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高三文科数学答案第 1 页(共 5 页) 安庆二中 2019-2020 学年度第一学期期末考试 理科数学参考答案 一、选择题： 题号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 答案 C C D C A A B C D A C B 二、填空题： 13. 若 1x  或 2y  ，则 3xy 14. 6 15.  3,2 6 16. 35( , )44 三、解答题： 17. 解：因为当  1,2x 时，不等式 2 2 2 0x a x    恒成立 所以当 时，不等式 22axx恒成立 令   2g x xx， 显然函数  gx在区间 1,2 上单调递减，且    11g x g 所以 121 2aa   ，即命题 1: 2pa 关于 x 的不等式   221 1 2 0a x a x       的解集为 ，则 ①当 1a  时，   221 1 2 0 2 0a x a x          不成立 满足不等式的解集为 ； ②当 1a  时，   22 11 1 2 0 2a x a x x          不是 ，不满足题意； ③当 2 10a  时，不等式   221 1 2 0a x a x       的解集恒不为 ，不满足题意； ④当 2 10a  时，不等式 的解集为 高三文科数学答案第 2 页(共 5 页)       2 2 2 10 7 191 4 1 2 0 a a aa              ； 综上，命题 7:19qa   若 p 真 q 假，则 1 2 7 19 a aa       或 1a； 若 假 真，则 1 2 71 927 19 a a a          ； 综上，实数 a 的取值范围是  71, 1,92   18. 解：圆心퐶(1,1)到直线푥 + 푦 − 4 = 0的距离푑 = |1+1−4| √2 = √2． 因为直线푥 + 푦 − 4 = 0与圆 C 相切，所以푟 = 푑 = √2． 所以圆的标准方程为：(푥 − 1)2 + (푦 − 1)2 = 2． ⑵①当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程：푦 − 3 = 푘(푥 − 2)， 即：푘푥 − 푦 + 3 − 2푘 = 0，圆心到直线 l 的距离푑 = |2−푘| √푘2+1 又푑2 + 1 = 2，所以푑 = 1．解得：푘 = 3 4 ． 所以直线 l 的方程为：3푥 − 4푦 + 6 = 0． ②当 l 的斜率不存在时，푥 = 2，代入圆的方程可得：(푦 − 1)2 = 1， 解得푦 = 0或 2，可得弦长= 2，满足条件． 故 l 的方程为：3푥 − 4푦 + 6 = 0或푥 = 2． 19. 解：⑴由10 × (0.010 + 0.015 + 푎 + 0.030 + 0.010) = 1，得푎 = 0.035． ⑵平均数为；20 × 0.1 + 30 × 0.15 + 40 × 0.35 + 50 × 0.3 + 60 × 0.1 = 41.5岁； 设中位数为 x，则10 × 0.010 + 10 × 0.015 + (푥 − 35) × 0.035 = 0.5，所以푥 ≈ 42.1岁． ⑶第 1，2 组的人数分别为0.1 × 200 = 20人，0.15 × 200 = 30人， 高三文科数学答案第 3 页(共 5 页) 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人，3 人， 分别记为푎1，푎2，푏1，푏2，푏3． 设从 5 人中随机抽取 3 人，为： (푎1,푎2, 푏1)，(푎1, 푎2,푏2)，(푎1,푎2, 푏3)，(푎1, 푏1, 푏2)，(푎1, 푏1, 푏3)，(푎1, 푏2, 푏3)， (푎2,푏1, 푏2)，(푎2, 푏1,푏3)，(푎2, 푏2, 푏3)，(푏1, 푏2, 푏3)，共 10 个基本事件， 从而第 2 组中抽到 2 人的概率푝 = 6 10 = 3 5 ． 20. 解：⑴设点푃的坐标为（푥0，푦0），则푦0 2 = 4푥0，所以点푃到直线푚的距离： 2 0 2 0 000 2 ( ) 422 24 22 2 4 2 y y yxyd      当且仅当 0 2y  时取得最小值，此时点 P 的坐标为 1,2 ； ⑵设点 M 的坐标为（푥1，푦1）因为 3PF FM , 又  1,2P ，  1,0F ，可得  21, 3M  设点퐴（푥2，푦2），点퐵（푥3，푦3），于是{푦2 2 = 4푥2 푦3 2 = 4푥3 两式相减可得：(푦2 + 푦3)(푦2 − 푦3) = 4（푥2 − 푥3），整理得：푦2−푦3 푥2−푥3 = 4 푦2+푦3 又푦2 + 푦3 = − 4 3 ，所以푘 = −3， 所以直线푙：y + 2 3 = −3 ∙ （푥 − 1），整理得：9푥 + 3푦 − 7 = 0 21. 解：⑴证明：因为矩形 ABCD 中，퐴퐵 = 2，퐴퐷 = 1，M 为 DC 的中点 所以퐴푀 = 퐵푀 = √2，从而퐴푀2 + 퐵푀2 = 퐴퐵2，所以퐴푀 ⊥ 퐵푀． 由于平面퐴퐷푀 ⊥平面 ABCM ，平面퐴퐷푀 ∩平面퐴퐵퐶푀 = 퐴푀， 所以퐵푀 ⊥平面 ADM，又퐴퐷 ⊂平面 ADM，可得퐴퐷 ⊥ 퐵푀； ⑵分别取 AM，AB 的中点 O 和 N，则푂푁//퐵푀， 在⑴中证明了퐵푀 ⊥平面 ADM， 高三文科数学答案第 4 页(共 5 页) 所以푂푁 ⊥平面퐴퐷푀，푂푁 ⊥ 퐴푀，푂푁 ⊥ 푂퐷 因为퐴퐷 = 퐷푀，所以퐷푂 ⊥ 퐴푀 建立空间直角坐标系如图： 则퐷 (0，0， √2 2 ) ，퐴 (√2 2 ，0，0) ，퐵（ − √2 2 ，√2，0） 所以퐷퐵 → = (− √2 2 ，√2， − √2 2 )， 因为퐸是线段 DB 上的一个动点，所以퐷퐸 → = 휆퐷퐵 → = (− √2 2 휆，√2휆， − √2 2 휆)， 则퐸 (− √2 2 휆，√2휆， √2 2 − √2 2 휆)， 所以퐴퐸 → = (− √2 2 휆 − √2 2 ，√2휆， √2 2 − √2 2 휆)， 显然푛⃗ = （0，1，0）是平面 ADM 的一个法向量． 点 E 到平面 ADM 的距离푑 = 퐴퐸 → ⋅푛→ |푛→| = √2휆， 则푉푀−퐴퐷퐸 = 1 3 푆퐴퐷푀 ⋅ 푑 = 1 3 × 1 2 × 1 × 1 × √2휆 = √2 12 ， 解得휆 = 1 2 ，则 E 为 BD 的中点． ⑶因为퐷 (0，0， √2 2 ) ，푀 (− √2 2 ，0，0)，퐶 (−√2， √2 2 ，0)， 则퐷푀 → = (− √2 2 ，0， − √2 2 )，푀퐶 → = (− √2 2 ， √2 2 ，0)， 高三文科数学答案第 5 页(共 5 页) 设푚⃗⃗ = (푥，y，푧)是平面 CDM 的法向量， 则{ 퐷푀 → ⋅ 푚→ = − √2 2 푥 − √2 2 푧 = 0 푀퐶 → ⋅ 푚→ = − √2 2 푥 + √2 2 푦 = 0 ， 令푥 = 1，则푦 = 1，푧 = −1，即푚⃗⃗ = （1，1，−1）， 易知푛⃗ = （0，1，0）是平面 ADM 的法向量， 则cos < 푚⃗⃗ , 푛⃗ >= 푚→ ⋅푛→ |푚→ ||푛→| = 1 √3 = √3 3 ． 则sin < 푚⃗⃗⃗ , 푛⃗⃗ >= √1 − (√3 3 )2 = √1 − 3 9 = √6 9 = √6 3 ． 所以二面角퐴 − 퐷푀 − 퐶的正弦值为√6 3 . 22. 解：⑴依题意可设椭圆方程为 ， ． 设右焦点 ，由题设条件： ，解得 ， ． 故所求椭圆方程为： ； ⑵设 ， ， 联立 ，得 ． ， ， 由题设知， ， 直线 的方程为 ． 令 ，得 ． 点 P 坐标为 ． 高三文科数学答案第 6 页(共 5 页) ． 当且仅当 ，即 时等号成立 ． 的面积的最大值为 1．