数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知 ， ，则
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】解： ，
．
故选：A．
求解一元二次不等式化简集合 B，然后直接利用交集运算得答案．
本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
2. 若 其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是
A. 2i B. C. D. 2
【答案】D
【解析】解： ，
复数 z 的虚部是 2．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则
A. 66 B. 99 C. 110 D. 143
【答案】D
【解析】解： ．
故选：D．
本题考查了等差数列的前 n 项和，是基础题．
4. 在矩形 ABCD 中， ， ，若向该矩形内随机投一点 P，那么使 与 的
面积都小于 4 的概率为A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，由 与 的面积都小于 4，得到两个三
角形的高即为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．
【解答】
解：由题意知本题是一个几何概型的概率，
以 AB 为底边，要使面积都小于 4，
由于 ，
则点 P 到 AB 的距离 ，
同样， ，
点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图，
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ．
使得 与 的面积都小于 4 概率为： ．
故选 A．
5. 从 1，3，5 三个数中选两个数字，从 0，2 两个数中选一个数字，组成没有重复数字的
三位数，其中奇数的个数为
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】解：由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，
因此总共 种．
故选：C．
由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，根据分类计
数原理可得
本题考查了分类计数原理，关键是如何分类，属于基础题
6. 将函数 向右平移 个单位后得到函数 ，则 具有性质
A. 在 上单调递增，为偶函数
B. 最大值为 1，图象关于直线 对称
C. 在 上单调递增，为奇函数
D. 周期为 ，图象关于点 对称
【答案】A【解析】【分析】
本题主要考查三角函数平移、单调性、奇偶性、周期的知识，解答本题的关键是掌握相关知
识，逐一分析，进行解答．
【解答】
解：将 的图象向右平移 个单位，得
，则 为偶函数，在 上单调递增，故 A
正确，
的最大值为 1，对称轴为 ， ，即 ， ，当 ，图象关于 对称，
故 B 错误，
由 ， ，函数 单调递增， ， ， 在 上
不是单调函数，故 C 错误，
函数的周期 ，不关于点 对称，故 D 错误．
故选 A．
7. 已知数列 ，则 是数列 是递增数列的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】解： 数列 是递增数列，例 是 1，2，3，1，数列 不为递增数列，
即 是数列 是递增数列的不充分条件
当数列 是递增数列，则 恒成立，即 ，
即 是数列 是递增数列的必要条件
故 是数列 是递增数列的必要不充分条件，
故选：B．
由数列 是递增数列，当数列 是递增数列，则 恒成立，即
本题考查了等差数列的概念，特殊与一般的思想方法，属简单易错题．
8. 如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的“更相减损术”，
执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 63，36，则输出的A. 3 B. 6 C. 9 D. 18
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，
是基础题．
由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的 a，b 的值，即可得到结论．
【解答】
解：由 ， ，满足 ，
则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ，
由 ，则退出循环，输出 ．
故选 C．
9. 在四边形 ABCD 中， ， ，则
A. 5 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】解：
不妨用特例法完成，
如图，在菱形 ABCD 中， ， ，
则 ，
，
，
，
在 中，求得 ，
，
故选：C．
作为选择题，此题更适合用特例法，让 AC，BD 互相垂直平分，得到菱形 ABCD，易得边长，
再进一步变换式中向量，用数量积求解．
此题考查了特例法解选择题，向量相等，向量加法，数量积等，难度适中．
10. 若长方体 的顶点都在体积为 的球 O 的球面上，则长方体
的表面积的最大值等于A. 576 B. 288 C. 144 D. 72
【答案】B
【解析】解：设长方体的三度为：a，b，c，球的直径就是长方体的对角线的长，
再设球的半径为 R，则由 ，得 ．
，
长方体的表面积为： ．
当 时取得最大值，也就是长方体为正方体时表面积最大．
故选：B．
设出长方体的三度，由球的体积求出长方体的对角线的长，得到长方体的表面积的表达式，
然后利用基本不等式求最大值．
本题考查长方体的外接球的知识，长方体的表面积的最大值的求法，基本不等式的应用，考
查计算能力，是中档题．
11. 如果函数 满足 ，则 的一个正周期为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：函数 满足 ，则 的一个正周期为 ，
故选：A．
根据 ，依据函数的最小正周期的定义，得出结论．
本题主要考查函数的最小正周期的定义，属于基础题．
12. 下列四个命题： ； ； ； ，其中真命题的个数
是 为自然对数的底数
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】解：构造函数 ，
导数 ，
当 时， ， 递增；
时， ， 递减．
可得 取得最大值 ．
由 ，可得 ，
即有 ，即 ，故 不正确；
由 ，可得 ，
即有 ，即 ，故 正确；设 ，可得 ，
在 时， ，
即有 ，故 正确；
由 ，
可得 ，
而 ，
则 ，故 正确．
故选：C．
构造函数 ，求得导数和单调性、最值，由 ，可判断 ；
由 可判断 ；由 ，结合不等式的性质可判断 ；
由 ，可得 ，可判断 ．
本题考查两个数的大小比较，注意运用构造函数法，以及导数判断单调性，考查化简运算能
力，属于难题．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. ______．
【答案】
【解析】解： ．
故答案为： ．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
14. 在 的二项展开式中，所有项的系数之和为 1024，则展开式常数项的值等于
______．
【答案】15
【解析】解：在 的二项展开式中，令 得所有项的系数和为 ，解得 ，
所以 的二项展开式中的通项为：
，令 得 ，
常数项为： ，
故答案为：15．
在展开式中，令 可得所有项系数和，可解得 ，再由通项公式可得常数项为 15
本题考查了二项式定理．属中档题．15. 满分为 100 分的试卷，60 分为及格线，若满分为 100 分的测试卷，100 人参加测试，将
这 100 人的卷面分数按照 ， ， ， 分组后绘制的频率分布直方图
如图所示，由于及格人数较少，某老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以 10
取整”的方法进行换算以提高及格率实数a 的取整等于不超过 a 的最大整数，如：某位
学生卷面 49 分，则换算成 70 分作为他的最终考试成绩则按照这种方式，这次测试的不
及格的人数变为______．
【答案】18
【解析】解：由题意卷面 36 分及 36 分以上的学生都及格，
由频率分直方图得卷面 36 分以下的学生的频率为： ，
所以，按照这种方式，这次测试的不及格的人数变为： ．
故答案为：18．
由题意卷面 36 分及 36 分以上的学生都及格，由频率分直方图得卷面 36 分以下的学生的频
率为： ，由此能求出这次测试的不及格的人数．
本题考查及格率求法，考查频率分直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程
思想，是基础题．
16. 已知 存在唯一的零点 ，且 ，则实数 a 的取值范围是______．
【答案】
【解析】【解答】
解： 当 时， ，令 ，解得 ，函数 有两个零点，舍去．
当 时， ，令 ，解得 或 ．
当 时， ，当 或 ， ，此时函数 单调递减；当 时， ，
此时函数 单调递增．
故 是函数 的极大值点，0 是函数 的极小值点．
函数 存在唯一的零点 ，且 ，则 ，
即 得 舍或 ．
当 时， ，当 或 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减．
是函数 的极大值点，0 是函数 的极小值点．，
函数 在 上存在一个零点，此时不满足条件．
综上可得：实数 a 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【分析】
讨论 a 的取值范围，求函数的导数判断函数的极值，根据函数极值和单调性之间的关系进行
求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的零点，考查了分类讨论方法、推
理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知向量 ．
当 时，求 的值；
已知钝角 中，角 B 为钝角，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且
，若函数 ，求 的值．
【答案】解： 向量 ， ，
，即 ，
．
，
，
，
，
由角 B 为钝角知： ，
，
．
【解析】本题主要考查了平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式，正弦定理，特殊
角的三角函数值的综合应用考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
利用平面向量垂直的性质，同角三角函数基本关系式可求 tanx 的值，化简所求即可计算
得解．
利用正弦定理化简已知等式，结合 ，可求 ，结合角 B 为钝角知： ，化
简函数利用特殊角的三角函数值即可计算得解．18. 某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机
抽查了 100 名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二
孩”，现已得知 100 人中同意父母生“二孩”占 ，统计情况如表：
同意 不同意 合计
男生 a 5
女生 40 d
合计 100
求 a，d 的值，根据以上数据，能否有 的把握认为是否同意父母生“二孩”与
性别有关？请说明理由；
将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取 4
位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的 4 位学生中持“同意”态度的人数为X，求 X 的
分布列及数学期望．
附：
【答案】解： 因为 100 人中同意父母生“二孩”占 ，
所以 ， ；
由列联表可得 ；
而 ，
所以有 的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；
由题意知持“同意”态度的学生的频率为 ，
即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为 ，由于总体容量很大，
故 X 服从二项分布，
即 ， ， ，1，2，3，4；
从而 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
X 的数学期望为 ．
【解析】 根据题意求出 a、d 的值，计算观测值，对照临界值得出结论；
由题意知随机变量 X 服从二项分布，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了列联表与独立性检验
的应用问题，是中档题．19. 若数列 的前 n 项和为 ，首项 ，且
求数列 的通项公式；
若 ，令 ，设数列 的前 n 项和 ，比较 与 大小．
【答案】解： 且 ，
，
，
，
或者 ，
；
，
，
，
．
【解析】 利用数列的递推关系式，转化求解数列的通项公式．
化简通项公式，通过裂项相消法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．
如图，四棱锥 中，侧面 PAD 为等边三角形，且平面 底面 ABCD， ，
．
证明：： ；
点 M 在棱
20. PC 上，且 ，若二面角 大小的余弦值为 ，求实数 的值．
【答案】 证明：取 AD 的中点 O，连 OC，OP，
为等边三角形，且 O 是边 AD 的中点，
，平面 底面 ABCD，且它们的交线为 AD，
平面 ABCD，
，
，且 ，
平面 PAD，
．
分别以 OC，OD，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ，
，
，即： ，
设 ，且 是平面 ABM 的一个法向量，
，
，
取 ，
而平面 ABD 的一个法向量为 ，
，
，
，
．
【解析】 取 AD 的中点 O，连 OC，OP，证明 ， ，推出 平面 PAD，得到
．
分别以 OC，OD，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ，求出平面 ABM 的
一个法向量，平面 ABD 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力已
经计算能力．
21. 已知函数 ． 求 的单调区间；
若 有极值，对任意的 ， ，当 ，存在 使 ，证
明：
【答案】解： 的定义域为 ， ．
若 ，则 ，所以 在 上是单调递增．若 ，当 时， 0'/>， 单调递增．
当 时， ， 单调递减．
证明：由 当 时， 存在极值．
由题设得 ．
，
又 ，
，
设 则 ．
令 ，则
所以 在 上是增函数，所以 ，
又 ，所以 ，
因此 ，
即 ，
又由 知 在 上是减函数，
所以 ，即 ．
【解析】本题考查函数的导数的应用，函数的大小以及构造法，二次导函数的应用，考查转
化思想已经计算能力．
的定义域为 ，求出导函数，通过 若 ， 若 ，判断导函数的符号，推出
函数的单调区间．
由 当 时， 存在极值．化简 ，又 ，
作差设 ．令 ，利用导函数，判断函数的大小转化求解即可．
22. 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为： 为参数， ，以坐标
原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为：
．
求圆 C 的直角坐标方程；
设点 ，若直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求 的值．
【答案】 圆 C 的极坐标方程为： ．
转换为直角坐标方程为： ，
所以：
将线 l 的参数方程为： 为参数，
代入 ，
所以： ，
设点 A、B 所对应的参数为 和 ，
则： ，
．
【解析】 直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和
系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23. 设函数 ．
当 时，求不等式 的解集；
对任意实数 ，都有 成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】解： 当 时， ，
当 时， ，即 ，可得 ；
当 时， ，即有 ；
当 时， ，即 ，可得 ．
综上可得原不等式的解集为 ；
对任意实数 ，都有 成立，
即 ， 恒成立，
， 恒成立，
即有 或 ，
即为 或 恒成立，
由 在 递增，可得最大值为 0，可得 ；在 递减，可得最小值为 ，
可知 或 ．
【解析】 求得 的解析式，去绝对值讨论 x 的范围，解不等式，求并集可得所求解集；
由题意可得 ， 恒成立， ， 恒成立，即有
或 ，即为 或 恒成立，运用单调性可得最值，即可得到所求 a
的范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法和分离
参数法，考查化简运算能力，属于中档题．
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