人教A版数学必修5同步辅导与检测第三章3.3-3.3.2第1课时简单的线性规划问题.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题 第 1 课时 简单的线性规划问题 A 级 基础巩固 一、选择题 1．若点(x，y)位于曲线 y＝|x|与 y＝2 所围成的封闭区域，则 2x －y 的最小值为( ) A．－6 B．－2 C．0 D．2 解析：画出可行域，如图所示， 解得 A(－2，2)，设 z＝2x－y， 把 z＝2x－y 变形为 y＝2x－z， 则直线经过点 A 时 z 取得最小值， 所以 zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选 A. 答案：A 2．(2016·天津卷)设变量 x，y 满足约束条件 x－y＋2≥0， 2x＋3y－6≥0， 3x＋2y－9≤0， 则 目标函数 z＝2x＋5y 的最小值为( ) A．－4 B．6 C．10 D．17 解析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 A(0，2)，B(3，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 0)，C(1，3)，直线 z＝2x＋5y 过点 B 时取最小值 6，选 B. 答案：B 3．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名，x 和 y 需满足约束条 件 5x－11y≥－22， 2x＋3y≥9， 2x≤11， x∈N*，y∈N*， 则 z＝10x＋10y 的最大值是( ) A．80 B．85 C．90 D．95 解析：该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于 x，y∈N*，计算区域内与 11 2 ，9 2 最近的点为(5，4)，故当 x＝5，y＝4 时，z 取得最大值为 90. 答案：C 4．(2016·浙江卷)在平面上，过点 P 作直线 l 的垂直所得的垂足 称为点 P 在直线 l 的投影．由区域 x－2≤0， x＋y≥0， x－3y＋4≥0 中的点在直线 x＋y －2＝0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|＝( ) A．2 2 B．4 C．3 2 D．6 解析：如图，△PQR 为线性区域，区域内的点在直线 x＋y－2 ＝ 0 上 的 投 影 构 成 了 线 段 R′Q′ ， 即 AB ， 而 R′Q′ ＝ PQ ， 由 x－3y＋4＝0， x＋y＝0 得 Q(－1，1)，由 x＝2， x＋y＝0 得 R(2，－2)，|AB|＝|QR|天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ＝ （－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选 C. 答案：C 5．已知 x，y 满足 x≥1， x＋y≤4， x＋by＋c≤0， 目标函数 z＝2x＋y 的最大值为 7，最小值为 1，则 b，c 的值分别为( ) A．－1，4 B．－1，－3 C．－2，－1 D．－1，－2 解析：由题意知，直线 x＋bx＋c＝0 经过直线 2x＋y＝7 与直线 x＋y＝4 的交点，且经过直线 2x＋y＝1 和直线 x＝1 的交点，即经过 点(3，1)和点(1，－1)， 所以 3＋b＋c＝0， 1－b＋c＝0，解得 b＝－1， c＝－2. 答案：D 二、填空题 6．若实数 x，y 满足 x－y＋1≥0， x＋y≥0， x≤0， 则 z＝3x ＋ 2y 的最小值是 ________． 解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设 t＝x＋2y， 则 y＝－1 2x＋t 2 ，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 当 x＝0，y＝0 时，tmin＝0，z＝3x＋2y 的最小值为 1. 答案：1 7．已知 x，y 满足约束条件 x≥1， x－y＋1≤0， 2x－y－2≤0. 则 x2＋y2 的最小值是 ________． 解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据 x2＋y2表示可行域 内一点到原点的距离，可知 x2＋y2 的最小值是|AO|2.由 x＝1， x－y＋1＝0， 得 A(1，2)，所以|AO|2＝5. 答案：5 8．若点 P(m，n)在由不等式组 x＋y－7≤0， x－2y＋5≤0， 2x－y＋1≥0 所确定的区域内， 则 n－m 的最大值为________． 解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标 分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为 z＝y－x.则 y＝x＋z， 其纵截距为 z，由图易知点 P 的坐标为(2，5)时，n－m 的最大值为 3.天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 答案：3 三、解答题 9．已知 f(x)＝(3a－1)x＋b－a，x∈[0，1]，若 f(x)≤1 恒成立， 求 a＋b 的最大值． 解 ： 因 为 f(x)≤1 在 [0 ， 1] 上 恒 成 立 ， 所 以 f（0）≤1， f（1）≤1， 即 b－a－1≤0， 2a＋b－2≤0，将 a，b 对应为平面 aOb 上的点(a，b)，则其表示的 平面区域如图所示， 其中 A 1 3 ，4 3 ，求 a＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函 数 z＝a＋b 的最值的线性的规划问题，作直线 a＋b＝0，并且平移使 它通过可行域内的 A 点，此时 z＝a＋b 取得的最大值为5 3. 10．预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希 望使桌子和椅子的总数尽可能地多，但椅子数不少于桌子数，且不多 于桌子数的 1.5 倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解：设桌子、椅子分别买 x 张、y 把，目标函数 z＝x＋y， 把 所 给 的 条 件 表 示 成 不 等 式 组 ， 即 约 束 条 件 为天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 50x＋20y≤2 000， y≥x， y≤1.5x， x≥0，x∈N*， y≥0，y∈N*. 由 50x＋20y＝2 000， y＝x 解得 x＝200 7 ， y＝200 7 ， 所以 A 点的坐标为 200 7 ，200 7 . 由 50x＋20y＝2 000， y＝1.5x 解得 x＝25， y＝75 2 ， 所以 B 点的坐标为 25，75 2 . 所以满足条件的可行域是以 A 200 7 ，200 7 ，B 25，75 2 ，O(0，0) 为顶点的三角形区域(如图)． 由图形可知，目标函数 z＝x＋y 在可行域内的最优解为 x＝25， y＝37. 所以买桌子 25 张，椅子 37 把才行． B 级 能力提升 1．已知 x，y 满足约束条件 x－y－1≤0， 2x－y－3≥0，当目标函数 z＝ax＋天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值 为( ) A．5 B．4 C. 5 D．2 解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由 x－y－1＝0， 2x－y－3＝0， 解得 x＝2， y＝1，所以 z＝ax＋by 在 A(2，1)处取得最小值，故 2a＋b ＝2 5，a2＋b2＝a2＋(2 5－2a)2＝( 5a－4)2＋4≥4. 法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线 x－y －1＝0 与 2x－y－3＝0 的交点(2，1)时取得最小值，所以有 2a＋b＝ 2 5.又因为 a2＋b2 是原点(0，0)到点(a，b)的距离的平方，故当 a2＋b2 为原点到直线 2a＋b－2 5＝0 的距离时最小，所以 a2＋b2的最小值 是|－2 5| 22＋12 ＝2，所以 a2＋b2 的最小值是 4，故选 B. 答案：B 2．当实数 x，y 满足 x＋2y－4≤0， x－y－1≤0， x≥1 时，1≤ax＋y≤4 恒成立， 则实数 a 的取值范围是____________． 解析：画可行域如图所示，设目标函数 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ z，要使 1≤z≤4 恒成立，则 a＞0，数形结合知，满足 1≤2a＋1≤4， 1≤a≤4 即可，解得 1≤a≤3 2.所以 a 的取值范围是 1≤a≤3 2. 答案： 1，3 2 3．若 x，y 满足约束条件 x＋y≥1， x－y≥－1， 2x－y≤2. (1)求目标函数 z＝1 2x－y＋1 2 的最值； (2)若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取 值范围． 解：(1)作出可行域如图所示，可求得 A(3，4)，B(0，1)，C(1， 0)，平移初始直线 y＝1 2x，过 A(3，4)时 z 取得最小值－2，过 C(1，0) 时，z 取得最大值 1.所以 z 的最大值为 1，最小值为－2. (2)由 ax＋2y＝z，得 y＝－a 2x＋z 2 ，因为直线 ax＋2y＝z 仅在点(1，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a 2 ＜2，解得－4＜a＜2.故所求 a 的取值范围为(－4，2)．