高三数学试题第 1 页（共 4 页）
南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试
数 学 试 题
(总分 160 分，考试时间 120 分钟)
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上．
参考公式：
柱体体积公式： ，锥体体积公式： ，其中 为底面积， 为高.
样本数据 的方差 ，其中 .
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答
题纸的指定位置上）
1．已知集合 ，全集 ，则 UA= ▲ ．
2．设复数 ，其中 为虚数单位，则 ▲ ．
3．学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲
被选中的概率为 ▲ ．
4．命题“ ， ”的否定是 ▲ 命题.(填“真”或
“假”)
5．运行如图所示的伪代码，则输出的 的值为 ▲ ．
6．已知样本 的平均数是 ，且 ，则此样本的方差是
▲ ．
7．在平面直角坐标系 中，若抛物线 上的点 到其焦点的距离为 ，则点 到
点 的距离为 ▲ ．
V Sh= 1
3V Sh= S h
1 2, , , nx x x⋅⋅⋅ 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
(0, )A = +∞ U R=
2z i= + i z z⋅ =
Rθ∀ ∈ cos sin 1θ θ+ >
I
yx,,9,8,7 9 110=xy
xOy 2 4y x= P 3 P
O
0
0
10
1
S
I
While S
S S I
I I
End For
Print I
←
←
≤
← +
← +
(第 5 题图)高三数学试题第 2 页（共 4 页）
8．若数列 是公差不为 0 的等差数列， 、 、 成等差数列，则 的值为 ▲ ．
9．在三棱柱 中，点 是棱 上一点，记三棱柱 与四棱锥
的体积分别为 与 ，则 ▲ ．
10．设函数 （ ）的图象与 轴交点的纵坐标为 ，
轴右侧第一个最低点的横坐标为 ，则 的值为 ▲ ．
11．已知 是△ 的垂心（三角形三条高所在直线的交点）， ，
则 的值为 ▲ .
12．若无穷数列 是等差数列，则其前 10 项的和为 ▲ ．
13．已知集合 ，集合 ，
若 ，则 的最小值为 ▲ ．
14．若对任意实数 ，都有 成立，则实数 的值为 ▲ .
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分 14 分)
已知 满足 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ，且 ，求 ．
{ }na 1ln a 2ln a 5ln a 2
1
a
a
1 1 1ABC A B C− P 1CC 1 1 1ABC A B C−
1 1P ABB A− 1V 2V 2
1
V
V
=
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0,0 2
πω ϕ> < < y 3
2
y 6
π ω
H ABC 1 1
4 2AH AB AC= +
cos BAC∠
{ }cos( )nω ( )Rω ∈
{( , ) 16}P x y x x y y= + = 1 2{( , ) }Q x y kx b y kx b= + ≤ ≤ +
P Q⊆ 1 2
2 1
b b
k
−
+
]1,(−∞∈x 1122
≤+− axx
ex
a
ABC∆ sin( ) 2cos6B B
π+ =
6cos 3C = 3AC = AB
0, 3A
π ∈
( ) 4cos 5B A− = sin A高三数学试题第 3 页（共 4 页）
16．(本小题满分 14 分)
如图，长方体 中，已知底面 是正方形，点 是侧棱 上的
一点．
（1）若 //平面 ，求 的值；
（2）求证： ．
(第 16 题图)
17．(本小题满分 14 分)
如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶．具体做
法是从 中裁剪出两块全等的圆形铁皮 与 ，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形
做圆柱的侧面（接缝忽略不计）， 为圆柱的一条母线，点 、 在 上，
点 、 在 的一条直径上， 、 分别与直线 、 相切，都与 内切．
（1）求圆形铁皮 半径的取值范围；
（2）请确定圆形铁皮 与 半径的值，使得油桶的体积最大．(不取近似值)
(第 17 题图)
1111 DCBAABCD − ABCD P 1CC
1AC PBD PC
PC1
PABD 1⊥
O P Q
ABCD AB A B O
P Q O P Q BC AD O
P
P Q高三数学试题第 4 页（共 4 页）
18．(本小题满分 16 分)
设椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率是 ，动点
在椭圆 上运动，当 轴时， ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）延长 分别交椭圆 于点 （ 不重合），设 ，
，求 的最小值．
(第 18 题图)
19．(本小题满分 16 分)
定义:若无穷数列 满足 是公比为 的等比数列，则称数列 为“
数列”．设数列 中 ， ．
（1）若 ，且数列 是“ 数列”，求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，请判断数列 是否为
“ 数列”，并说明理由；
（3）若数列 是“ 数列”，是否存在正整数 使得 ?若存
在，请求出所有满足条件的正整数 ;若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分 16 分)
若函数 为奇函数，且 时 有极小值 ．
（1）求实数 的值；
（2）求实数 的取值范围；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围．
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F e 0 0( , )P x y
C 2PF x⊥ 0 1x = 0y e=
C
1 2,PF PF C ,A B ,A B 1 1AF F Pλ=
2 2BF F Pµ= λ µ+
y
{ }na { }1n na a+ − q { }na ( )M q
{ }nb 1 1b = 3 7b =
2 4b = { }nb ( )M q { }nb
{ }nb n nS 1
12 2n nb S n λ+ = − + { }nb
( )M q
{ }nb ( )2M ,m n 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b
< <
,m n
( ) x xf x e ae mx−= − − ( )m R∈ 0x x= ( )f x 0( )f x
a
m
0
2( )f x e
≥ − m高三数学试题第 5 页（共 4 页）
南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
（本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟）
21．[选做题]（在 A、B、C 三个小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写
在答题纸的指定区域内）
A.（选修 4-2：矩阵与变换）
已知圆 经矩阵 变换后得到圆 ，求实数 的值.
B．（选修 4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，直线 被曲线 截得的弦为 ，当
是最长弦时，求实数 的值.
C．(选修 4-5：不等式选讲）
已知正实数 满足 ，求 的最小值.
C 3
3 2
aM
= −
2 2: 13C x y′ + = a
cos 2 sin mρ θ ρ θ+ = 4sinρ θ= AB AB
m
, ,a b c 1 2 3 1a b c
+ + = 2 3a b c+ +高三数学试题第 6 页（共 4 页）
[必做题]（第 22、23 题，每小题 10 分，计 20 分．请把答案写在答题纸的指定区域内）
22．（本小题满分 10 分）
如图， 、 是圆柱的两条母线， 、 分别经过上下底面圆的圆心 、 ，
是下底面与 垂直的直径， .
（1）若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）若二面角 的大小为 ，求母线 的长.
23．（本小题满分 10 分）
设 ( )，记 .
（1）求 ；
（2）记 ，求证： 恒成立.
1AA 1BB 1 1A B AB 1O O
CD AB 2CD =
1 3AA = 1AC 1B D
1 1A CD B− −
3
π
1AA
2
2 2
0 1 2 2
1
(1 2 )
n
i n
n
i
x a a x a x a x
=
− = + + + +∑ n N ∗∈ 0 2 4 2n nS a a a a= + + + +
nS
1 2 3
1 2 3 ( 1)n n
n n n n n nT S C S C S C S C= − + − + + −
3| | 6nT n≥高三数学试题第 7 页（共 4 页）
南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分.
1． 2． 3． 4．真 5． 6．
7．
8． 9． 10． 11． 12．10 13．
14．
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．解：（1）由 可知 ，
移 项 可 得 ， 又 ， 故
， ……………………………………………2 分
又 由 ， 可 知
， ……………………………4 分
故 在 中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ， 所 以
. ………………7 分
（2）由（1）知 ，所以 时， ，
由 即 可 得
， ……………10 分
∴
.…14 分
( ,0]−∞ 5 2
3 6 2
2 3
3 2
3 7 3
3 4
1
2
−
sin( ) 2cos6B B
π+ = BBB cos2cos2
1sin2
3 =+
3tan =B ),0( π∈B
3
π=B
6cos 3C = ),0( π∈C
3
3cos1sin 2 =−= CC
ABC∆
C
c
B
b
sinsin
=
C
ABAC
sin
3sin
=π
2=AB
3
π=B 0, 3A
π ∈ )3,0(3
ππ ∈− A
( ) 4cos 5B A− =
5
4)3cos( =− A
π
5
3)3(cos1)3sin( 2 =−−=− AA
ππ
10
334
5
3
2
1
5
4
2
3)3sin(3cos)3cos(3sin))3(3sin(sin
−=⋅−⋅=−−−=−−= AAAA
ππππππ高三数学试题第 8 页（共 4 页）
16．（1）证明：连结 交 于点 ，连结 ，
又因为 平面 ， 平面
平面 平面 ，所以 ……………3 分
因为四边形 是正方形，对角线 交 于点 ，
所以点 是 的中点，所以 ，
所以在 中， . ……………6 分
（2）证明：连结 .
因为 为直四棱柱，所以侧棱 垂直于底面 ，
又 平 面 ， 所 以
．…………………………………………………………………8 分
因 为 底 面 是 正 方 形 ， 所 以
． ……………………………………………………10 分
又 ， 面 ， 面 ，
所 以 面
. ……………………………………… …………………………………………12 分
又因为 ,所以 ，又因为 ，
所 以 A1P 面 ACC1A1, 所 以
． ………………………………………………14 分
17．解：（1）设 半径为 ，则 ，
所 以 的 周 长
， ………………………………………………4 分
解 得 ， 故 半 径 的 取 值 范 围 为
. ……………………………………………6 分
（ 2 ） 在 （ 1 ） 的 条 件 下 ， 油 桶 的 体 积
， ……………………………………8 分
设函数 ，
所以 ，由于 ，
所以 在定义域上恒成立，
故 在定义域上单调递增，
1 1PC AO
PC OC
= =
AC BD O OP
1 / /AC PBD ⊂1AC 1ACC
1ACC OPBDP = 1 / /AC OP
ABCD AC BD O
O AC AO OC=
1ACC∆
1 1AC
1 1 1 1ABCD A B C D− 1C C ABCD
BD ⊂ ABCD
1CC BD⊥
ABCD
AC BD⊥
1AC CC C= AC ⊂ 1 1ACC A 1CC ⊂ 1 1ACC A
BD ⊥
1 1ACC A
1 1 1 1,P CC CC ACC A∈ ⊂ 面 1 1P ACC A∈面 1 1 1A ACC A∈面
1BD A P⊥
P r )2(4 rAB −=
P
2)2(41622 rBCr −−≤=π
4
16
2 +≤ πr P
]4
16,0( 2 +π
)2(4 22 rrABrV −=⋅= ππ
),2()( 2 xxxf −= ]4
16,0( 2 +∈ πx
234)( xxxf −=′
3
4
4
16
2
( )f x高三数学试题第 9 页（共 4 页）
即 当 时 ， 体 积 取 到 最 大
值. ………………………………………………13 分
答 ： 半 径 的 取 值 范 围 为 ， 当 时 ， 体 积 取 到 最 大
值. ………………………14 分
18. 解 ： （ 1 ） 由 当 轴 时 ， 可 知
， …………………………………………………2 分
将 ， 代入椭圆方程得 （※），
而 ， ，代入（※）式得 ，
解 得 ， 故 ， ∴ 椭 圆 的 方 程 为
.…………………………………………………4 分
（2）方法一：设 ，由 得 ，故 ，
代 入 椭 圆 的 方 程 得
（＃）， ………………………………………………8 分
又由 得 ，代入（＃）式得 ，
化简得 ，即 ，显然 ，
∴ ， 故
.……………………………………………………………………12 分
同理可得 ，故 ，
当 且 仅 当 时 取 等 号 ， 故 的 最 小 值 为
. ………………………………………………16 分
方 法 二 ： 由 点 ， 不 重 合 可 知 直 线 与 轴 不 重 合 ， 故 可 设 直 线 的 方 程 为
，
联立 ，消去 得 （☆），
4
16
2 += πr
P ]4
16,0( 2 +π 4
16
2 += πr
2PF x⊥ 0 1x =
1c =
0 1x = 0y e=
2
2 2
1 1e
a b
+ =
1ce a a
= = 2 2 2 2 1b a c a= − = − 2 2 2
1 1 1( 1)a a a
+ =−
2 2a = 2 1b = C
2
2 12
x y+ =
1 1( , )A x y 1 1AF F Pλ= 1 0
1 0
1 ( 1)x x
y y
λ
λ
− − = +
− =
1 0
1 0
1x x
y y
λ λ
λ
= − − −
= −
2
20
0
( 1) ( ) 12
x y
λ λ λ− − − + − =
2
20
0 12
x y+ =
2
2 0
0 1 2
xy = − 2 2 2
0 0
1( 1) 2 (1 ) 22x xλ λ λ+ + + − =
2
03 2 1 2 ( 1) 0xλ λ λ λ+ − + + = 0( 1)(3 1 2 ) 0xλ λ λ+ − + = 1 0λ + ≠
03 1 2 0xλ λ− + =
0
1
3 2x
λ = +
0
1
3 2u x
= − 2
0 0 0
1 1 6 2
3 2 3 2 9 4 3x x x
λ µ+ = + = ≥+ − −
0 0x = λ µ+
2
3
A B PA x PA
1x my= −
2
2 12
1
x y
x my
+ =
= −
x 2 2( 2) 2 1 0m y my+ − − =高三数学试题第 10 页（共 4 页）
设 ，则 与 为方程（☆）的两个实根，
由 求 根 公 式 可 得 ， 故 ， 则
，……………………8 分
将点 代入椭圆的方程得 ，
代入直线 的方程得 ，∴ ，
由 得 ，故
.……………………………………………
……12 分
同理可得 ，故 ，
当 且 仅 当 时 取 等 号 ， 故 的 最 小 值 为
. ………………………………………………16 分
注：（1）也可设 得 ，其余同理.
（2）也可由 运用基本不等式求解 的最小值.
19．解：（1）∵ ，且数列 是“ 数列”，
∴ ， ∴ ， ∴
，………………………………2 分
故数列 是等差数列，公差为 ，
故 通 项 公 式 为 ， 即
. ………………………………………………4 分
（2）由 得 ， ，故 .
1 1( , )A x y 1y 0y
2
0,1 2
2 2
2
m my m
± += + 0 1 2
1
2y y m
−= +
1 2
0
1
( 2)y m y
−= +
0 0( , )P x y
2
20
0 12
x y+ =
PA 0 0 1x my= − 0
0
1xm y
+=
1 1AF F Pλ=
1 0y yλ− = 1
0
y
y
λ = − 2 2
2 200
0
0
1 1
1( 2) [( ) 2]xm y yy
= = ++ +
2 2
2 20 0 0
0 0
1 1 1
1( 1) 2 3 2( 1) 2(1 )2
x y xx x
= = =+ + ++ + −
0
1
3 2u x
= − 2
0 0 0
1 1 6 2
3 2 3 2 9 4 3x x x
λ µ+ = + = ≥+ − −
0 0x = λ µ+
2
3
( 2 cos ,sin )P θ θ 1
3 2 2 cos
λ
θ
=
+
1 1 6λ µ+ = λ µ+
2 4b = { }nb ( )M q
3 2
2 1
7 4 14 1
b bq b b
− −= = =− −
1
1
1n n
n n
b b
b b
+
−
− =−
1 1n n n nb b b b+ −− = −
{ }nb 2 1 3b b− =
1 ( 1) 3nb n= + − ×
3 2nb n= −
1
12 2n nb S n λ+ = − + 2
3
2b λ= + 3 4 3 7b λ= + = 1λ =高三数学试题第 11 页（共 4 页）
方法一：由 得 ，
两式作差得 ，即 ，
又 ，∴ ，∴ 对 恒成立，……………………6 分
则 ，而 ，∴ ，∴ ，
∴ 是 等 比 数
列， ………………………………………………………………………………8 分
∴ ， ∴ ， ∴
，
∴ 是公比为 的等比数列，故数列 是“ 数列”.………………………………
10 分
方法二：同方法一得 对 恒成立，
则 ，两式作差得 ，而 ，
∴ ， ∴ ， 以 下 同 方 法
一. ……………………………………10 分
（3）由数列 是“ 数列”得 ，
又 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴当 时，
，
当 时 上 式 也 成 立 ， 故
， ……………………………………12 分
假设存在正整数 使得 ，则 ，
2n ≥
1
12 12n nb S n+ = − + 2 1
12 ( 1) 12n nb S n+ += − + +
2 1 1
12 2n n nb b b+ + +− = − 2 1
13 2n nb b+ += −
2
5
2b = 2 1
13 2b b= − 1
13 2n nb b+ = − n N ∗∈
1
1 13( )4 4n nb b+ − = − 1
1 3 04 4b − = ≠ 1 04nb − ≠ 1
1
4 31
4
n
n
b
b
+ −
=
−
1{ }4nb −
11 1 1(1 ) 3 34 4 4
n n
nb −− = − × = × 1 134 4
n
nb = × +
2 1
2 1
11
1 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4 31 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4
n n
n n
n nn n
b b
b b
+ +
+ +
++
× + − × +− = =− × + − × +
{ }1n nb b+ − 3 { }nb ( )M q
1
13 2n nb b+ = − n N ∗∈
2 1
13 2n nb b+ += − 2 1 13( )n n n nb b b b+ + +− = − 2 1
3 02b b− = ≠
1 0n nb b+ − ≠ 2 1
1
3n n
n n
b b
b b
+ +
+
− =−
{ }nb ( )2M 1
1 2 1( ) 2n
n nb b b b −
+ − = − ×
3 2
2 1
2b b
b b
− =−
2
2
7 21
b
b
− =− 2 3b = 2 1 2b b− = 1 2n
n nb b+ − =
1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b− − −= − + − + + − +
1 22 2 2 1 2 1n n n− −= + + + + = −
1n =
2 1n
nb = −
,m n 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b
< < 4039 2 1 4040
2019 2 1 2019
m
n
−< >− 2 1 2 1m n− > − m n> ,m n 1m n− ≥
2 1 2 (2 1) 2 1 2 1 404022 1 2 1 2 1 2019
m m n n m n m n
m n
n n n
− − −
−− − + − −= = + = =
+ ⋅ − +
3m = 3
3m =
1 1A CD B− −
3
π
3m =
1=x 0 1 2 2 0na a a a+ + + + =
1−=x 1 2 2
0 1 2 3 2 1 2
33 3 3 (9 1)2
n n
n na a a a a a−− + − + − + = + + + = −
0 2 4 2
32( ) (9 1)2
n
na a a a+ + + + = −高三数学试题第 16 页（共 4 页）
.…………………………………3 分
（2）
…………………………………………………………………………
………7 分
要证 ，即证 ，只需证明 ，即证 ，
当 时， 显然成立；
当 时， ，即 ，
∴ 对 恒成立.
综 上 ， 恒 成
立.……………………………………………………………………………………10 分
注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明 恒成立，请参照评分.
3 (9 1)4
n
nS = −
1 2 3
1 2 3 ( 1)n n
n n n n n nT S C S C S C S C= − + − + + −
{ }1 1 2 2 3 3 1 2 33 [ 9 9 9 ( 1) 9 ] [ ( 1) ]4
n n n n n
n n n n n n n nC C C C C C C C= − + − + + − − − + − + + −
{ }0 0 1 1 2 2 3 3 0 1 2 33 [9 9 9 9 ( 1) 9 ] [ ( 1) ]4
n n n n n
n n n n n n n n n nC C C C C C C C C C= − + − + + − − − + − + + −
0 0 1 1 2 2 3 33[9 9 9 9 ( 1) 9 ]4
n n n
n n n n nC C C C C= − + − + + −
0 0 1 1 2 23[ ( 9) ( 9) ( 9) ( 9) ]4
n n
n n n nC C C C= − + − + − + + −
3 3[1 ( 9)] ( 8)4 4
n n= + − = × −
3| | 6nT n≥ 3 84
n× 36n≥ 1 38n n− ≥ 12n n− ≥
1,2n = 12n n− ≥
3n ≥ 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 12 1 ( 1)n n
n n n n nC C C C C n n− −
− − − − −= + + + ≥ + = + − =
12n n− ≥
12n n− ≥ *n N∈
3| | 6nT n≥
12n n− ≥
微信/支付宝扫码支付