江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷文科数学（一）（PDF版附解析）.pdf

— 高三文科数学(一)第 1 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷 文科数学(一) 命题人：新建一中 程波 审题人：江西师大附中 陈选明 本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟． 注意事项： 1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答．若在试题卷上作答，答题无效． 2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知集合 2{ | ln( 1) 1}, { | 2 3}A x x B y y x x       ，则 A B  A. ( 1,e 1)  B. [0,e 1) C. ( 1,3) D.  2．已知复数 z 满足| 1 i | 1z    ，则| |z 最小值为 A. 1 B. 2 C. 2 1 D. 2 1 3．命题“若 0xy  ，则 0x  且 0y  ”的否定为 A. 若 0xy  ，则 0x  且 0y  B. 若 0xy  ，则 0x  或 0y  C. 若 0xy  ，则 0x  且 0y  D. 若 0xy  ，则 0x  或 0y  4．已知 o o o o(cos71 ,sin 71 ), (2cos19 , 2sin19 )A B  ，则 | |AB  A. 2 B. 2 C. 5 D. 6 5．已知( , )x y 满足条件 2 2 2 0 4 4 0 x y x y x y           ，则3 2x y 的最小值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3 91, 27a S   ，则 7a  A. 7 B. 6 C. 5 D. 9 7． ABC 的水平直观图 A B C   如图所示，已知 o o1, 30 , 90A B A C B A B C            ，则边 AB 长为 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 8．若函数 ( )f x 是定义在(1, ) 的单调递减函数，若函数 ( 1)f ax  在 ( 2, 1)  单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. ( , 2]  B. [ 2,0) C. ( , 1]  D. [ 1, )  — 高三文科数学(一)第 2 页(共 4 页) — 9．已知某算法框图如图所示，则输出的结果应为 A. 10 B. 20 C. 11 D. 21 10．已知O 为 ABC 的外心，若 2 2 BCAO BC    ， 则 ABC 为 A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 不能确定 11．已知 1 2( ,0), ( ,0)F c F c 为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    的左、右焦点，点 P 是圆 2 2 2:O x y c  与 by xa 在第一象限的 公共点，若 1PF 与直线 by xa  垂直，则双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 3 12． 已知正三棱台 1 1 1ABC A B C 的内切球半径为1（ 1 1AB A B ），则 1 1 1 1 3 A A B C A ABCV V  的最小 值为 A. 12 3 B. 18 3 C. 12 D. 18 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13．已知一组鞋码与身高的数据（ x 表示鞋码， ( )y cm 表示身高），其中 360m n  . x 40 41 42 43 44 y 172 175 m n 183 若用此数据计算得到回归直线  2.25y x a  ，则由此估计当鞋码为38时身高约为_________． 14．已知数列{ }na 满足 1 ( 1)n n na a n    ，若 1 2a   ，则 2019 _______.a  15． ABC 中，角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ，若 BC 边上的高等于 3 2 a ，当 b c c b 最大 时， _______.A  16．若 x R  都有(e )(2 ) 0x a x b   恒成立，则 a b 的最小值为_________． — 高三文科数学(一)第 3 页(共 4 页) — 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必做部分 17．（本小题满分 12 分）已知等比数列{ }na 的首项 1 1a  ，前 n 项和为 nS ，设 1n nb S  ，且数 列{ }nb 为等比数列. （Ⅰ）求{ }na ，{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）求数列 2{ log }n na b 的前 n 项和 nT . 18 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 四 棱 柱 ABCD A B C D    中 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ， o2, 4, 60AB AA BAD    , E 为 BC 中点，C 在平面 ABCD 上的投影 H 为直线 AE 与 DC 的交点. （Ⅰ）求证： BD A H ； （Ⅱ）求三棱锥 B D BE  的体积. 19． 2019 年 10 月 1 日，庆祝新中国成立 70 周年阅兵在北京举行，陆军、海军、空军、火箭军 和战略支援部队部分新型武器装备受阅.观看阅兵后，某校军事兴趣组决定对首次亮相的武器装备 做更加深入的了解，以完善兴趣小组的文档资料，军事兴趣组一共 6 人，分成两个小组（第一小 组研究 15 式主战坦克、轰-6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机，第二小组研究东风-17 常规导弹、 长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹），其中第一小组 , ,A B C 三位同学分别对 15 式主战坦克、轰 -6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机特别感兴趣，第二小组 , ,D E F 三位同学分别对东风-17 常规导 弹、长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹特别感兴趣，现对两个小组的同学随机分配（每人只选一 项且不重复）. （Ⅰ）第一小组的三位同学恰好都被分配到调查自己非常感兴趣的装备的概率是多少？ （Ⅱ）若两个小组中调查的装备恰为自己特别感兴趣的同学个数分别为 ,X Y ，求 X Y 的概率. — 高三文科数学(一)第 4 页(共 4 页) — 20．（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b    的左、右焦点分别为 1 2, .F F （Ⅰ）过原点作斜率为 3 直线l 交椭圆于 ,P Q ，若 o 2 90PF Q  ，求椭圆的离心率； （Ⅱ）设 1b  ，过点 (1,0)N 作两条相互垂直的直线 1 2,l l ，已知 1l 交 E 于 ,A B 两点， 2l 与圆 2 2 1x y  交于另一点 M ，若 ABM 面积最大时直线 AB 与 x 轴不垂直，求 a 的取值范围. 21．（本小题满分 12 分）已知定义在(0, ) 上的函数 31( ) ( 1) ( ,3 xf x x e ax a R    e 为自然对 数的底数）. （Ⅰ）若在(2, (2))f 处的切线斜率为 22e ，求 a ； （Ⅱ）若 1 2,x x 为 ( )f x 的两个不同的极值点，求证： 1 2 2.x x  （二）选做部分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程 2cos (2 2sin x y       为参数).以O 为极点， x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知直线的极坐标方程为 1 π: cos( ) 33l     ，且直线 2 π: 3l    与圆C 的交点为 ,O P ， 与直线 1l 的交点为Q ，求线段 PQ 的长度. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 | | 4 | .f x x x    （Ⅰ）设不等式 ( ) 4f x  的解集为 M ，求 M ； （Ⅱ）求证：当 a M 时，不等式 2 2 2 | 5 | 8a a a     恒成立. — 高三文科数学(一)第 5 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 文科数学(一) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C C A D A B B B C 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分. 13．169 14．3 15． π 6 16． 2 2ln 2 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（Ⅰ）设{ }na 的公比为 q ，则 2 1 2 32, 2, 2b b q b q q      ， 故 2 22( 2) ( 2)q q q    ，解得 2q  ，故 12 , 2 1, 2 .n n n n n na S b    （ Ⅱ ） 1 2log 2n n na b n    ， 故 0 1 2 2 11 2 2 2 3 2 ... ( 1) 2 2n n nT n n             ， 1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ... ( 1) 2 2n n nT n n            ，两式相减可得： 2 1(1 2 2 ... 2 ) 2 2 (2 1) ( 1) 2 1n n n n n nT n n n                . 18．【解析】（Ⅰ）证明：C H  面 ABCD C H BD  ，而 BD A C  ， 故 BD  面 .A C H BD A H    （Ⅱ）在 'CC H 中 'C H CH , 4, 2CC AA CH    ,所以 2 3C H  ， DD ∥ ,BB BB   面 B BE , DD ∥面 .B BE 所以 1 1 3 2 3 1.3 6B D BE D B BE B DBE BDEV V V S h               19．【解析】（Ⅰ）第一小组的全部分配情况有：( , , ),( , , ),( , , ),( , , )A B C A C B B A C B C A ， ( , , ),( , , )C A B C B A 共 6 种，其中 , ,A B C 三位同学恰好都被分配到调查自己非常感兴趣的装备的情 况只有 1 种，因此概率为 1.6 （Ⅱ） , 0,1,3,X Y  由（Ⅰ）知 1 1( 0) ( 0) , ( 1) ( 1)3 2P X P Y P X P Y        ， 1( 3) ( 3) 6P X P Y    ， — 高三文科数学(一)第 6 页(共 4 页) — 故 1 1 1 1 1 11( ) ( 3,0 1) ( 1, 0) ( ) .6 3 2 2 3 36P X Y P X Y P X Y              20．【解析】（Ⅰ）连接 1PF ，由对称性可得 o 1 2 90F PF  ，且 o 2 60POF  ， 故 1 2 1 23 , 2 ( 3 1) e 3 1.cPF c PF c a PF PF c a           （Ⅱ）设直线 : 1AB x my  ，则直线 1: 1MN x ym   并设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 将直线 AB 与椭圆方程联立消去 x 可得 2 2 2 2( ) 2 1 0m a y my a     ， 则 2 1 2 1 22 2 2 2 2 1,m ay y y ym a m a      ， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1| | ( ) 4 a m ay y y y y y m a        ， 则 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1| | | | 1 a m a mAB y y m m a         . 将直线 MN 与 2 2 1x y  联立并消去 x 可得 2 2 2 1 2 0m y ym m    ，解得 2 2 1M my m  ， 则 2 2 1 2| | | | 1 1M NMN y y m m      ，所以 2 2 2 2 1 2 1| | | |2ABM a m aS AB MN m a      令 2 2 1t m a   ，则 2 2 2 2 ( 1)11ABM at aS t at t t       ， 当 20 1 1a   即1 2a  时， ABMS 的最大值为 2 12 a a t t   ， （当且仅当 1t  ，即 22m a   时取到“=”） 当 2 1 1a   即 2a  时 ， ABMS 关 于 t 单 调 递 增 ， 此 时 ABMS 最 大 值 为 2 2 2 2 2 1 11 1 a a aa a     （当且仅当 2 1t a  ，即 0m  时取到“=”）（不合题意）. 综上，若 ABM 面积最大时直线 AB 与 x 轴不垂直，则 a 的取值范围是(1, 2) . 21．【解析】（Ⅰ） 2 2( ) (2) 2 4xf x xe ax f e a      ，故 2 22 4 2e a e   ，解得 2.a e — 高三文科数学(一)第 7 页(共 4 页) — （Ⅱ） 2( ) ( )x xf x xe ax x e ax     ，故 1 2,x x 为方程 xe ax 的两根，即方程 ln lnx x a  的 两根，则 .a e 不妨假设 1 20 x x  . 设 ( ) ln lng x x x a   ，则 1( ) 1g x x    ，故当 0 1x  时 ( )g x 单调递增； 1x  时 ( )g x 单调 递减，则 1 20 1x x   . 而 1 2 2 1 2 1 1 12 2 1 ( ) (2 ) ( ) (2 )x x x x g x g x g x g x            构造 ( ) ( ) (2 )(0 1)F x g x g x x     ， 则 2 1 1 2 2( ) ( ) (2 ) 2 2 2 022 (2 ) ( )2 F x g x g x x xx x x x                ， 故 ( )F x 在(0,1) 单调递增，则 ( ) (1) 0F x F  ，从而 1 1( ) (2 )g x g x  得证. 因此 1 2 2.x x  22．【解析】（Ⅰ）消参后圆C 化为： 2 2 4x y y  ，故圆C 的极坐标方程为： 4sin  . （Ⅱ） ππ π π3( 2 3, ), ( 6, )3 π3 34sin cos( ) 33 P Q                       ， 故| | 6 2 3.PQ   23．【解析】（Ⅰ） 6 2 , 2 ( ) 2,2 4 2 6, 4 x x f x x x x         ，故当 2x  时，6 2 4 1 2x x     ； 当 2 4x  时， 2 4 恒成立；当 4x  时， 2 6 4 4 5x x     . 综上， ( ) 4f x  的解集为[1,5]. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1 5a  ，从而不等式可化为 2 2 2(5 ) 8a a a     ， 因为 2 22 [2(5 ) 8] 3 4 ( 4)( 1) 0a a a a a a a            ， 所以不等式 2 2 2 | 5 | 8a a a     成立. — 高三文科数学(一)第 8 页(共 4 页) — 高三文科数学（一）选择填空详细解析 1.B【解析】 { | 1 e 1}, { | 0}A x x B y y       ，故 [0,e 1).A B   2.C 【解析】 z 在复平面所对应的点的轨迹为以 ( 1,1)C  为圆心、1 为半径的圆，而| |z 表示 z 所 对应的点到原点的距离，故最小值为 2 1 . 3.D 4.C【解析】 o o o(2cos( 19 ),2sin( 19 )),| | 1,| | 2, 90B OA OB AOB      ， 故 2 2| | 1 2 5.AB    5.C【解析】可行域是以 (0, 2), (2, 4), (1,0)A B C 为顶点的三角形内部及边界区域，故3 2x y 在点 C 处取得最小值3 . 6.A【解析】 1 9 9 5 5 7 5 39 9 3 2 7.2 a aS a a a a a         7.D【解析】过 A作 y轴的平行线，交 x 轴于点 D ，则 2, 1A D D B     ，因此在 xOy 坐标 系中， o2 2, 1, 90AD DB ADB    ，由勾股定理得 3.AB  8.A【解析】由已知 0a  .因为 ( )f x 的定义域为(1, ) ，则 ( 2, 1)x   时不等式 1 1ax   在恒 成立，即 ( 2, 1)x   时不等式 2x a 恒成立，故 2.a   9. B【解析】此算法原理为求数列 ( 1) (2 1)(2 1) n n na n n     的前 n 项和 nS . ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 ... ( 1) ( 1) )4 2 1 2 1 4 3 3 5 2 1 2 1 n n n n na Sn n n n                 ， 故 1 1( 1 ( 1) )4 2 1 n nS n     ，令 10 41nS   ，解得 20.n  10.B【解析】设 M 为边 BC 的中点，并设角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ， 则 2 21( ) ( )( )2 2 b cAO BC AM MO BC AM BC AB AC AC AB                     ， 故 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a b c a     ，所以 2 2 2b a c  ，从而 ABC 为直角. 11.B【解析】由已知 by xa  与 1PF 垂直，与 2PF 平行，故 1F 到渐近线的距离为 1 1 | |2 PF ， 即 1| | 2PF b ，且 1 2| | 2F F c ，则 2| | 2PF a ，且 2 2tan cosb aPOF POFa c     .而 2POF 中， 2| | | |PO OF c  ，则由余弦定理 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2cos 2 c c a c aPOF c c      ， 故 2 2 2 2 2.c a a c c c a     12. C【解析】取 1 1,AC AC 的中点 MN ，则内切球球心在梯形 1MNBB 内，且与 1 , ,B M MN NB 分— 高三文科数学(一)第 9 页(共 4 页) — 别相切于点 , ,P R Q 设 ,PM a QN b  ，则 1tan OMP a  ， 1tan ONQ b  ， 因为 o90OMP ONQ    ，所以 1 1 1a b  ，即 1.ab  因此 1 1 1 1 2 21 3 1 33 3 (2 3 ) 2 (2 3 ) 23 4 3 4A A B C A ABCV V a b         2 22 3(3 )a b  2 3 2 3 12.ab   13. 169 【解析】 42, 178x y  ，将 ( , )x y 代入回归直线可得 83.5a  ，故当鞋码为38 时身高 约为 2.25 38 83.5 169( ).cm   14. 3【解析】当 n 为奇数时， 1 2 1 1n n n na a n a a n        ，则 2 1n na a   （即奇数项的 周期为 2），故 2019 3 11 3.a a a    15. 6  【 解 析 】 因 为 1 3 1, sin2 2 2ABC ABCS a a S bc A    ， 故 23 sin2 a bc A ， 而 2 2 2 cos 2 b c aA bc   ， 故 2 4 π 4sin 2 cos sin( )33 3 3 b c A A Ac b      ， “=” 取 到 时 角 π 6A  . 16. 2 2ln 2 【解析】首先 0a  ，其次方程 (e )(2 ) 0x a x b   的根 1 2ln , 2 bx a x  应为重根， 即 ln 2 ba  ，故 2lna b a a   ， 设函数 2( ) 2ln , ( ) 1 0 2f a a a f a aa        （小），则 ( ) (2) 2 2ln 2.f a f  