数 学
时量：120 分钟 满分：150 分 命题单位
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5}
2. 函数 y＝2log4(1－x)的定义域为( )
A. (-∞，1) B. (-∞，2) C. (1，＋∞) D. (2，＋∞)
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A. y＝1
x B. y＝x ＋1 C. y＝－x2＋1 D. y＝lg x
4. 设甲、乙两地的距离为 a(a>0)，小明骑自行车匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地休
息 10 分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了 30 分钟，则小明从出发到返回原地所经过
的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图象为( )
5. 设 a＝0.60.4，b＝log0.46，c＝log0.60.4，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
6. 方程 lg x＋x＝3 的解所在区间为( )
A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，＋∞)
7. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球体
8. 对于空间中的两条直线 m，n 和一个平面 α，下列结论正确的是( )
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n
C．若 m∥α，n⊥α，则 m⊥n D．若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n
9. 若过点 M(－2，m)，N(m,4)的直线与直线 x－y + 5＝0 平行，则 m 的值为( )
A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4
10. 如果 A·C > 0 且 B·C < 0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
211. 体已知两个球的表面积之比为 1∶9，则这两个球的体积之比为（ ）
A．1∶ B．1∶3 C．1∶9 D．1∶27
12. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面
是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π
二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分.把各题答案的最简形式写在
题中的横线上.
13. 计算：(lg 1
4－lg 25) × 100 ＝ .
14. 若直线 x－ y－ =0 的倾斜角为 α，则 α＝ .
15. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩
下的几何体体积的比为________．
16. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学
典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成
一”.该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式为 V＝ 1
36l2h。
该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 π 取近似值得到的。则根据你所学知识，该
公式中 π 取的近似值为______．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内.
17. (本小题满分 10 分)
设集合 A=｛x | lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 ｝；B=｛x | ｝，求 .
18. (本小题满分 12 分)
已知幂函数 ƒ(x) = 的图像过点（2,4）
（1）求函数 ƒ(x) 的解析式；
（2）设函数 h(x)=2ƒ(x)–k x–1 在[－1,1]是单调函数，求实数 k 的取值范围。
1
2
－
3 3
4
12 21 =− x BA
αx19. (本小题满分 12 分)
如图，AB 是⊙O 的直径，PA⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，
∠BAC = 60°，PA = AB.
(1) 求证：平面 PAC⊥平面 PBC；
(2) 求直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值。
20. (本小题满分 12 分)
已知不经过原点的直线 m 在两坐标轴上的截距相等，且点 P(2,2)在直线 m 上；
(1) 求直线 m 的方程；
(2) 过点 P 作直线 n，若直线 n，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，求直线 n 的方程。21. (本小题满分 12 分)
如图，已知三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC=2，∠BAC＝90°，点 M，
N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.
(1)若 A′A=2，求三棱柱 ABC－A′B′C′的体积；
(2)证明：MN∥平面 AA′C′C；
(3)请问当 A′A 为何值时，CN⊥平面 A′MN，试证明你的结论。
22. (本小题满分 12 分)
在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为
点 E，在一个特定时段内，以点 E 为中心的 1 海里以内海域被设为警戒水域，点 E 正北 4 3
海里处有一个雷达观测站 A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 30°且
与点 A 相距 10 海里的位置 B，经过 12 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 60°且与点 A
相距 2 3海里的位置 C.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域(点 E 与船的距离小于
1 海里即为进入警戒水域)，并说明理由。 数学 参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 B A C D D C D C A D D B
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分）
13. － ； 14. 30°； 15. 1：47 ； 16. 3
三、解答题 （参考答案，仅供参考，其它解法，酌情计分）
17.【解析】解：因为 lg(x+1)+lg(x-2)=lg4 的解为 x=3（x=-2 舍去）
所以 A=｛3 ｝ .............................................................(4 分)
又因为 的解为 x=
所以 B=｛ ｝ ........................................................(8 分)
所以 =｛3， ｝ ...............................................(10 分)
18.【解析】解：（1）因为ƒ(x)= 的图像过点（2,4）
所以 =4 则 α=2
所以函数ƒ(x)的解析式为：ƒ(x)= .................(5 分)
（2）由（1）得 h(x)=2x2 -k x–1,
所以函数 h(x)的对称轴为 x= .............(8 分)
若函数 h(x)在[－1,1]是单调函数
则 ≤-1 或 ≥1
即 k≤-4 或 k≥4
4
12 21 =− x
5
1
2
3
2
3
BA∪
2
3
xa
2a
x2
4
k
4
k
4
k所以实数 k 的取值范围为（－∞,－4][4,+∞）.........(12 分)
19.【解析】解：（1）证明：∵AB 是直径
∴∠ACB = 90°，即 BC⊥AC ..........(2 分)
又∵PA⊥⊙O 所在的平面
BC 在⊙O 所在的平面内
∴PA⊥BC ........(4 分)
∴BC⊥平面 PAC
又 BC 平面 PBC
∴平面 PBC⊥平面 PAC ........(6 分)
（2）∵PA⊥平面 ABC
∴直线 PC 与平面 ABC 所成角即∠PCA ........(8 分)
设 AC = 1，∵∠BAC = 60°∴∠ABC = 30°
∴PA = AB = 2
∴tan∠PCA = = 2 ........(12 分)
20.【解析】解：（1）因为直线 m 在两坐标轴上的截距相等
设直线 m： ＝1
将点 P(2,2)代入方程，得=4
所以直线 m 的方程为 x+y－4＝0 .......(6 分)
(2) ①若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x＝2，
直线 m，直线 n 和 x 轴围成的三角形的面积为 2，
则直线 m 的方程为 x＝2 符合题意； ..........(8 分)
②若直线 m 的斜率 k＝0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，
得 x＝2－2
k
，由（1）得直线 m 交 x 轴（4,0），
依题意有1
2
×|（2－2
k
）－4|×2＝2，即|（2－2
k
）－4|＝2，
⊂解得 k＝－1
2
，所以直线 m 的方程为 y－2＝－1
2(x－2)，
即 x+2y－6＝0.
综上，直线 m 的方程为 x+2y－6＝0 或 x＝2. ......(12 分)
21.【解析】解：（1）∵三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面
且 AB＝AC=2，∠BAC＝90°，A′A=2
∴由三棱柱体积公式得：V= ×2×2×2=4 ... .......( 3 分)
(2)证明 (方法一)取 A′B′的中点 E，连接 ME，NE，
∵M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′.
∵A′C′⊂平面 AA′C′C，A′A⊂平面 AA′C′C，
∴ME∥平面 AA′C′C，NE∥平面 AA′C′C，
又 ME∩NE＝E，
∴平面 MNE∥平面 AA′C′C，
∵MN⊂平面 MNE，∴MN∥平面 AA′C′C. .......(7 分)
(方法二)连接 B′A，AC，说明 M 在 B′A 上，证明 MN∥AC；
即可证得 MN∥平面 AA′C′C.
(3)连接 BN，设 AA′＝a，
则由题意知 BC＝2 2， NC＝BN，
∵三棱柱 ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，
∴平面 A′B′C′⊥平面 BB′C′C，
∵AB＝AC，∴A′B′＝A′C′，又点 N 是 B′C′的中点，
∴A′N⊥平面 BB′C′C，∴CN⊥A′N.
要使 CN⊥平面 A′MN，只需 CN⊥BN 即可， .......(10 分)
又∵NC＝BN，∴NC＝BN= 2AA′＝ 2 a
∴NC2＋BN2＝BC2，即 2（ 2 a）2＝（2 2）2，
∴a＝ 2，则 AA′＝ 2时，CN⊥平面 A′MN. .......(12 分)
2
122.【解析】解：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位长度为 1 海里
则坐标平面中 AB = 10，AC = 2 3 A(0,0)，E(0, －4 3)
再由方位角可求得：B(5,5 3)，C(3, 3) .....( 3
分)
所以|BC| = (5－3)2 + (5\푟 (3)－\푟 (3))2= 2 13
又因为 12 分钟=0.2 小时
则 V=2 13÷0.2=10 13(海里/小时)
所以该船行驶的速度为 10 13海里/小时 .....( 6
分)
（2）直线 BC 的斜率为 k=5 3－ 3
5－2 = 2 3
所以直线 BC 的方程为：y－ 3 = 2 3(x－3)
即 2 3x－y－5 3 =0 .....(9
分)
所以 E 点到直线 BC 的距离为|4 3－5 3|
13 =
3
13 < 1
即该船不改变航行方向行驶时离 E 点的距离小于 1 海里，
所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 .....(12
分)
A
B
A
C
A
E
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