第 1 页 共 9 页
秘密★启用前 【考试时间：1 月 19 日】
2020 年重庆一中高 2020 级高三上期期末考试
数 学（文科）试 题 卷 2020.1
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 （其中 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（原创）设 ,则 的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
4. （ 原 创 ） 设 为 实 数 ， 直 线 ，
，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
6. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
7. 正三角形 中, 是线段 上的点, , ,则
=（ ）
A．3 B． 6 C． 9 D．12
{ | ( 1)( 2) 0, }B x x x x= + − < ∈Z A B =
60
{1,2,3}A =
{ }1 { }2,1 { }3,2,1,0 { }3,2,1,0,1−
i
iz −
−=
1
43 i
3 24
2
3 4 3, , log4 3 2a b c
− = = = cba ,,
cab 2 2: 4 2 3 0Q x y x y+ − − + = Q
C
C A B
tanAQBS AQB∆ = ∠
xOy 1C t
O x 2C
1C 2C
2C 1C
( ) ( )0, 0f x x a x b a b= − + + > >
( )f x [2 )+ ∞，
EBCDF −
xy 342 =
( )1,0P l
l
( ) ( )xfRmxmxxf ',,ln ∈−= ( )xf
( )xf
0>m 1 20 x x< <
0x ( ) ( ) ( )1 2
0
1 2
' f x f xf x x x
−= − 1 2x x+
02x
+=
−=
ty
tx
2
22
2
21
( ) 42cos32 =− θρ
M M M
1=ab ( ) 2≥xf
( ) 53 =f ( ) 4≥xf第 5 页 共 9 页
2020 年重庆一中高 2020 级高三上期末考试
数 学（文科）试 题 卷 2020.1
一、选择题：
CDBCB ABDCA CB
二、填空题：
13. 14. 15.
16.
三、解答题：
17.（1）证明:因为
所以 …………4 分
又因为 则 ，……………………………………5 分
所以数列{ }是首项为 2,公比为 2 的等比数列. …………………………6 分
（2）由(Ⅰ)知 所以 ……………………………7 分
所以
……………………………9 分
………………………………………………………11 分
…………………………………………………………12 分
18.（1）由图一可知, ……3 分
该居民月平均用水量 约为
……6 分
（2）由回归直线方程 知, 对应的月平均气温刚好为
,………………………………………………7 分
n,a,bnaa nnnn +=−+=+ 121
,bnannanab nnnnn 2)(2)1(12)1(11 =+=++−+=++= ++
，ab 02111 ≠=+= .b
b
n
n 21 =+
nb
,bna n
nn 2==+ n,a n
n −= 2
2 32 1 (2 2) (2 3) (2 )n
nS n= − + − + − + + −（ ）
2 32 2 2 2 1 2 3n n= + + + + − + + + + （ ）（ ）
2
)1(
21
)21(2 nnn +−−
−=
1 (1 )2 22
n n n+ += − −
T月
(0.0375 2 0.05 6 0.075 10 0.05 14 0.0375 18) 4 10T = × + × + × + × + × × =月
0.4 2T t= + T月
(10 2) 0.4 20( )t C= − + = °
8 3 161
π− 4
3
π
( ) 05.0,14075.0220375.0 =∴=×++× aa
∴第 6 页 共 9 页
再根据图二可得,该居民 2019 年 月和 月的用水量刚好为 ,且该居民 2019 年有 个月
每月用水量超过 ,有 个月每月用水量低于 ,…………………………………8 分
因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有 个月(记为 )每月用水量超过 ,有 个月
(记为 )每月用水量低于 ,从中抽取 个,有
, 共 种结果, ……………10 分
其中恰有一个月用水量超过 的有 共 种结果, ………11 分
设“这 个月中恰有 个月用水量超过 ”为事件 ,则 …………12 分
19.（1）连接 ，设 ，则平面 平面 ，…………1 分
//平面 ， // ，…………………2 分
∽ ， ，………4 分
，…………………5 分
．……………………………………………6 分
（2） ，
又 ，
， ， 平面 ，……………………9 分
所以 =
…………12 分
20.解：(1)因为抛物线的焦点为 ,所以 ,…………………………1 分
因为 在椭圆 上, 所以 ,由 ,得 , ,所以椭圆
的方程为 ………………………………………………………5 分
(2)由 得: ,即
,可得 ,……………………………………6 分
5 10 T月 4
T月 6 T月
2 1 2,A A T月 3
1 2 3, ,B B B T月 2
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3, , , , , ,A A A B A B A B A B A B A B 1 2 1 3 2 3, ,B B B B B B 10
T月 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3, , , ,A B A B A B A B A B 6
2 1 T月 C 6 3( ) 10 5P C = =
AC AC BE G∩ = SAC ∩ EFB FG=
EFB SA∴ FG
GEA∆ GBC∆ 1
2
AG AE
GC BC
∴ = =
1 1
2 3
SF AG SF SCFC GC
∴ = = ⇒ =
1
3
λ∴ =
5, , 2SA SD SE AD SE= = ∴ ⊥ =
2, 60 , 3AB AD BAD BE= = ∠ = ° ∴ =
2 2 2SE BE SB∴ + = SE BE∴ ⊥ SE∴ ⊥ ABCD
3c =
(2,1)Q C 2 2
4 1 1a b
+ = 2 2 3a b− = 2 6a = 2 3b = C
2 2
16 3
x y+ =
tanAQBS AQB∆ = ∠ 1 sin tan2 QA QB AQB AQB⋅ ∠ = ∠
cos 2QA QB AQB⋅ ∠ = 2QA QB⋅ =
SA
=⋅=− hSV EBCDEBCDF 四边形3
1 ( ) 3212
1
3
223
1
3
2
3
1 ×+××××=⋅ SES EBCD四边形 3
32
( )0,3第 7 页 共 9 页
①当 垂直 轴时, ,此时满足题意,所
以此时直线 的方程为 ;…………………………………………………7 分
②当 不垂直 轴时,设 , ,直线 的方程为 ,
由 消去 得 ,
所以 , ,…………………………………………8 分
代入 可得: ,
代入 , ,得 ,
代入化简得: ,……………………………………10 分
解得 ,
经检验满足题意,则直线 的方程为 ………………………………11 分
综上所述直线 的方程为 或 ………………………………12 分
21.解：(1) ，……………………………………………1 分
当 时， ， 在 上单调递增，无极值点；……………2 分
当 时， ，故 在 上单调递增，在 上单减，故
有 1 个极小值点，无极大值点. ……………………………………………………4
分
综上：当 时， 有 0 个极值点；当 时， 有 1 个极值点. ………5 分
（2） ，
，
，
l x ( 2, 3 1)QA QB⋅ = − − ( 2, 3 1) 4 1 3 2⋅ − − − = + − =
l 0x =
l x 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y l 1y kx= +
2 2
1{ 6 3
1
x y
y kx
+ =
= +
y 2 2(1 2 ) 4 4 0k x kx+ + − =
1 2 2
4
1 2
kx x k
−+ = + 1 2 2
4
1 2x x k
−= +
2QA QB⋅ = ( ) ( )1 1 2 22, 1 2, 1 2x y x y− − ⋅ − − =
1 1 1y kx= + 2 2 1y kx= + 2
1 2 1 2( 2)( 2) 2x x k x x− − + =
2
2 2
4( 1) 8 2 01 2 1 2
k k
k k
− + + + =+ +
1
4k =
l 4 4 0x y− + =
l 0 x = 4 4 0x y− + =
( )
x
mx
x
mxf
−=−=1'
0≤m ( ) 0' >xf ( )xf ( )+∞,0
0>m ( ) mxxf >> 则令 ,0' ( )xf ( )+∞,m ( )m,0
( )xf
0≤m ( )xf 0>m ( )xf
( )
x
mxf −=1'
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 2 1 1 2 2' 1
0
1 2 1 2 1 2
lnln ln 1
xmf x f x x m x x m x xf x x x x x x x
− − − −= = = +− − −
1 2
1 2 1 2
2' 1 12
2
x x m mf x x x x
+ = − = − + + 第 8 页 共 9 页
故
= = ，…………………………7 分
令 ， ，……………………………………8 分
则 ，所以 在 上单调递增，则 ，
………………………9 分
，……………10 分
，又 在 上单调递增，………………11 分
，即 ……………………………………………12 分
22.解：（1） ;………………………………………………………2 分
……………………………………5 分
（2）设点 ，则
点 到曲线 的距离
= （其中 ）
= ，…………………………………………………………………7 分
当 时 ， ， 此 时 即
1C
( )
2
' ' 1 2 1
0
1 2 1 2
ln 21 12
xmx x x mf x f x x x x
+ − = + − − − +
2
1
1 2 1 2
ln 2
xm x m
x x x x
+− +
( )1 22
1 2 1 1 2
2ln x xxm
x x x x x
− + − +
( )2
1
1xt tx
= > ( ) ( )
t
ttth +
−+=
1
12ln
( ) ( )
( )
( ) 0
1
1
1
41
2
2
2
' >
+
−=
+
−+=
tt
t
ttth ( )th ( )+∞,1 ( ) ( ) 01 => hth
∴ ( )' ' 1 2
0 2
x xf x f
+ − =
( )1 22
1 2 1 1 2
2ln x xxm
x x x x x
− + − +
0<
( )' ' 1 2
0 2
x xf x f
+ ∴ <
( )xf '
( )+∞,0
1 2
0 2
x xx
+∴ < 1 2 02x x x+ >
03:1 =−+ yxC
( )2
2
2
2 cos: 1,2 sin
x xC y
y
α α
α
=+ = =
即 为参数
M ( )αα sin,cos2
M
2
3sin3
3cos3
63
2
3sincos2
−
+
=
−+
=
αααα
d
( )
2
3sincoscossin3 −+ αϕαϕ
3
3cos,3
6sin == ϕϕ
( )
2
3sin3 −+ϕα
( ) 1sin =+ϕα
2
623
2
33
min
−=
−
=d ,,2 Zkk ∈+=+ ππϕα第 9 页 共 9 页
, 所 以 ，
， 故
……………………………………………………………………………10 分
23.（1）证明： …………………4 分
当且仅当 时，取等号………………………………………………………………5 分
（2） ， ，……………………………6 分
又 ， …………………………7 分
由题意可得 ………………9 分
故原不等式的解集为 …………………………………………………10 分
Zkk ∈+−= ,2
πϕπα
3
3cos2sinsin ==
+−= ϕπϕπα k
3
6sincos == ϕα
3
3,3
32M
( ) 21 ≥+=+=−−+≥−+−
aabaaxbxbxax
1== ba
( ) bababxaxxf +=+≥−+−= 2=+∴ ba
( ) 533333 =++−=++−= babaf 2
1,2
3 ==∴ ba
≥−−−
−≤
≥−++
微信/支付宝扫码支付