铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试理科数学试题 考试时间：2019 年 1 月
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铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试
数学理科试题
试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷 选择题部分
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分。）
1. 98 与 63 的最大公约数为 ，二进制数 化为十进制数为 ，则 （ ）
A．60 B．58 C．54 D．53
2.若命题“若 ,则 ”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是( )
A.若 ,则 B.若 ,则 C.若 ,则 D.若 ,则
3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 C 变为曲线 ，则曲线 C 的
方程为（ ）
A． B． C． D．
4. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学
家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详
细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该
大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影区域概率是（ ）
A. B. C. D.
5.袋中装有 3 个黑球、2 个白球、1 个红球，从中任取两个，互斥而不对立的事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”和“没有黑球” B.“至少有一个白球”和“至少有一个红球”
C.“至少有一个白球”和“红球黑球各有一个 D.“恰有一个白球”和“恰有一个黑球”
6.“ ”是“方程 表示椭圆”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80 名学生,其数学
成绩(均为整数)的频率分布直方图如右图,估计这次测试中数学
成绩的平均分、众数、中位数分别是( )
A. 73.3 ，75，72 B. 72，75，73.3
C. 75，72，73.3 D. 75，73.3，72
8.阅读右侧程序框图,运行相应的程序,则输出 的值为( )
A. -10 B. 6 C. 14 D. 18
9.已知椭圆 上有一点 , , 是椭圆的左、右焦点,若
为直角三角形,则这样的点 有( )
A.3 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个
10.已知双曲线 与双曲线 ,给出下列说法,其中错误的是( )
A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D.它们的离心率相等
11.把正方形沿对角线 折起,当以 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 和平面
所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
12.已知抛物线： ，直线 及 上一点 ，抛物线上有一动点 P 到 的距离为 ，
P 到 的距离为 ，则 的最小值为（ ）
A.5 B. 6 C.7 D. 9
第ⅠⅠ卷 非选择题部分
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分。）
a (2)110011 b a b+ =
a M∈ b M∉
a M∉ b M∉ b M∉ a M∈ a M∉ b M∈ b M∈ a M∉
' 4
' 2
x x
y y
=
=
2 2 1x y− =
2 24 16 1x y− = 2 216 4 1x y− = 2 21 1 116 4x y− = 2 21 1 14 16x y− =
12
πα =
2
3
1
2
3
4
5
8
5 7m< <
22
17 5
yx
m m
+ =− −
S
2 2
14 2
x y+ = P 1F 2F
1 2F PF△ P
2 2
1 : 14 3
x yC − =
2 2
2 : 14 3
x yC − = −
AC , , ,A B C D BD
ABC
90 60 45 30
2 4y x= − : 3l x = l ( )3,3M l 1d
M 2d 1 2d d+铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试理科数学试题 考试时间：2019 年 1 月
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13.某班共有 56 名学生,现将所有学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知
12 号、26 号、54 号同学在样本中,则样本中还有一名同学的编号是 。
14.已知正方体 中，E 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 。
15.下列说法中正确的个数是 。
(1)．命题“若 ，则方程 有实数根”的逆否命题为“若方程 无实数
根，则 ”。
(2)．命题“ ， ”的否定“ ， ”。
(3)．若 为假命题，则 ， 均为假命题。
(4)．“ ”是“直线 ： 与直线 ： 平行”的充要条件。
16.已知双曲线 的右顶点为 ,抛物线 的焦点为 ,若在
的渐近线上存在点 使得 ,则 的离心率的取值范围是 。
三、解答题（第 17 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分。）
17.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线
交于 两点. (1).求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；(2).求 .
18.如表是某位同学连续 5 次周考的数学、物理的成绩，结果如下：
周次 1 2 3 4 5
数学( 分) 79 81 83 85 87
物理( 分) 77 79 79 82 83
参考公式： ， ， 表示样本均值．
(1).求该生 5 次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；
(2).一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个
变量 的线性回归方程．
19. 把一颗骰子投掷 2 次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 ，
试就方程组 解答下列各题：
(1)求方程组只有一个解的概率；(2)求方程组只有正数解的概率．
20.已知抛物线 的焦点为 上一点 到
焦点的距离为 .
1.求 的方程;
2.过 作直线 ,交 于 两点,若线段 中点的纵坐标为 ,求直线 的方程.
21. 如 图 ， 在 四 棱 柱 中 ， 点 和 分 别 为 的 中 点 , 侧 棱
.
（I）求证： //平面 ；（II）求二面角 的正弦值
22.设椭圆 的离心率 ,椭圆 上一点 N 到左、右两个焦点 的
距离之和是 4.
1.求椭圆 的方程
2.已知过 的直线与椭圆 交于 两点,且 两点与左、右顶点不重合,若 ,
求四边形 面积的最大值.
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1C D AE BC
0m > 2 0x x m+ − = 2 0x x m+ − =
0m ≤
x R∃ ∈ 2 0x x− > x R∀ ∈ 2 0x x− >
p q∧ p q
1a = 1l 2 1 0ax y+ − = 2l ( 1) 4 0x a y+ + + =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > A 2: 8C y ax= F
E P PA FP⊥ E
xOy l
21 2
2
2
x t
y t
= − +
=
t x
C 2
2 2
12
4sin 3cos
ρ θ θ= + l
C ,A B l C AB
x
y
( )( )
( )
1
1 1
2 22
1 1
n n
i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
− =
− − − ⋅
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= − ,x y
,x y
a b
3
2 2
ax by
x y
+ =
+ =
( )2: 2 0C y px p= > ,F C (3, )m
5
C
F l C , A B AB 1− l
1 1 1 1ABCD A B C D- M N 1 1C DB D和
1 , , 1A A ABCD AB AC AB⊥ ⊥ =底面 1 2, 5AC AA AD CD= = = =
MN ABCD 1 1D -AC B-
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2e = C 1 2,F F
C
2F C ,A B ,A B 1 1 1F M F A F B= +
1AMBF铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试理科数学试题 考试时间：2019 年 1 月
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铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试
数学理科试题答案
第Ⅰ卷 选择题部分
一、 选择题（每小题只有一个选项正确，每小题 5 分，共 60 分。）
B D B D C C B B C D C C
第ⅠⅠ卷 非选择题部分
二、 填空题（每小题 5 分，共 20 分。）
13 、40 14、 15、1 16、
三、解答题（第 17 题 10 分，其它每题 12 分，共 70 分。）
17. 答案：(1).易知直线 的方程为 ，曲线 C 的方程为 .
(2)将 ( 为参数)，代入 中得
设 所对应的参数分别为 . ， .
18. 答案：（1） ， ，
（2） 计算 ， ，所以回归系数为
， ，
故所求的线性回归方程为 ．
19. 解：事件(a，b)的基本事件有 36 个．
由方程组Error!可得Error!
(1)方程组只有一个解，需满足 2a－b≠0，
即 b≠2a，而 b＝2a 的事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)共 3 个，
所以方程组只有一个解的概率为 P1＝1－
3
36＝
11
12.
(2)方程组只有正数解，需 2a－b≠0 且
其包含的事件有 13 个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，
(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)．因此所求的概率为
13
36.
20. 1.法一:抛物线 : 的焦点 的坐标为 ,由已知
分解得 或 ∵ ,∴ ∴ 的方程为
法二:抛物线 的准线方程为 由抛物线的定义可知 解得
∴ 的方程为
2.法一:由(1)得抛物线 C 的方程为 ,焦点 设 两点的坐标分别为
,则 分两式相减。整理得 ∵线段 中点的纵
坐标为 ∴直线 的斜率 分直线 的方程为 即
2
3
31, 24
1y x= + 2 2
14 3
x y+ =
21 2
2
2
x t
y t
= − +
=
t
2 2
14 3
x y+ = 27 6 2 18 0, 0t t− − = ∆ >
,A B 1 2,t t 1 2 1 2
6 2 18,7 7t t t t+ = = − 2
1 2 1 2 1 2
24( ) 4 7AB t t t t t t= − = + − =
( )1 79 81 83 85 87 835x = + + + + = ( )1 77 79 79 82 83 805y = + + + + =
8.42 =s
( )( )5
1
30i i
i
x x y y
=
− − =∑ ( )5 2
1
40i
i
x x
=
− =∑
( )( )
( )
1
1
2
1
30 0.7540
n
i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
=
−
− −
= = =
−
∑
∑
80 0.75 83 17.75a y bx= − = − × =
0.75 17.75y x= +
2 2 ,6 2 0, 3 32 ,2 3 2 20, 3 3.2
即 或
a b a bb
a b a aa
b ba b
> − > < > −
C 2 2 ( 0)y px p= > F ( ,0)2
p
2
2 2
2 3
{
(3 ) 52
m p
p m
= ×
− + =
4p = 16p = − 0p > 4p = C 2 8y x=
:C F ,2
px = − 3 ( ) 52
p− − = 4p =
C 2 8y x=
2 8y x= (2,0)F , A B
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
1 1
2
2 2
8{
8
y x
y x
=
= 2 1
2 1 2 1
8y y
x x y y
− =− + AB
1− l
2 1
8 8 4( 1) 2ABk y y
= = = −+ − × l 0 4( 2)y x− = − −
4 8 0x y+ − =铁人中学 2018 级高二学年上学期期末考试理科数学试题 考试时间：2019 年 1 月
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分法二:由(1)得抛物线 的方程为 ,焦点 设直线 的方程为 由
消去 ,得 设 两点的坐标分别为 ,∵线段
中点的纵坐标为 ∴ 解得
分直线 的方程为 即
21. (I)证明：依题意，可得 为平面 的一个法
向量， ，由此可得， ，又因为直线
平面 ，所以 平面
(II) ， 设 为 平 面
的法向量，则 ，即 ，不妨设 ，可得 ，设
为平面 的一个法向量，则 ，又 ，得 ，
不 妨 设 ， 可 得 因 此 有 ， 于 是
，所以二面角 的正弦值为 .
22. 答案：1. ∵ 1∴ ∴椭圆 的方程为
2.设 , 则由 可得
即
又∵ ∴四边形 是平行四边形
设平行四边形 的面积为
则
设 ,则 ∴
∵ ∴ (当且仅当 时取等号)∴
∴四边形 面积的最大值为 6
C 2 8y x= (2,0)F l 2x my= +
2 8{
2
y x
x my
=
= + x 2 8 16 0y my− − = ,A B 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
AB 1 − 1 2 ( 8 ) 12 2
y y m+ − −= = − 1
4m = −
l 1 24x y= − + 4 8 0x y+ − =
(0,0,1)n = ABCD
50, ,02MN = −
0MN n⋅ =
MN ⊄ ABCD //MN ABCD
1 (1, 2,2), (2,0,0)AD AC= − =
1 ( , , )n x y z=
1ACD 1 1
1
0
0
n AD
n AC
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 0
x y z
x
− + =
= 1z = 1 (0,1,1)n =
2 ( , , )n x y z=
1ACB 2 1
2
0
0
n AB
n AC
⋅ =
⋅ =
1 (0,1,2)AB = 2 0
2 0
y z
x
+ =
=
1z = 2 (0, 2,1)n = − 1 2
1 2
1 2
10cos , 10
n nn n
n n
⋅= = −
⋅
1 2
3 10sin , 10n n =
1 1D AC B− − 3 10
10
2 4, 2a a= = 1
2e = 2 2 21, 3c b a c= = − = C
2 2
14 3
x y+ =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y : 1AB x my= + 2 2
1
{
14 3
x my
x y
= +
+ =
2 23( 1) 4 12my y+ + =
2 2(3 4) 6 9 0m y my+ + − = 2 2 236 36(3 4) 144( 1) 0m m m∆ = + + = + >
1 1 1F M F A F B= +
1AMBF
1AMBF S
1
2
1 2 1 2 2 2
1 12 2 | | | | 2 242 3 4 3 4ABF
mS S F F y y m m∆
∆ += = × × × − = × = ×+ +
2 1t m= + 2 2 1( 1)m t t= − ≥
2
124 24 13 1 3
tS t t t
= × = ×+ +
1t ≥ 13 4t t
+ ≥ 3
3t = ( ]0,6S ∈
1AMBF
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