 物 线 24y x ， 其 焦 点 为 F ， 准 线 为 l ， 则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ C ） A.焦 点 F 到 准 线 l 的 距 离 为 1 B.焦 点 F 的 坐 标 为 (1,0) C.准 线 l 的 方 程 为 1 16y   D.对 称 轴 为 x 轴 4.在 ABC 中 ， ,BD DC E  是 AD 的 中 点 ， 则 BE  （ A ） A. 3 1 4 4AB AC   B. 3 1 4 4AB AC  C. 2 1 3 3AB AC  D. 2 1 3 3AB AC   5.函 数    sin 0, 0, 2f x A x A            的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 则 函 数  y f x 对 应 的 解 析 式 为 （ C） A. cos 2 6y x      B. cos 2 6y x      C. sin 2 6y x      D. sin 2 6y x      6.函 数 x xy e  ， 在 区 间 [0, ]e 上 的 最 大 值 是 （ C ） A. 0 B. e e e C. 1e D. 2 ee 7.若 ABC 的 内 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ，且 2 2(sin sin ) sin sin sinA B C A B   ， 则 角 C 为 （ B ）2 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  8.已 知 椭 圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的 右 焦 点 为 (3,0)F ， 过 点 F 的 直 线 交 E 于 A 、 B 两 点 ． 若 AB 的 中 点 坐 标 为 (1, 1) ， 则 椭 圆 E 的 离 心 率 为 ( A) A. 2 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 3 9.已 知 三 棱 锥 P ABC 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 ， PC 是 球 O 的 直 径 ． 若 平 面 PAC ⊥ 平 面 PBC ， PA AC ， PB BC ，三 棱 锥 P ABC 的 体 积 为 8 3 ，则 球 O 的 体 积 为 （ D ） A. 36 B. 16 C. 12 D. 32 3  10.已 知 数 列 { }na 是 递 增 数 列 ， 且 对 *n N ， 都 有 2 na n n  ， 则 实 数  的 取 值 范 围 是 ( D ) A. ( ,2] B． ( ,1] C． ( ,2) D． ( ,3) 11.已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 1 2,F F 分 别 是 双 曲 线 2 2 14 3 x y  的 左 、 右 焦 点 ， 点 P 为 双 曲 线 左 支 上 任 一 点 （ 不 同 于 双 曲 线 的 顶 点 ） ． 在 线 段 2PF 上 取 一 点 Q ， 使 1PQ PF ， 作 1 2F PF 的 平 分 线 ， 交 线 段 1FQ 于 点 M ， 则 | O |M  （ B） A． 1 2 B． 1 C． 2 D． 4 12. 已 知 函 数 22log ( 1),0 1, ( ) 1 , 1, x x f x xx      若 关 于 x 的 方 程 1( ) ( )4f x x m m R    恰 有 两 个 互 异 的 实 数 解 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 （ A ） A． 5 9( , ] {1}4 4  B． 5 9[ , ] {1}4 4  C． 5 9[ , ]4 4 D． 5 9( , ]4 43 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C C A C C B A D D B A 13.若 曲 线 2y mx 在 点 （ 1， m ） 处 的 切 线 与 直 线 4 5 0x y   垂 直 ， 则 m  ； -2 14.已 知 等 比 数 列  na 中 , 12 72 5a a a ,  nb 是 等 差 数 列 ,且 7 7b a 则 3 11b b  ； 10 15.已 知 变 量 ,x y 满 足 2, ( ) , 3 6, x y f x y x x y        则 1y x  的 最 小 值 是 ； 1 2 16.关 于  x 的 方 程 2 2 2 2x x kx k     有 两 个 不 等 的 实 数 根 ,则 实 数 k 的 取 值 范 围 为 . 3( ,1]4 17.（ 12 分 ） 记 S n 为 等 比 数 列  na 的 前 n 项 和 ， 已 知 S 2 =−4， S 3 =12． （ 1） 求  na 的 通 项 公 式 ； （ 2） 求 S n ； （ 3） 判 断 S n +1 ， S n ， S n +2 是 否 成 等 差 数 列 ， 若 是 ， 写 出 证 明 过 程 ； 若 不 是 ， 说 明 理 由 。 【 答 案 】 （ 1） 1( 2)n na   ； （ 2） 2 14 2( 1)3 3 n n nS      (3)是 的 。 证 明 如 下 ： 3 4 2 3 1 2 8 2 2( 1) ( 1)3 3 3 n n n n n nS S              3 4 18 2 2( 1) [ ]3 3 3 n n n        3 18 2( 1)3 3 n n     2 14 22[ ( 1) ] 23 3 n n nS       故 S n+1 ， S n ， S n +2 成 等 差 数 列 。 18． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P－ ABCD 中 ， PA⊥ 平 面 ABCD， 底 面 ABCD 是 等 腰 梯 形 ， AD∥ BC， AC⊥ BD.4 (1)证 明 ： BD⊥ 平 面 PAC； (2)若 AD＝ 8，BC＝ 4，设 AC∩BD＝ O，且 ∠ DPO＝ π 6 ，求 四 棱 锥 P－ ABCD 的 体 积 ． 解 (1)证 明 ： 因 为 PA⊥ 平 面 ABCD， BD⊂ 平 面 ABCD， 所 以 PA⊥ BD. 又 AC⊥ BD， PA∩AC＝ A， PA⊂ 平 面 PAC， AC⊂ 平 面 PAC， 所 以 BD⊥ 平 面 PAC. (2)如 图 ， 连 接 OP， 由 (1)知 ， BD⊥ 平 面 PAC， 又 PO⊂ 平 面 PAC， 知 BD⊥ PO.在 Rt△ POD 中 ， 因 为 ∠ DPO＝ π 6 ， 得 PD＝ 2DO. 又 因 为 四 边 形 ABCD 为 等 腰 梯 形 ， AC⊥ BD， 所 以 △ AOD， △ BOC 均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ． 从 而 梯 形 ABCD 的 高 为 1 2AD＋ 1 2BC＝ 6， 于 是 梯 形 ABCD 的 面 积 S＝ 1 2 ×(8＋ 4)×6＝ 36.5 在 等 腰 直 角 三 角 形 AOD 中 ， OD＝ 2 2 AD＝ 4 2， 所 以 PD＝ 2OD＝ 8 2， PA＝ PD 2 － AD 2＝ 8. 故 四 棱 锥 P－ ABCD 的 体 积 为 V＝ 1 3S·PA＝ 1 3 ×36×8＝ 96. 19．已 知 椭 圆 E： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝ 1(a>b>0)经 过 点 A(0, 3 )，右 焦 点 到 直 线 x＝ a 2 c 的 距 离 为 3. (1)求 椭 圆 E 的 标 准 方 程 ； (2)过 点 A 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 l1 ，l2 分 别 交 椭 圆 于 M，N 两 点 ．求 证 ： 直 线 MN 恒 过 定 点 P 3(0, )7  . 解 (1)由 题 意 知 ， a 2 c － c＝ 3， b＝ 3 ， a2＝ b 2＋ c2， 解 得 a＝ 2， b＝ 3， c＝ 1. 所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 2 14 3 x y  . (2)证 明 ： 显 然 直 线 l 1， l2 的 斜 率 存 在 ． 设 直 线 l 1 的 方 程 为 y＝ kx＋ 1， 联 立 方 程 组 2 2 3 14 3 y kx x y      得 (4k2＋ 3)x2＋ 8 3kx＝ 0， 解 得 x1＝ － 2 8 3 4 3 k k  ， x2＝ 0， 所 以 xM ＝ － 2 8 3 4 3 k k  ， yM＝ 2 2 4 3 3 3 4 3 k k    .6 由 l 1， l 2 垂 直 ， 可 得 直 线 l 2 的 方 程 为 y＝ － 1 kx＋ 1. 用 － 1 k 替 换 前 式 中 的 k， 可 得 xN＝ 2 8 3 3 4 k k  ， yN＝ 2 2 3 3 4 3 3 4 k k   . 则 kMP ＝ 2 2 2 4 3 3 3 3 4 3 7 8 3 4 3 k k k k      ＝ 23 3 7 k  ， kNP ＝ 2 2 2 3 3 4 3 3 3 4 7 8 3 3 4 k k k k    ＝ 23 3 7 k  ， 所 以 kMP ＝ kNP ， 故 直 线 MN 恒 过 定 点 P 3(0, )7  . 20.在 衡 阳 市 “创 全 国 文 明 城 市 ”(简 称 “创 文 ”)活 动 中 ，市 教 育 局 对 本 市 A，B， C， D 四 所 高 中 学 校 按 各 校 人 数 分 层 抽 样 ， 随 机 抽 查 了 200 人 ， 将 调 查 情 况 进 行 整 理 后 制 成 下 表 ： 假 设 每 名 高 中 学 生 是 否 参 与 “创 文 ”活 动 是 相 互 独 立 的 ． (1)若 本 市 共 8000 名 高 中 学 生 ， 估 计 C 学 校 参 与 “创 文 ”活 动 的 人 数 ； (2)在 上 表 中 从 A， B 两 校 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 人 ， 求 恰 好 A， B 两 校 各 有 1 人 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 概 率 ； (3)在 随 机 抽 查 的 200 名 高 中 学 生 中 ，进 行 文 明 素 养 综 合 素 质 测 评（ 满 分 为 100 分 ） ， 得 到 如 上 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 其 中 a＝ 4b.求 a， b 的 值 ， 并 估 计 参 与 测 评 的 学 生 得 分 的 中 位 数 ． (计 算 结 果 保 留 两 位 小 数 ) 解 (1)C 学 校 高 中 生 的 总 人 数 为 100÷ 200 8000 ＝ 4000， 学 校 A B C D 抽 查 人 数 10 15 100 75 “创 文 ”活 动 中 参 与 的 人 数 9 10 80 497 C 学 校 参 与 “创 文 ”活 动 的 人 数 为 4000× 80 100 ＝ 3200. (2)A 校 没 有 参 与 “创 城 ”活 动 的 这 1 人 记 为 A 1 ， B 校 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 这 5 人 分 别 记 为 B 1，B 2，B 3，B 4，B5，任 取 2 人 共 15 种 情 况 ， 如 下 ：A 1B1 ，A 1B 2，A 1B3A 1，A 1B 4 ，A 1B 5，B1 B2，B 1B 3，B 1B 4 ，B 1B5 ，B 2B 3 ， B2B 4， B 2B5， B 3B 4， B 3B 5， B4B 5， 这 15 种 情 况 发 生 的 可 能 性 是 相 等 的 ． 设 事 件 N 为 抽 取 2 人 中 A， B 两 校 各 有 1 人 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 ， 有 A 1B 1， A 1B 2， A 1B3A 1， A 1B4， A 1B 5， 共 5 种 情 况 ． 则 P(N)＝ 5 15 ＝ 1 3.故 恰 好 A，B 两 校 各 有 1 人 没 有 参 与 “创 文 ”活 动 的 概 率 为 1 3. (3)依 题 意 ， (a＋ 0.008＋ 0.035＋ 0.027＋ b)×10＝ 1， 所 以 a＋ b＝ 0.03. 又 a＝ 4b， 所 以 a＝ 0.024， b＝ 0.006. 因 为 0.08＋ 0.240.5， 所 以 中 位 数 在 第 三 组 ， 所 以 中 位 数 为 70＋ 0.5－ 0.08－ 0.24 0.035 ≈75.14. 21.已 知 函 数 f(x)＝ aln x， g(x)＝ x 2－ 1 2a(a∈ R)． (1)令 F(x)＝ f(x)－ g(x)， 讨 论 F(x)的 单 调 性 ； (2)若 f(x)≤g(x)， 求 a 的 取 值 范 围 ． 解 (1)F′(x)＝ a x － 2x＝ a－ 2x2 x ， 当 a≤0 时 ， f′(x)0 时 ， 令 F′(x)＝ 0 得 x＝ a 2(负 根 舍 去 )．8 令 F′(x)>0 得 00， ∴ ln a 2 ≤0， ∴ 0< a 2 ≤1， ∴ 0