数学
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知全集 ， ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解： ；
．
故选：C．
可求出集合 A，然后进行并集的运算即可．
考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．
2. 复数 z 满足 为虚数单位，则复数
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由 ，得 ，
则 ．
故选：A．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 展开式中 项的系数是
A. 270 B. 180 C. 90 D. 45
【答案】A
【解析】解： ，
展开式中 项的系数为 270，
故选：A．
把 按照二项式定理展开，可得 展开式中 项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础
题．
运行如图程序框图，输出 m 的值是4.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】解： ， 否， ， ，
， 否， ， ，
， 否， ， ，
， 否， ， ，
， 是，输出 ，
故选：D．
根据程序框图进行模拟运算即可．
本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．
5. 已知 为锐角，且 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解： 为锐角，且 ，则
，
故选：A．
利用诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，求得 的值．本题主要考查诱导公式、二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
6. 已知双曲线 的焦距为 8，一条渐近线方程为 ，则此双曲线方程
为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：双曲线 的焦距为 8，可得 ；
一条渐近线方程为 ，可得 ， ，
可得： ， ，
所以双曲线方程为： ．
故选：D．
经验双曲线的焦距，求出 c，结合渐近线方程求解 a，b，即可得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥 ，
几何体的表面积为： ．
故选：C．
画出几何体的直观图，经验三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
8. 已知抛物线 的准线与圆 C： 相切，则抛物线的方程为
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考
查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
由抛物线 的准线与圆 C： 相切，知 ，解得 由此能求
出抛物线方程．
【解答】
解：圆 C： ，抛物线 的准线为 ，
抛物线 的准线与圆 C： 相切，
，解得 ．
抛物线方程为： ．
故选：B．
9. 已知 外接圆的圆心为 O，若 ， ，则 的值是
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】解：如图，取 AC 中点 D，AB 中点 E，并连接 OD，OE，则：
， ；
， ；．
故选：C．
可画出图形，并将 O 和 AC 中点 D 连接，O 和 AB 中点 E 连接，从而得到 ， ，
根据数量积的计算公式及条件即可得出 ，而 ，从而便可得出
的值．
考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的
定义．
10. 公元前 5 世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为
方．如图，以 O 为圆心的大圆直径为 1，以 AB 为直径的半圆面积等于 AO 与 BO 所夹
四分之一大圆的面积，由此可知，月牙形图中阴影部分区域的面积可以与一个正方形的
面积相等．现在在两个圆所围成的区域内随机取一点，则该点来自于阴影所示月牙形区
域的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查几何概型，属于中档题．
先求出阴影部分面积，再用几何概型概率公式可得．
【解答】
解：阴影部分面积等于 ，
所以根据几何概型得 ．
故选：B．
11. 中，BD 是 AC 边上的高， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A【解析】解： 中，BD 是 AC 边上的高， ，
在等腰直角三角形 ABD 中，设 ，
可得 ，
在直角三角形 BDC 中，
，
即有 ，
则 ，
可得 ，即 ，
则 ．
故选：A．
在等腰直角三角形 ABD 中，设 ，可得 AD，再由两角差的余弦公式可得 ，求
得 ，由正切函数的定义，可得 CD，进而得到所求值．
本题解直角三角形的知识，考查锐角三角函数的定义，以及运算能力，属于基础题．
12. 函数 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解： ，
时不成立，
时，化为： ．
．
可得： 时， ，函数 单调递增；
时， 时，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增．
画出图象．
．
可得：当且仅当 时，函数 与函数 由且仅有一个交点．即函数 有且只有一个零点，则实数 a 的取值范围是
故选：C．
， 时不成立， 时，化为： 利用导数研究函数
的单调性极值与最值，画出图象，转化为图象的交点个数即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、数形结合方法、
函数零点、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 某人在公园进行射击气球游戏，排除其它因素的影响，各次射击相互独立，每次击中气
球的概率均为 ，若连续射击 10 次，记击中气球的次数为，则 ______．
【答案】
【解析】解：由题意可知各次射击相互独立，每次击中气球的概率均为 ，若连续射击 10
次，记击中气球的次数为，
可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，求出期方差即可．
本题主要考查了 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率，以及离散型随机变量的方程，同
时考查了计算能力，属于基本知识的考查．
14. 若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是______．
【答案】9
【解析】解：作出实数 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：
由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 ，经过点 B 时，
直线 ，的截距最小，此时 z 最大，
由 ，解得 解得 ．
故答案为：9．
作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
15. 正四面体 ABCD 的体积为 ，则正四面体 ABCD 的外接球的体积为______．
【答案】
【解析】解：如图，
设正四面体 ABCD 的棱长为 x，过 A 作 ，设等边三角形 ABC 的中心为 O，则 ，
，
，即 ．
再设正四面体 ABCD 的外接球球心为 G，连接 GA，
则 ，即 ．
正四面体 ABCD 的外接球的体积为 ．
故答案为： ．
由题意画出图形，设正四面体 ABCD 的棱长为 x，由已知求得 x，进一步求出外接球半径，
代入体积公式求解．
本题考查多面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
16. 已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则 a 的最小值是
______．
【答案】1
【解析】解：函数 ，若 ，
在区间 上单调递增，
，可得 ， ，
可得 ， ．
所以 a 的最小值为：1．
故答案为：1．
化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ．
求证 为等比数列；
数列 满足 ，求 的前 n 项和 ．
【答案】 证明：由 时， ，化为： ，
时， ，解得 ．
．
为等比数列，首项为 2，公比为 2．
解：由 可得： ．
，的前 n 项和 ，
，
相减可得： ，
整理为： ．
【解析】 由 时， ，化为： ， 时， ，解
得 即可证明结论．
由 可得： ，利用错位相减法即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
18. 某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格
进行试销，得到如下数据：
单价 元 7 8 9 11 12 13
销量 120 118 112 110 108 104
已知销量与单价之间存在线性相关关系求 y 关于 x 的线性回归方程；
若在表格中的 6 种单价中任选 3 种单价作进一步分析，求销量恰在区间 内
的单价种数的分布列和期望．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，
．
【答案】解： ，
．
， ．
关于 x 的线性回归方程为 ；
种单价中销售量在 内的单价种数有 3 种．
销量恰在区间 内的单价种数的取值为 0，1，2，3，
，
，，
．
的分布列为：
0 1 2 3
P
期望为 ．
【解析】 由已知表格中数据求得 与 ，则线性回归方程可求；
求出的所有可能取值为 0，1，2，3，求出概率，可得分布列与期望．
本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的期望与方差，考查计算能力，是中档
题．
19. 如图四棱锥 中，平面 平面 ABCD， ， ， ， ，
．
求证：平面 平面 PAD；
若 AB 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】证明： ， ， ， ．
，
，
，
在四棱锥 中，平面 平面 ABCD， ，
， ，
平面 PAD，
又 平面 PBD，
平面 平面 PAD．
解： 以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间
直角坐标系，
设 ，则 4， ， 0， ， 4， ， 2， ， 0， ．4， ， 4， ， 2， ，
设平面 PBD 的法向量 y， ，
则 取 ，得 ，
与平面 PBD 所成的角的正弦值为 ，
，
解得 ， ，
0， ， 4， ，
设平面 PBC 的法向量 y， ，
则
取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ．
所以二面角 的余弦值为 ．
【解析】 推导出 ，从而推出 平面 PAD，又 平面 PBD，则平面 平面
PAD，得证．
以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角
坐标系，利用向量法能求出二面角 的余弦值．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20. 已知椭圆 C： 上的动点 P 到其左焦点的距离的最小值为 1，且离心率
为 ．
求椭圆的方程；
若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，Q 是椭圆 C 的左顶点，若 ，试
证明直线 l 经过不同于点 Q 的定点．
【答案】 解：由已知可得， ，解得 ， ，
椭圆的方程 ；
证明：由 ，得 ，设直线 AB 方程为 ， ， ，
联立 ，得 ．
．
， ．
由题意， ，则 ， ，
由 ，得
，
，
即 ，
，即 或 ．
当 时，满足 ，此时直线方程为： ，过定点 ；
当 时，满足 ，此时直线方程为： ，过定点 ，不合题意．
综上，直线 l 经过不同于点 Q 的定点
【解析】 由已知可得 ，求解可得 a，b 的值，则椭圆方程可求；
由 ，得 ，设直线 AB 方程为 ， ， ，联立直
线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及向量数量积可得 ，即
或 ，验证判别式后可得直线 l 经过不同于点 Q 的定点
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
21. 已知函数 ， ．
当 时，求 在点 处的切线方程；
当 时， 是否存在两个极值点，若存在，求实数 a 的最小整数值；若不存在，
请说明理由．
【答案】解： 函数导数 ，
当 时， ， ，
， ，即在点 处的切线斜率 ，
则对应的切线方程为 即 ．当 时，若 存在两个极值点，
则 有两个不同的解，
即 ， 有两个根，
即 有两个不同的根，
设 ， ，设切点 ，
则 ，
即过原点的切线方程为 ，
即
当 ， 时， ，
设 ，
则 ，
即 在 上为减函数，
， ，
当 时， ，
即当 时， 和 有两个交点，
， ，
当 时， 与 没有交点，
当 时， 与 有两个交点，
即当 时， 是存在两个极值点，此时最小的 a 的整数值为 4
【解析】 求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程．
求函数的导数，结合极值与导数之间的关系，转化为 有两个不同的根，构造函数
结合导数的几何意义转化求切线，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查导数的几何意义以及函数极值的应用，求出函数的导数，结合导数的应用是解
决本题的关键．考查学生的运算推理能力．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线 的参数方程为 为参数，曲线 的极坐标方程为
．
写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
若点 P、Q 分别为曲线 及曲线 上任意一点，求 的最小值及此时 P 的坐标．
【答案】解： 因为 ， ，
得 ，即 的普通方程为 ，
曲线 的极坐标方程为 ， ，
由 ， ，可得 的直角坐标方程为： ．
设直线 l 与 平行，且与曲线 相切，设 l 方程为 ，联立 l 与 的方程
消去 y 得： ，
因为 l 与曲线 相切，故 ，解得： ，或 ．
的方程为：
当 时，设切点为 P，过 P 作 的垂线，垂足为 Q，则此时 最小，且此时， 值等于 l 与 的距离，
．
将 代入 得， ，
即 P 点坐标为
综上，点 P、Q 分别为曲线 及曲线 上任意一点，则 的最小值为 ，此时 P 点坐标
为
【解析】本题考查了椭圆的参数方程、直线的极坐标方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关
系、曲线上的点到直线上一点的距离的最小值的求法等知识，具有一定的综合性，属中档
题．
根据 消参即可得到 的普通方程，由 ， ，可得 的直角坐
标方程．
设出 的平行线 l： ，且 l 为 的切线，联立 l 与 令 ，得 C，将 最小值
转化为直线 l 和 的距离，得到 的最小值，再将 C 代入联立后的方程，得到 P 点的坐
标．
23. 已知函数 ．
当 时，求不等式 的解集；
若 恒成立，求 a 的取值范围．
【答案】解：Ⅰ 时， ，
即 ，
不等式 即为 或 或 ，
即有 或 或 ，
则为 或 ，
所以不等式的解集为 或 ；Ⅱ由Ⅰ知，函数 的值域为 ，
若 恒成立，则 ，
即 ，解得 或 ．
实数 a 的取值范围是 ．
【解析】Ⅰ 时利用分段函数表示 ，再求不等式 的解集；Ⅱ由Ⅰ知函数 的
值域，把不等式恒成立化为 ，即可求得 a 的取值范围．
本题考查了不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．
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