浙江省绍兴一中2020届高三上学期期末考试数学试题（Word版附答案）.doc

绍兴一中 2019 学年第一学期高三期末考试（数学） 命题:高三数学备课组 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1 ． 已 知 集 合 ， ， 则 为（ ▲ ） A． B． 　 C． 　 D． 2．若复数 的模为 ，则实数 的值为（ ▲ ） A． 1 B． 　 C． 　 D． 3．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（ ▲ ） A． B． 　 C． D． 4．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S5＝2 S10，则 （ ▲ ） A． B． 　 C． D． 5．已知 、 是抛物线 上异于原点 的两点，则“ · =0”是“直线 恒过定点( )”的（ ▲ ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 6．数列 中，恰好有 6 个 7，3 个 4，则不相同的数列共有（ ▲ ）个 A． B． C． D． 7．已知双曲线 ，则一条渐近线与实轴所构 成的角的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知函数 若方程 有四个不同的实数 根 ， ， ， ，则 的取值范围为（ ▲ ） A． B． C． D． (30,34) (30,36) (32,34) (32,36)  = ππ cos2sin ，A       −+−+−= xx，xxB sinsin2 coscos A B {0, 1}− { 1,1}− { 1}− {0} ( )( )1 4i t i+ − 5 2 t 2 2± 3± π192 π240 π384 π576 5 15 10 5 2S S S S + =− 5 2 9 2 − 7 2 11 2 − A B xy 42 = O OA OB AB 0,4 921 ,,, aaa ⋅⋅⋅ 6 7C 4 9C 3 9C 3 6C ]2,2[)0,0(12 2 2 2 ∈>>=− ebab y a x 的离心率     4,6 ππ     3,6 ππ     3,4 ππ     2,3 ππ ( ) ( )2 4 2 log , 0 4 12 34 ( 4) x x f x x x x  < ≤=   − + > ， ( ) (= ∈f x t t )R 1x 2x 3x 4x 1x 2x 3x 4x9．已知 都是正实数，则 的最大值为（ ▲ ） A． B． 　 C． D． 10.已知在矩形 中， ， ， ， 分别在边 ， 上，且 ， ，如图所示， 沿 将四边形 翻折成 ，则在翻折过程中，二面角 的大小为 ，则 的最大值为（ ▲ ） A． 非选择题部分 二、填空题（本大题 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.） 11．已知函数 ，则 ▲ ， 的 值等于 ▲ . 12．已知点 P(x,y)满足条件 的最大值为 12， 则 ▲ . 13．如果 x＋x2＋x3＋……＋x9＋x10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋……＋a9(1＋x)9＋a10(1＋x)10， 则 a9＝______ _， = ▲ . 14．已知 A 袋内有大小相同的 1 个红球和 3 个白球，B 袋内有大小相同的 2 个红球和 4 个 白球．现从 A、B 两个袋内各任取 2 个球，设取出的 4 个球中红球的个数为 ，则 ▲ ， 的数学期望为 ▲ . 15．抛物线 顶点为 ，焦点为 ， 是抛物线上的动点，则 取最大值时 M 点的横坐标为 ▲ . 16.已知 中， 中点为 M， , ， ， ，则 = ▲ ， ▲ . 17.已知函数 ,则函数 的值域是 ▲ . k = ,x y 4 4 x y x y x y ++ + 3 2 4 3 5 2 5 4 ABCD 2AB = 4AD = E F AD BC 1AE = 3BF = EF AEFB A EFB′ ′ B CD E′− − θ tanθ 3 2 5 3 3B. 5 3 2C. 4 3 3D. 4 ( ) ln 2020f x x x= + ( )1f ′ = 0 (1 2 ) (1)lim x f x f x∆ → − ∆ − ∆ yxzk kyx xy x 3),( 02 , ,0 +=    ≤++ ≤ ≥ 若为常数 10a ξ ( 1)P ξ = = ξ xy 22 = O F M MF MO ABC∆ BC ( ) BCACAB ⊥+ ABACABACBC ⋅=−− 2 222 CACN 3 1= 3=AB B∠ =MN ( ) 2 2 2 sin 2, 2 cos 2 a af a a a θθ θ + += + + ( )0,, ≠∈ aRa θ ( ),f a θ三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18．（本题满分 14 分） 在 中, 所对边分别为 .已知 （Ⅰ）求 单调递减区间和最大值 ； （Ⅱ）若 求 面积的最大值. 19．（本小题满分 15 分） 如图， 是等腰梯形， ， ，矩形 和 所在的平 面互相垂直．已知 ， ． （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20、（本小题满分 15 分） 已知数列 的前 n 项和 满足： ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设 ，数列 的前 n 项和为 Tn . 求证： ． 21、（本小题满分 15 分） 已知圆 S： ，T 是抛物线 的焦点，点 P 是圆 S 上的动点， 为 PT 的中点，过 作 G PT 交 PS 于 G （1）求点 G 的轨迹 C 的方程； （2）过抛物线 的焦点 E 的直线 交 G 的轨迹 C 于点 M、N，且满足 ，(O 为坐标原点)，求直线 的方程. 22．（本小题满分 15 分） 对于定义在 上的函数 ，若存在 ，对任意的 ，都有 或者 ，则称 为函数 在区间 上的“最小值 ”或“最大值 ”． （Ⅰ）求函数 在 上的最小值； （Ⅱ）若把“最大值 ”减去“最小值 ”的差称为函数 在 上的“和谐度 ”， 试求函数 在 上的“和谐度 ”； （Ⅲ）类比函数 的“和谐度 ”的概念， 请求出 在 上的“和谐度 ”． ]1,0[ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3,b = 2( ) 4cos 2 3sin 2 3,f x x x= + − ( )f x M ( ) ,f B M= ABC∆ ABEF EFAB // BFAF ⊥ ABCD ABEF 2=AB 1=EF ⊥DAF CBF AB CBF { }na nS ( )12 1 −−= nn aS { }na 1 1 1 1 1n n n c a a + = ++ − { }nc 12 3nT n> − 0204 22 =−++ yxx xy 82 = Q Q Q ⊥ xy 82 —= l 3 64sin =∠⋅ MONONOM l I ( )y f x= 0x I∈ x I∈ ( ) ( )0f x f x m≥ = ( ) ( )0f x f x M≤ = 0( )f x ( )f x I m M 2( ) ln(2 )f x x x= − + M m ( )f x I G ( ) 2 3F x x x a a= − + >（ 0） [1,2] G ( )f x G ( , ) (1 )(1 ) 1 1 x yx y x y y x ϕ = − − + ++ + { }( , ) , [0,1]I x y x y= ∈ G参考答案： CDBDB CCCBC 11．【答案】2021，-4042． 12．【答案】 13．【答案】－9，1 14．【答案】 , 可能的取值为 ． ， ， ．从而 ． 的分布列为 0 1 2 3 m n 的数学期望 ． 15．【答案】1． 【解析】设抛物线方程为 ，则顶点及焦点坐标为 ， ，若设点 坐标为 ，则 = 令 得， ，由 得 ， 由 得 。 16.【答案】 ， 【解析】由 得： ，即 2 ， 故 。由 得： ，即 ，也即 ，所以 的形状为等 9− 7( 1) 15P ξ = = 7 6Eξ = ξ 01 2 3，，， 1( 0) 5P ξ = = 7( 1) 15P ξ = = 1 3 2 2 4 6 1 1( 3) 30 CP C C ξ = = =· 3( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 10P P P Pξ ξ ξ ξ= = − = − = − = = ξ ξ P p q ξ 1 7 3 1 70 1 2 35 15 10 30 6Eξ = × + × + × + × = xy 22 = ( )00，O      02 1，F M ( ),M x y 2      MF MO = +     − + 2 2 22 2 1 yx yx = +     − + xx xx 22 1 2 2 2 4 1 2 2 2 ++ + xx xx 4 1 2 2 2 ++ += xx xxt ( ) ( ) 0421 2 =+−+− txtxt 0≥∆ 3 4≤t 4 1 2 3 4 2 2 ++ += xx xx 1=x 4 π 2 10 ( ) BCACAB ⊥+ ( ) 0=+ BCACAB 0=⋅ BCAM BCAM ⊥ ABACABACBC ⋅=−− 2 222 ( ) 22 BCABAC =+ 22 4 BCAM = AMBC 2= ABC∆腰直角三角形(如图)。在 中，由余弦定理得 。 17.【答案】 ． 【解析】设 ，则 所以直线 与 圆 有 公 共 点 ， 从 而 有 得 于是 ，得 得 18．【解析】(Ⅰ) .........3 分 设 解得 所以函数 的单调减区间为 .........6 分 函数 的最大值为 .........8 分 （Ⅱ） 且当 时 取得最大值， .........10 分 .........12 分 等号当且仅当 时成立. 所以 面积的最大值为 .........14 分 2 2 2 sin 2 2 cos 2 a at a a θ θ + += + + 22 cos 2 sin ( 1)( 2) 0,at a t aθ θ− + − + = 22 2 ( 1)( 2) 0,atx ay t a− + − + = 2 2 1x y+ = 2 2 1 ( 2) 1 2 1 t a a t − + ≤ + 22 1 2 2 1 2 2 2 21 t a a a at − ≤ ≤ =++ 2 1 1 21 t t − ≤ + 2 4 1 0t t− + ≤ 2 3 2 3t+ ≥ ≥ − CNM∆ =MN 2 10 2 3,2 3 − +  ( ) 4sin(2 ) 1,6f x x π= + − 32 2 2 ,2 6 2k x k k Z π π ππ π+ ≤ + ≤ + ∈ 2 , .6 3k x k k Z π ππ π+ ≤ ≤ + ∈ ( )f x 2, , .6 3k k k Z π ππ π + + ∈   ( )f x 3.M = (0, ),B π∈ x B= ( )f x 2 , .6 2 6B B π π π∴ + = ∴ = 2 2 2 29 2 cos 3 2 3 , 18 9 3,a c ac A a c ac ac ac ac= + − = + − ≥ − ∴ ≤ + a c= 1 1 18 9 3sin .2 4 4ABCS ac B ac∆ +∴ = = ≤ ABC∆ 18 9 3 .4 +19．（Ⅰ）证明： 平面 平面 , 平面 平面 = ， , 平面 ， 平面 ． 平面 ， ， 又 ， 平面 ． 平面 ， 平面 平面 ． （Ⅱ）方法一： 根据（Ⅰ）的证明，有 平面 ， 为 在平面 上的射影， 因此， 为直线 与平面 所成的角． ， 四边形 为等腰梯形， 过点 作 ，交 于 ． , ，则 ． 在 中，根据三角形相似（或射影定理）得 ，解得 ． ． 直线 与平面 所成角的大小为 ． 方法二：略 20【解析】（Ⅰ） ，∴ ，即 ∴ 当 时， ，得 ，即 是等比数列； ∴ ． （Ⅱ）证明： ，  ⊥ABCD ABEF ABCD ABEF AB ABCB ⊥ ⊂CB ABCD ⊥∴CB ABEF ⊂AF ABEF CBAF ⊥∴  BFAF ⊥ ⊥∴ AF CBF ⊂AF ADF ∴ ⊥DAF CBF ⊥AF CBF ∴ FB AB CBF ABF∠ AB CBF EFAB // ABEF F ABFH ⊥ AB H 2=AB 1=EF 2 1 2 =−= EFABAH AFBRt∆ ABAHAF ⋅=2 1=AF 2 1sin ==∠ AB AFABF ∴ AB CBF 30  ( )12 1 −−= nn aS ( )12 1 11 −−= aS ( )12 1 11 −−= aa 3 1 1 =a 2n ≥ ( )11 2 1 −− −−=−= nnnnn aaSSa 3 1 1 = −n n a a { }na 1( )3 n na = 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 11 ( ) 1 ( )3 3 n n n n n n n c + + + = + = ++ −+ − 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 11 13 1 3 1 3 1 3 1 n n n n n n + + + + − − += + = − + ++ − + − 1 1 12 ( )3 1 3 1+= − −+ −n n由 得 所以 ， 从而 ． 即 ． 21、【解析】（1）由题意得：T（2，0），且 是 PT 的中垂线.∴ 又 ， ∴点 G 的轨迹是以 S、T 为焦点的椭圆， ∴ 的轨迹 C 的方程是 ⑵由题意得：E(-2，0），当直线 的斜率存在时，设 ： ，代入 并整理得： ，设 ， 则 , ∴ ， 点 到直线 的距离 . ∵ ， 而 ，∴ ，即 ， 解得 ，此时 ， 当直线 的斜率不存在时， ： ，也有 ， 故直线 的方程为 1 1 1 1 1 1,3 1 3 3 1 3n n n n+ +< >+ − 1 1 1 1 1 1 ,3 1 3 1 3 3n n n n+ +− < −+ − 1 1 1 3 1 12 ( ) 2 ( )3 1 3 1 3 3＋ + += − − > − −−n n n n nc 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1[2 ( )] [2 ( )] [2 ( )]3 3 3 3 3 3n n n nT c c c += + + + > − − + − − + − −  2 2 3 1 1 1 1 1 1 12 [( ) ( ) ( )]3 3 3 3 3 3n nn += − − + − + + − 1 1 1 12 ( ) 23 3 3nn n+= − − > − 12 3nT n> − GQ .|||| GTPG = 62|||||||||| ==+=+ PSGPGSGTGS 2,6 == ca G∴== ,2c-ab 22 .126 22 =+ yx l l ( )2+= xky .126 22 =+ yx 2 2 2 2(3 1) 12 12 6 0k x k x k+ + + − = 1 1 2 2( , ) ( , )M x y N x y， 2 2 1 2 1 22 2 12 12 6, 3 1 3 1 k kx x x xk k −+ = ⋅ =+ + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 6(1 )1 1 ( ) 4 3 1 kMN k x x k x x x x k += + − = + ⋅ + − = + O l 2 2 1 kd k = + 4 2sin 6 63 3OMNOM ON MON S⋅ ∠ = ⇒ =    1 2OMNS MN d= ⋅  4 63MN d⋅ = 2 2 2 22 6(1 ) 4 63 1 31 kk k k + ⋅ =+ + 3 3k = ± 3: ( 2)3m y x= ± + l l 2−=x 2 63OMNS =  l 3 2 0 2x y x± + = = −或22 解：（Ⅰ） 令 ，则 ， 显然， ，列表有： x 0 (0, x1) x1 (x1, 1) 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 1 所以， 在 上的“下确界”为 . ……………4 分 （Ⅱ）①当 时， ， ， 和谐度 ； ②当 时， ， ， 和谐度 ； ③当 时， ， ， 和谐度 ； ④当 时， ， 和谐度 ； ⑤当 时， ， ， 和谐度 ； ⑥当 时， , ， 和谐度 . [ ]1,01 ∈x / ( )f x ( )f x ln 2 ( )f x ]1,0[ 10 2a< ≤ max( ) (2)F x F= min( ) (1)F x F= (2) (1) 3 2F F a= − = − 1 5 2 6a< ≤ max( ) (2)F x F= min( ) (2 )F x F a= ( ) (2 ) 4 4F a F a a= − = − max( ) (1)F x F= min( ) (2 )F x F a= ( ) (2) 2 1F a F a= − = − 31 2a< < max( ) ( )F x F a= min( ) (2)F x F= 2( ) (2) ( 2)F a F a= − = − 3 22 a≤ ≤ max( ) ( )F x F a= min( ) (1)F x F= 2( ) (1) ( 1)F a F a= − = − 2a > max( ) (2)F x F= min( ) (1)F x F= (2) (1) 2 3F F a= − = − 1( ) 2 02f x xx −′ = + =− 22 4 1 0x x− + = 1 2 2 21 1 12 2x x∴ = − < < = + 1 2 3( ) ln(1 ) 22 2f x = + + − G G 5 16 a< ≤ G G G G综上所述： ………………10 分（每一项得 1 分） （Ⅲ） 因为 ， 当 或 时等号成立，所以 的最大值为 1． ………………11 分 令 ，则 令 ，则 ， 令 ，得 是 的极大值点，也是 的最大值点， ，从而 ， 所以 ………………13 分 当 时等号成立，所以 的最小值为 ． ………………14 分 由此 ………………………………15 分 2 5513 − 2 2 13 2 , 0< 2 1 54 4 , 2 6 52 1, 16 3( 2) , 1 2 3( 1) , 22 2 3, 2 a a a a a aG a a a a a a  − ≤   − < ≤   − < ≤=   − < ≤   − < ≤  − > 2 21 (1 )( , ) 1 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) x y x y xy xyx y x y x y ϕ + + + −= = − ≤+ + + + 0xy = 1xy = ( , )x yϕ (1 ) ,(1 )(1 ) xy xyT t xyx y −= =+ + 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) , [0,1].1 (1 ) 11 2 xy xy xy xy t t t tT tx y xy t txy xy − − − −= ≤ = = ∈+ + + + ++ + 2 (1 )( ) 1 t tg t t −= + 2 2 3 2 2 1 5 1 52 ( )( )(2 3 )(1 ) ( ) 2 2( ) (1 ) (1 ) t t tt t t t tg t t t − − − +− − −− + − −′ = =+ + ( ) 0g t′ = 1 5 2t − += ( )g t ( )g t 1 5 5 5 11( ) ( )2 2g t g − + −∴ ≤ = 5 5 11 2T −≤ 5 5 11 13 5 5( , ) 1 2 2x yϕ − −≥ − = 1 5 2x y − += = ( , )x yϕ 5 5 11 2G −=