数学试题（高 2022 级）
（本试卷共 4 页，总分 150 分，考试时间 120 分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准
考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、
笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题
卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A．1 B．0 C．2 D．
3．函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4．下列函数中哪个与函数 相等（）
A． B． C． D．
A．—1 B． C．3 D．—5
6.已知函数 是定义 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
7．已知函数 是幂函数，若 为增函数，则 等于（ ）
A． B． C．1 D． 或 1
8.函数 的值域是( )
A． B． C． D．
9.设 是集合 到 的映射，其中 ， ，且
{ }0,1,2,3A = { }1,1B = − A B =
{ }1,1− { }1,0− { }1,01− ， { }1
2( 1) 2 2f x x x+ = − + (1)f =
2−
( ) ( )lg 1 1f x x x= + + −
( ]1,1− ( )1,1− ( ],1−∞ ( ),1−∞
y x=
2( )y x= 5 5y x= 2y x=
3
2
xy x
=
的值为（）计算式子： 2ln
5
1lg2lg.5 e−−
1
2
( )f x [ ]1,1− ( 1) (1 3 )f x f x− < − x
1( , )2
−∞ 1( , )2
+∞ 1(0, )2
10, 2
( )23 2 mf x m m x（ ）= − ( )f x m
1
3
− 1− 1
3
−
16 4xy = −
[0, )+∞ [0,4) [0,4] (0,4)
:f A B→ A B { }| 0A x x= > B = R，则 中元素是 2 的元素为（ ）．
A.3 或-1 B.-1 C. 3 D.
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二、填空题（每小题 5 分，4 个小题共 20 分）
13.若函数 如下表所示：
14 ． 含 有 三 个 实 数 的 集 合 既 可 表 示 成 ， 又 可 表 示 成 ， 则
．
2: 2 1f x x x→ − − B
2−
[ ] 00210ln:.10 xxxxxx 的解为的方程的最大整数。若关于表示不超过设 =−+
[ ] （）则 =0x
[ ) 都有：且对任意上的函数已知定义在 .,2022,),(.11 2121 xxxxxfR ≠+∞∈
为偶函数，则（）若 )2022(,0)()(
21
21 ++ + ( ) ( )1 2f x f x∴ >
( )f x∴ ( )0,+∞ ( ( )) f x ( )0,+∞
( )f x∴ [ ]1,17 ( ) 11 2f = ( ) 1117 6f =解： 函数的对称轴是 …………1 分
即 时，函数在 递增，
时，函数值最小值，函数的最小值是 2m………3 分
时，函数在 递减，在 递增，
时，函数值最小，最小值是 ………5 分
时，函数在 递减，
时，函数值最小，函数的最小值是 ………7 分
综上： …………9 分
，由 得：若 ，解得： ，符合题意；
若 ，无解；若 ，无解； 故 ．…………12 分
20. （本小题满分 12 分）
解：（I）令 得 ，得 . 令 得
，
令 得 ...............2 分
证明：任取 且 ，则 ，
因为 ，即 .........3 分
令 则 .
由已知 时， 且 ，则 ，
所以 ， ，所以函数 在 R 上是减函数 .........6 分
（注：本小问已可用甲法增量法证明）
( ) [ ]21 4 2 4y x mx x= + − ∈， ，
2
mx = −
22
m① − ≤ 4m ≥ − [ ]2 4，
2x =
2 42
m< −
( ) ( ) ( )f x y f x f y+ − = ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f x y x f y + − = + − =
2 1x x y x x= + =， ， ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x f x x− = −
0x > ( ) 0f x < 2 1 0x x− > ( )2 1 0f x x− <
( ) ( )2 1 0f x f x− < ( ) ( )2 1f x f x< ( )f x令 代入 ， 得 ，
所以 ，故 为奇函数. ...............7 分
(II)由
= =
...............10 分
令 ,即 ，因为函数 在 R 上是减函数，
所以 ，即 ...............11 分
所以当 时，函数 最多有 4 个零点. ...............12 分
21. （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）当 时， ；……….2 分
当 时， ；……….4 分
当 时， ；……….6 分
∴ ．……….7 分
（Ⅱ）当 时， ， ，
自来水费： （元），水资源费： （元），
污水处理费： （元），……….12 分
22. （本小题满分 10 分）
解：（1）由 ，设 ，令 ，且
，
∵ ；
,y x= − ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ( ) ( ) ( )0 0f x f x f+ − = =
( ) ( )f x f x− = − ( )f x
( ) ( ) ( )2 2g x f x m f x= − −
( ) ( )2 2f x m f x− + − ( ) ( ) ( )2f x m f x f x− + − + −
( )2 2f x x m= − −
( ) 0g x = ( )2 2 0 0f x x m f− − = = （ ） ( )f x
2 2 0x x m− − = 2 2m x x= −
[ )+∞−−= ,1,22 的值域为由其图像可得：令 yxxy
( )1,0m∈ − ( )g x
0 180x< ≤ 5y x=
180 260x< ≤ ( )180 5 180 7 7 360y x x= × + − × = −
260x > ( )1460 260 9 9 880y x x= + − × = −
5 ,0 180,
7 360,180 260,
9 880, 260,
x x x N
y x x x N
x x x N
< ≤ ∈
= − < ≤ ∈
− > ∈
1040y = 7 360 1040x − = 200x =
1.57 200 314× =
1.36 200 272× =
( ) 1
2
1log 1
xg x x
+= − ( ) 1 211 1
xu x x x
+= = +− − 1 2,x x D∈
1 21 x x< <
( ) ( )1 2
1
21 1u x u x x
− = + −
( )
( )( )2 1
2 1 2
221 01 1 1
x x
x x x
−− − = >− − −∴ 在 上是减函数，……….2 分
∴ 在 上是单调递增函数，……….3 分
……….4 分
……….5 分
……….6 分
设 ，则
∴ 在 上单调递减， 在 上单调递增，
∴ 在 上的最大值为 -6 在 上的最小值为 2，
.……….10 分
( ) 1
1
xu x x
+= −
( )1,+∞
( ) 1
2
1log 1
xg x x
+= − ( )1,+∞
上是单调递增，在区间
−
+=∴ 3,15
17
1
1log)(
2
1 x
xxg
1)(4),3()()15
17( −≤≤−≤≤∴ xggxgg 即 [ ]1,43,15
17)( −−
∴ 上的值域为在xg
4)( ≤∴ xg [ )∞+
，上的所有值域的集合为在区间故函数 43,15
17)(xg
[ ) 因此：即：上恒成立，，在由题意知）（ .414.4)(404)(:2 2 ≤++≤−≤≤−∴∞+≤ −− xx eaexfxf
[ )上恒成立。，在 ∞+−≤≤−− −− 035 xxxx eeaee
minmax )3()5 xxxx eeaee −− −≤≤−−∴（
[ ) 1,0,13)(,15)(, ≥+∞∈−=−−== txtttpttthet x 知由设
1 21 t t≤ <
.0)13)(()()(,0)15)(()()(
21
2121
21
21
2112
21 −−=−
tt
tttttptptt
ttttthth
( )h t [ )1,+∞ ( )p t [ )1,+∞
( )h t [ )1,+∞ ( )1 5h = − ( )p t [ )1,+∞ ( )1 1p =
[ ]2,6.26 −≤≤−∴ 的取值范围故aa
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