2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5 分）已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，2）
3．（5 分）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（ ）
A．cosx﹣cosy＞0 B．cosx+cosy＞0
C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0
4．（5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 y＝ex 关于 y 轴对称，则
f（x）＝（ ）
A．e﹣x+1 B．e﹣x﹣1 C．ex﹣1 D．ex+1
5．（5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作
一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），
然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么
黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第 3 个大正三角
形 中 随 机 取 点 ， 则 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 （ ）
A． B． C． D．
6．（5 分）已知等比数列{an}满足 a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得 a1a2…an 取得最大值的 n
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（5 分）已知 α 为锐角，cosα＝ ，则 tan（ + ）＝（ ）
A． B． C．2 D．38．（5 分）已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，直线 x＝a 与双曲线 C 的两条渐近
线交于 A，B 两点，若△OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． ﹣y2＝1 B．x2 ＝1
C． ＝1 D． ＝1
9．（5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各
国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发
展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技
术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10
年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论
是 （ ）
A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值
B．10 年来全球新增装机容量连年攀升
C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW
D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
10．（5 分）已知函数 f（x）＝ +2x+1，且 f（a2）+f（2a）＞3，则 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣2，0） D．（﹣1，3）
11．（5 分）已知函数 f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f（x）的最大值为 2．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5 分）已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱
柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于点 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角形，则△MNQ
面积的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．（5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的
决赛结果共有 种．（用数字作答）
14．（5 分）在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 • ＝ ．
15．（5 分）函数 f（x）＝lnx 和 g（x）＝ax2﹣x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，
则这条切线方程为 ．
16．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+1＝0 的距离与
该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是 ；设点 A（﹣ ，
0），则|PO|+|PA|的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（12 分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，
旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理
念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：
在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会
将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元，
没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成
的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作
了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价
格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参
观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
18．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinB＝bsin（A﹣
）．
（1）求 A；
（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC 的面积．
19．（12 分）已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 A（1， ）在椭圆 C
上，直线 l1 过椭圆 C 的有交点与上顶点，动直线 l2：y＝kx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，
交 l1 于 P 点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|＝ |MN|，求此时|MN|的长度．
20．（12 分）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝
90°，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是△BCE 的重心．
（1）证明：GF∥平面 PAC；
（2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60°，求二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝1+x﹣2sinx，x＞0．
（1）求 f（x）的最小值；
（2）证明：f（x）＞e﹣2x．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清
楚题号．[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （m 为参数）．
（1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1 与曲线 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于M，N 两点，l1 与 l2 交于点 P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．
（1）若 f（a）＜2，求 a 的取值范围；
（2）当 x∈[a，a+k]时，函数 f（x）的值域为[1，3]，求 k 的值．2020 年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴在复平面内，复数 对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是
基础题．
2．（5 分）已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x||x|＞1}，则 A∩B＝（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，1） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜﹣1 或 x＞1}，
∴A∩B＝（1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式和绝对值不等式的解法，交
集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
3．（5 分）已知 x，y∈R，且 x＞y＞0，则（ ）
A．cosx﹣cosy＞0 B．cosx+cosy＞0
C．lnx﹣lny＞0 D．lnx+lny＞0
【分析】根据题意，结合函数的单调性分析选项 A、C，可得 A 错误，C 正确，对于 B、
D，利用特殊值分析可得其错误，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，y＝cosx 在（0，+∞）上不是单调函数，故 cosx﹣cosy＞0 不一定成立，A 错误；对于 B，当 x＝π，y＝ 时，cosx+cosy＝﹣1＜0，B 不一定成立；
对于 C，y＝lnx 在（0，+∞）上为增函数，若 x＞y＞0，则 lnx＞lny，必有 lnx﹣lny＞0，
C 正确；
对于 D，当 x＝1，y＝ 时，lnx+lny＝ln ＜0，D 不一定成立；
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的应用，涉及实数大小的比较，属于基础题．
4．（5 分）函数 f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得图象与 y＝ex 关于 y 轴对称，则
f（x）＝（ ）
A．e﹣x+1 B．e﹣x﹣1 C．ex﹣1 D．ex+1
【分析】根据函数图象变换关系，利用逆推法进行求解即可．
【解答】解：y＝ex 关于 y 轴对称的函数为 y＝e﹣x，
然后向右平移一个单位得到 f（x），
得 y＝e﹣（x﹣1），即 f（x）＝e﹣x+1，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象变换，结合条件进行逆推法是解决本题的关键．比较基
础．
5．（5 分）希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出，先作
一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），
然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么
黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第 3 个大正三角
形 中 随 机 取 点 ， 则 落 在 黑 色 区 域 的 概 率 为 （ ）
A． B． C． D．
【分析】我们要根据已知条件，求出第 3 个大正三角形的面积，及黑色区域的面积，代
入几何概型计算公式，即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的 ，不妨设第一个三角形的面积为 1．
∴第三个三角形的面积为 1；
则阴影部分的面积之为 ：
第 3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率： ，
故选：B．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，
而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求
出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几
何度量”N，最后根据 P＝ 求解．
6．（5 分）已知等比数列{an}满足 a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，则使得 a1a2…an 取得最大值的 n
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】结合等比数列的通项公式可求通项，然后结合项的正负及增减性可求．
【解答】解：∵等比数列{an}满足 a1﹣a2＝36，a1﹣a3＝24，
，
解可得，q＝ ，a1＝27，
∴an＝ ，
若使得 a1a2…an 取得最大值，则 n 应该是偶数，
且 n＞4 时，|an|＜1，
故当 n＝4 时，a1a2…an 取得最大值．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，分析数列的项的特点是求解
问题的关键．
7．（5 分）已知 α 为锐角，cosα＝ ，则 tan（ + ）＝（ ）
A． B． C．2 D．3【分析】求出 tanα＝ ＝ ，从而 tan ＝ ，由此能求出 tan（ + ）的
值．
【解答】解：∵α 为锐角，cosα＝ ，
∴sinα＝ ＝ ，tanα＝ ＝ ＝ ，
解得 tan ＝ ，或 tan ＝﹣2，
∴tan（ + ）＝ ＝ ＝3．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、正切函数的二倍角公式、正切加
法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（5 分）已知双曲线 C： ，O 为坐标原点，直线 x＝a 与双曲线 C 的两条渐近
线交于 A，B 两点，若△OAB 是边长为 2 的等边三角形，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． ﹣y2＝1 B．x2 ＝1
C． ＝1 D． ＝1
【分析】求出双曲线的渐近线方程，令 x＝a，求得 A，B 的坐标，由等边三角形的性质
可得 a，b 的值，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：双曲线 C： 的渐近线方程为 bx﹣ay＝0 和 bx+ay＝0，
由 x＝a 与双曲线 C 的两条渐近线交于 A（a，b），B（a，﹣b），
△OAB 是边长为 2 的等边三角形，即有 2b＝2，即 b＝1，
且 a＝ ×2＝ ，可得双曲线的方程为 ﹣y2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的应用，考查等边三角形的
性质，以及化简运算能力，属于基础题．
9．（5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭．风能是清洁能源，也是可再生能源．世界各
国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发
展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技
术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心．以下是近 10
年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图．根据以上信息，正确的统计结论
是 （ ）
A．截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值
B．10 年来全球新增装机容量连年攀升
C．10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW
D．截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
【分析】通过图结合选项分析．
【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错；
由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错；
由 图 1 知 ， 10 年 中 国 新 增 装 机 总 容 量 为
13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1＝197.7，
则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错；
故选：D．
【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．10．（5 分）已知函数 f（x）＝ +2x+1，且 f（a2）+f（2a）＞3，则 a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
C．（﹣2，0） D．（﹣1，3）
【分析】设 F（x）＝f（x）﹣ ＝ +2x+1﹣ ＝ +2x，分析函数 F（（x）
的奇偶性，单调性，f（a 2）+f（2a）＞3，转化为 F（a 2）＞﹣F（2a），即可解出答
案．
【解答】解：根据题意，设 F（x）＝f（x）﹣ ＝ +2x+1﹣ ＝ +2x，
则 F（0）＝f（0）﹣ ＝0，
又由 F（﹣x）＝ +2（﹣x）＝﹣（ +2x）＝﹣F（x），即函数 F（x）
为奇函数；
又由 F′（x）＝ ＝ ＝ ＞0，
所以函数 F（x）单调递增，
若 f（a2）+f（2a）＞3，
则 f（a2）﹣ ＞ ，
f（a2）﹣ ＞﹣[f（2a）﹣ ]，
F（a2）＞﹣F（2a），
F（a2）＞F（﹣2a），
所以 a2＞﹣2a，
解得，a＜﹣2 或 a＞0，
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及构造法的应用，属于基础
题．
11．（5 分）已知函数 f（x）＝sinx+sin（πx），现给出如下结论：
①f（x）是奇函数； ②f（x）是周期函数； ③f（x）在区间（0，π）上有三个零点； ④f（x）的最大值为 2．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据函数奇偶性定义进行判断，②用反证法推出函数的函数无周期，③f
（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin cos ，函数的零点为方程 sin ＝
0 或 cos ＝0，x＝ 或 x＝ ，x∈（0，π），进而得出结论，④用
反证法推出函数的函数最大值不是 2．
【解答】解：因为 f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin（﹣πx）＝﹣sinx﹣sin（πx）＝﹣f（x），
所以 f（x）是奇函数，①正确．
假设存在周期 T，
则 sin（x+T）+sin（π（x+T））＝sinx+sinπx，
sin（x+T）﹣sinx＝﹣[sin（π（x+T））﹣sinπx]，
所以 sin •cos ＝﹣sin •cos ①，
存在 x0∈R，使得 cos ＝0，而 cos ≠0，
将 x0∈R，﹣sin •cos ＝0，
由于 ，
故﹣sin ＝0，
所以 sin ＝0，sin ＝0，
＝kπ， ＝mπ，k，m∈Z，
所以 kπ＝m，矛盾，
所以函数 f（x）＝sinx+sin（πx），没有周期，②错误．
f（x）＝sinx+sin（πx）＝2sin cos ，
函数的零点为方程 sin ＝0 或 cos ＝0，
x＝ 或 x＝ ，x∈（0，π）
x＝ ， 或 ，所以 f（x）在区间（0，π）上有三个零点；故③正确．
假设存在这样的 x0 使得 f（x）最大值为 2，
x0＝ 且 πx0＝ ，（k∈Z）
即 x0＝ 且 x0＝ ，
所以 ＝ ，
k＝﹣ ，与 k∈Z 矛盾，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于难题．
12．（5 分）已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱长为 4，底面边长为 2，用一个平面截此棱
柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于点 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角形，则△MNQ
面积的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．3
【分析】不妨设 N 在 B 处，AM＝h，CQ＝m，则有 MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h
﹣m）2+4 由 MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且 h≤4，
可得 S2＝1+h2，就可求出 S 最大值．
【解答】解：解：如图，不妨设 N 在 B 处，AM＝h，CQ＝m，
则有 MB2＝h2+4，BQ2＝m2+4，MQ2＝（h﹣m）2+4
由 MB2＝BQ2+MQ2⇒m2﹣hm+2＝0．得 h＝ ＝m+ ①
△＝h2﹣8≥0⇒h2≥8，且 h≤4，
即 8≤h2≤16，
S＝ ，
S2＝ ×|MQ|2×|BQ|2＝ [（h﹣m）2+4]×（m2+4）
把①代入得
S2＝ ×[（m+ ﹣m）2+4]×（m2+4）＝ [ +4]×（m2+4）＝5+
＝5+（ +m）2﹣4＝1+（ +m）2＝1+h2，
所以 S2＝1+h2∈[9，17]，
S2max＝17，Smax＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了空间线面位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．
13．（5 分）从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖，2 名二等奖，3 名三等奖，则可能的
决赛结果共有 60 种．（用数字作答）
【分析】6 名选手中决出 1 名一等奖有 种方法，2 名二等奖， 种方法，利用分步计
数原理即可得答案．
【解答】解：依题意，可分三步，第一步从 6 名选手中决出 1 名一等奖有 种方法，
第二步，再决出 2 名二等奖，有 种方法，
第三步，剩余三人为三等奖，
根据分步乘法计数原理得：共有 • ＝60 种方法．
故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，
属于中档题．
14．（5 分）在△ABC 中，AB＝2，AC＝3，P 是边 BC 的垂直平分线上一点，则 • ＝ ．
【分析】取 BC 的中点 D， ＝（ + ）＝（ （ + ）+ ）， ⊥ ，再利用
两个向量垂直的性质及向量的运算法则，可得结果．
【解答】解：取 BC 的中点 D，由条件得 • ＝（ + ）•（ ﹣ ）＝（
（ + ）+ ）•（ ﹣ ）＝﹣ + ＝﹣ + • ＝ +0＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题是基础题．本题考查两个向量的运算法则及其意义，两个向量垂直的性
质．
15．（5 分）函数 f（x）＝lnx 和 g（x）＝ax2﹣x 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，
则这条切线方程为 y＝x﹣1 ．
【分析】分别求得 f（x），g（x）的导数，设 P（x0，y0），则 lnx0＝ax02﹣x0①，结合 f′
（x0）＝g′（x0），联立消掉 a 可得关于 x0 的方程，构造函数，根据函数单调性可求得
唯一 x0 值，进而可求 P 的坐标，以及切线的斜率和切线方程．
【解答】解：f（x）＝lnx 的导数为 f′（x）＝ ，g（x）＝ax2﹣x 的导数为 g′（x）＝2ax
﹣1，
设 P（x0，y0），则 lnx0＝ax02﹣x0①，
f′（x0）＝g′（x0），即 ＝2ax0﹣1，化简得 1＝2ax02﹣x0②，
联立①②消 a 得，lnx0＝ ，
令 φ（x）＝lnx﹣ ，φ′（x）＝ + ＞0，
易知 φ（x）在（0，+∞）上单调递增，又 φ（1）＝0，
所以 φ（x）＝lnx﹣ 有唯一解 1，即 x0＝1，
则 y0＝f（1）＝0，a＝1．
故 P（1，0），切线的斜率为 1，切线的方程为 y＝x﹣1．
故答案为：y＝x﹣1．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及导数的几何意义，考查学生灵活运用所
学知识分析问题解决问题的能力，属于中档题．
16．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对曲线 C 上任意一点 P，P 到直线 x+1＝0 的距离与
该点到点 O 的距离之和等于 2，则曲线 C 与 y 轴的交点坐标是 （0，±1） ；设点 A
（﹣ ，0），则|PO|+|PA|的最小值为 ．
【分析】设 P（x，y），P 到直线 x+1＝0 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2，求出 P的轨迹方程为抛物线，根据抛物线的性质，求出曲线 C 与 y 轴的交点坐标和|PO|+|PA|的
最小值．
【解答】解：设 P（x，y），P 到直线 x+1＝0 的距离与该点到点 O 的距离之和等于 2，
则|x+1|＝ ，化简得 y2＝2x+1，
令 x＝0，y＝1，故曲线 C 与 y 轴的交点为（0，1），（0，﹣1），
A（﹣ ，0），根据题意，当 O，P，A 三点共线时，则|PO|+|PA|的最小，
最小值长等于|OA|＝ ，
故答案为：（0，±1）； ．
【点评】考查直线与抛物线的综合，求曲线的轨迹方程，中档题．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
17．（12 分）绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，
旅游业正蓬勃发展．景区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理
念，合力使旅游市场走上规范有序且可持续的发展轨道．某景区有一个自愿消费的项目：
在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合影，参观后，在景点出口处会
将刚拍下的照片打印出来，游客可自由选择是否带走照片，若带走照片则需支付 20 元，
没有被带走的照片会收集起来统一销毁．该项目运营一段时间后，统计出平均只有三成
的游客会选择带走照片．为改善运营状况，该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作
了市场调研，发现收费与消费意愿有较强的线性相关性，并统计出在原有的基础上，价
格每下调 1 元，游客选择带走照片的可能性平均增加 0.05，假设平均每天约有 5000 人参
观该特色景点，每张照片的综合成本为 5 元，假设每个游客是否购买照片相互独立．
（1）若调整为支付 10 元就可带走照片，该项目每天的平均利润比调整前多还是少？
（2）要使每天的平均利润达到最大值，应如何定价？
【分析】（1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的概率为 0.7，设
每个游客的利润为 Y1 元，则 Y1 是随机变量，求出 5000 个游客的平均利润为 5000 元，
当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为 0.2，
设每个游客的利润为 Y2，则 Y2 是随机变量，求出 5000 个游客的平均利润为 15000 元，
由此能求出该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元．（2）设降价 x 元，则 0≤x＜15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x，不被带走的可能性
为 0.7﹣0.05x，设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，求出其分布列，从而 E（Y）＝
（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，由此求出当定价
为 13 元时，日平均利润取最大值为 17250 元．
【解答】解：（1）当收费为 20 元时，照片被带走的可能性为 0.3，不被带走的概率为
0.7，
设每个游客的利润为 Y1 元，则 Y1 是随机变量，其分布列为：
Y1 15 ﹣5
P 0.3 0.7
E（Y1）＝15×0.3﹣5×0.7＝1（元），
则 5000 个游客的平均利润为 5000 元，
当收费为 10 元时，照片被带走的可能性为 0.3+0.05×10＝0.8，不被带走的概率为 0.2，
设每个游客的利润为 Y2，则 Y2 是随机变量，其分布列为：
Y2 5 ﹣5
P 0.8 0.2
E（Y2）＝5×0.8﹣5×0.2＝3（元），
则 5000 个游客的平均利润为 5000×3＝15000（元），
该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元．
（2）设降价 x 元，则 0≤x＜15，照片被带走的可能性为 0.3+0.05x，
不被带走的可能性为 0.7﹣0.05x，
设每个游客的利润为 Y 元，则 Y 是随机变量，其分布列为：
Y 15﹣x ﹣5
P 0.3+0.05x 0.7﹣0.05x
E（Y）＝（15﹣x）×（0.3+0.05x）﹣5×（0.7﹣0.05x）＝0.05[69﹣（x﹣7）2]，
当 x＝7 时，E（Y）有最大值 3.45 元，
∴当定价为 13 元时，日平均利润取最大值为 5000×3.45＝17250 元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（12 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinB＝bsin（A﹣
）．
（1）求 A；
（2）D 是线段 BC 上的点，若 AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC 的面积．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA＝﹣ ，结
合范围 A∈（0，π），可求 A 的值．
（2）设∠B＝θ， ，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝ ﹣
θ，∠ACD＝ ﹣θ，在△ADC 中，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 sinθ＝
cosθ，可求 sinθ，cosθ，利用二倍角的正弦函数公式可求 sin2θ，进而根据三角形的面积
公式可求 S△ADC 的值．
【解答】解：（1）由正弦定理可得 asinB＝bsinA，
则有 bsinA＝b（ sinA﹣ cosA），化简可得 sinA＝﹣ cosA，
可得 tanA＝﹣ ，
因为 A∈（0，π），
所以 A＝ ．
（2）设∠B＝θ， ，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DAC＝ ﹣
θ，∠ACD＝ ﹣θ，
在△ADC 中， ，则 ＝ ，
所以 ＝ ，可得 sinθ＝ cosθ，
又因为 sin2θ+cos2θ＝1，可得 sinθ＝ ，cosθ＝ ，
则 sin2θ＝2sinθcosθ＝ ，
所以 S△ADC＝ sin∠ADC＝ ＝ ．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解
三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19．（12 分）已知椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 A（1， ）在椭圆 C
上，直线 l1 过椭圆 C 的有交点与上顶点，动直线 l2：y＝kx 与椭圆 C 交于 M、N 两点，
交 l1 于 P 点．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知 O 为坐标原点，若点 P 满足|OP|＝ |MN|，求此时|MN|的长度．
【分析】（1）由离心率及过的点和 a，b，c 之间的关系求出椭圆的方程；
（2）直线 l2 的方程与椭圆联立求出点 M 的坐标，由|OP|＝ |MN|得 P 点坐标，P 的直线
l1 上求出 k 值，进而求出 MN|的值．
【解答】解：（1）由题意得：e＝ ＝ ， + ＝1，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2
＝3，
所以椭圆的方程： ＝1；
（2）由题意直线 l2 的方程：y＝kx，代入椭圆中整理：
（3+4k2）x2＝12，解得 x＝ ，
令 M 的坐标（ ，k ）
∵|OP|＝ |MN|，由对称性可知，
点 P 为 OM 的中点．
故 P 的坐标（ ， ），
由 P 在直线 l1： x+y﹣ ＝0，
所以 + ﹣ ＝0，
解得：k＝0 或 k＝ ，故 M 的坐标为（2，0），或（ ， ），所以|OM|＝2，或 ，
所以|MN|的长度为 4 或 ．
【点评】考查直线与椭圆的综合，属于中难题．
20．（12 分）如图，三棱锥 P﹣ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，PA＝PB，∠APB＝∠ACB＝
90°，点 E，F 分别是棱 AB，PB 的中点，点 G 是△BCE 的重心．
（1）证明：GF∥平面 PAC；
（2）若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60°，求二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值．
【分析】（1）连结 EF，连结 EG 并延长，交 BC 于点 D，由点 D 是 BC 的中点，推导出 DE
∥AC，EF∥AP，从而 DE∥平面 PAC，EF∥平面 PAC，进而平面 EFG∥平面 PAC，由
此能证明 GF∥平面 PAC．
（2）连结 PE，连结 CG 并延长交 BE 于点 O，则 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OF∥
PE，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连结 EF，连结 EG 并延长，交 BC 于点 D，
由点 D 是 BC 的中点，
∴D，E，F 分别是棱 CB，AB，PB 的中点，∴DE∥AC，EF∥AP，
∵DE，EF⊄平面 PAC，AC，AP⊂平面 PAC，
∴DE∥平面 PAC，EF∥平面 PAC，
∵DE，EF⊂平面 EFG，DE∩EF＝E，∴平面 EFG∥平面 PAC，
∵GF⊂平面 EFG，∴GF∥平面 PAC．
（2）解：连结 PE，∵PA＝PB，E 是 AB 的中点，∴PE⊥AB，
∵平面 PAB⊥平面 ABC，平面 PAB∩平面 ABC＝AB，PE⊂平面 PAB，
∴PE⊥平面 ABC，
连结 CG 并延长交 BE 于点 O，则 O 为 BE 的中点，连结 OF，则 OF∥PE，∴OF⊥平面 ABC，∴∠FGO 是 GF 与平面 ABC 所成角，∴∠FGO＝60°，
在 Rt△FGO 中，设 GF＝2，则 OG＝1，OF＝ ，∴OC＝3，PE＝2 ，
∴AB＝4 ，CE＝2 ，OE＝ ，
∴OE2+OC2＝CE2，∴OC⊥AB，
以 O 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A（0，﹣3 ，0），C（3，0，0），P（0，﹣ ，2 ），
＝（3，3 ，0）， ＝（0，2 ），
设平面 PAC 的一个法向量 ＝（x，y，z），
则 ，取 z＝1，得 ＝（ ），
平面 PAB 的法向量 ＝（1，0，0），
设二面角 B﹣AP﹣C 的平面角为 θ，
则 cosθ＝ ＝ ＝ ，
∴二面角 B﹣AP﹣C 的余弦值为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝1+x﹣2sinx，x＞0．
（1）求 f（x）的最小值；
（2）证明：f（x）＞e﹣2x．
【分析】（1）求导可知 时 f（x）单减， 时 f（x）单增，进
而求得最小值；（2）即证 x＞0 时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e2x＞1，利用导数容易得证．
【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cosx，令 f′（x）＝0，得 ，
故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是 ，
当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当 时，f′（x）＞
0，f（x）单调递增，
故 在 区 间 [0 ， π] 上 ， f （ x ） 的 极 小 值 为 ， 当 x ＞ π 时 ，
，
∴f（x）的最小值为 ；
（2）要证 x＞0 时，f（x）＞e﹣2x，即证 x＞0 时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e2x＞1，
g′（x）＝2（1+x﹣2sinx）e2x+（1﹣2cosx）e2x＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e2x，
令 h（x）＝x﹣sinx，x＞0，
则 h′（x）＝1﹣cosx≥0，即 h（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴h（x）＞h（0）＝0，即 x＞sinx，
∴ 3+2x ﹣ 4sinx ﹣ 2cosx ＞ 3+2sinx ﹣ 4sinx ﹣ 2cosx ＝ 3 ﹣ 2 （ sinx+cosx ） ＝
，
∴g′（x）＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e2x＞0，
即 g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1，
故当 x＞0 时，f（x）＞e﹣2x，即得证．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，
属于中档题．
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清
楚题号．[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （m 为参数）．
（1）写出曲线 C 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线 l1，l2，其中 l1 与曲线 C 交于 A，B 两点，l2 与 C 交于
M，N 两点，l1 与 l2 交于点 P（x0，y0），求证：|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．【分析】（1）由 y＝4m，得 m＝ ，代入 x＝4m2，求出 C 的普通方程为 y2＝4x，表示开
口向右，焦点为 F（1，0）的抛物线．
（2）设直线 l 1 的倾斜角为 α，直线 l 2 的倾斜角为 π﹣α，直线 l 1 的参数方程为
，（t 为参数），与 y2＝4x 联立，得 t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0
＝0，由此能证明|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
【解答】解：（1）解：由 y＝4m，得 m＝ ，
代入 x＝4m2，得 y2＝4x，
∴曲线 C 的普通方程为 y2＝4x，
∴C 的普通方程为 y2＝4x，表示开口向右，焦点为 F（1，0）的抛物线．
（2）证明：设直线 l1 的倾斜角为 α，直线 l2 的倾斜角为 π﹣α，
∴直线 l1 的参数方程为 ，（t 为参数），
与 y2＝4x 联立，得 t2sin2α+（2y0sinα﹣4cosα）t+y02﹣4x0＝0，
设方程的两个解为 t1，t2，则 t1t2＝ ，
∴|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝| |，
|PM|•|PN|＝| |＝| |，
∴|PA|•|PB|＝|PM|•|PN|．
【点评】本题考查曲线方程的求法，考查两组线段乘积相等的证明，考查直角坐标方程、
极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知函数 f（x）＝|x﹣a|+|x﹣1|．
（1）若 f（a）＜2，求 a 的取值范围；
（2）当 x∈[a，a+k]时，函数 f（x）的值域为[1，3]，求 k 的值．
【分析】（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，即可得 a 的取值范围是（﹣1，3）；
（2）对 a 分类讨论，由单调性即可得 f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（a）＝|a﹣1|＜2，得﹣2＜a﹣1＜2．即﹣1＜a＜3，
所以 a 的取值范围是（﹣1，3）．
（2）当 a≥1 时，函数 f（x）在区间[a，a+k]上单调递增．
则[f（x）]min＝f（a）＝a﹣1＝1，得 a＝2，[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得 k＝
1．
当 a＜1 时，f（x）＝
则[f（x）]min＝f（a）＝1﹣a＝1，得 a＝0，
[f（x）]max＝f（a+k）＝a+2k﹣1＝3，得 k＝2．
综上所述，k 的值是 1 或 2．
【点评】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．
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