一模理科数学试题.pdf

1 绝密★启用前 珠海市 2019～2020 学年度第一学期普通高中学业质量监测 高三理科数学试题 时间：120 分钟 满分 150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1．已知集合 { | ln 0}xA x  ， 2{ | 4 0}B x x   ，则 A B  A.  1,2 B. (1,2] C. (0,2] D.  1, 2．复数 1 2i1 iz z  ， ，其中i 为虚数单位，则 1 2 z z 的虚部为 A.1 B. 1 C.i D. i 3．已知函数   2f x x bx c   ， ,b c R ，则“ 0c  ”是“函数  f x 有零点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．一个几何体是由若干个边长为 1 的正方体组成的，其主视图和 左视图如图所示，且使得组成几何体的正方体个数最多，则该几何 体的表面积为 A.13 B.28 C.38 D.46 5．已知 na 是各项都为正数的等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 4 6S  ， 8 18S  ,则 12S  A.24 B.30 C.42 D.48 6．如图，若在矩形 OABC 中随机撒一粒豆子， 则豆子落在图中阴影部分的概率为 A. 21  B. 2  C. 2 2  D. 2 21  7．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ，离心率 2 2 ，过点 F 的直线l 交椭圆于 ,A B 两点，若 AB 中点为 (1,1) ，则直线l 的斜率为 A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2 2 8．如果执行如右图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能．．．是 A.0.4 B.0.5 C.0.75 D.0.9 9．已知 0x  ， 0y  ， 0z  ，且 9 1 1y z x   ， 则 x y z  的最小值为 A.8 B.9 C.12 D.16 10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱， 到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、 武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼 互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示 为       2 2 2 22 2 4 , 1 1 1 1 0 x y A x y x y x y x                     或 ，设点( , )x y A， 则 2z x y  的最大值与最小值之差是 A. 2 5 B. 2 2 5 C. 2 3 5 D. 2 4 5 11．e 为自然对数的底数，定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 '( ) ( ) 2 xf x f x e  ，其中 '( )f x 为  f x 的导函数，若 2(2) 4f e ，则 ( ) 2 xf x xe 的解集为 A. ,1 B.  1, C. ,2 D. 2, 12．已知球O 的半径为 2 ， ,A B 是球面上的两点，且 2 3AB  ，若点 P 是球面上任意一 点，则 PA PB  的取值范围是 A.[ 1,3] B.[ 2,6] C.[0,1] D.[0,3] 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知向量  = 1,2a  ，  = 2, 2b  ，  = 1,c m  ．若  2c a b   ∥ + ，则 m  ________． 14．已知  0,πx ，关于 x 的方程 π2sin 03x k      有两个不同的实数解，则实数 k 的 取值范围为______. 15．已知 1 n xx     的展开式中所有项的系数和为 64，则其展开式中的常数项为_______.3 16．已知 1F 、 2F 分别为双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，过 1F 作直线 l 与圆 2 2 2x y a  相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点 P ，若 1 14FT F P uuur uuur ，则 双曲线C 的离心率为______. 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17 ~ 21题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22 ~ 23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17.（12 分）已知 , ,A B C 是 ABC 的内角， , ,a b c 分别是其对边长，向量 ( , )m a b c  ， (sin sin ,sin sin )n B A C B   ，且 m n  . (1)求角 A 的大小； (2)若 2a  ，求 ABC 面积的最大值. 18.（12 分）如图，矩形 ABCD 中， 2AB  ， 4AD  ， E 为 BC 的中点，现将 BAE 与 CDE 折起，使得平面 BAE 及平面CDE 都与平面 DAE 垂直． （1）求证： / /BC 平面 DAE ； （2）求二面角 A BE C  的余弦值． 19.（12 分）已知 F 为抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点，过 F 垂直于 x 轴的直线被C 截 得的弦长为 4 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过点 ( ,0)m ，且斜率为1的直线被抛物线C 截得的弦为 AB ，若点 F 在以 AB 为直径 的圆内，求 m 的取值范围．4 20.（12 分）某游戏棋盘上标有第 0 、1、 2 、 、100站，棋子开始位于第 0 站，选手抛 掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站， 直到跳到第 99站或第100站时，游戏结束. 设游戏过程中棋子出现在第 n 站的概率为 nP . （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：    1 1 1 1 982n n n nP P P P n       ； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜. 请 分析这个游戏是否公平. 21.（12 分）已知函数 ( ) ln 1af x x x    ， a R . （1）若对 [1, )x   ，不等式 ( ) 1 0f x x   恒成立，求 a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数 ( )( ) f xg x x  ，试判断 ( )g x 在区间 2[1, ]e 上是否存在极值 （ e 为自然对数的底数）.若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由. （二）选考题：共10分. 请考生在第 22 ~ 23 题中任选一题作答. 如果多做，那么按照所 做的第一题计分. 22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： 4cos 4sin x y      （ 为参数），将曲线 1C 上 的所有点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的 1 2 后得到曲线 2C ；以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin 33       . （1）求曲线 2C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）已知 ( 2 3 0)M - ， ，设直线 l 与曲线 2C 交于不同的 ,A B 两点，求 MA MB 的值. 23.（10 分）设函数    4 0f x x a x a     ． （1）当 1a  时，求不等式  f x x 的解集； （2）若   41f x a   恒成立，求 a 的取值范围．