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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷
理科数学(一)
命题人：新建一中 程波 审题人：江西师大附中 陈选明
本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答题无效．
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知集合 2{ | ln( 1) 1}, { | 2 3}A x x B y y x x ，则 A B
A. ( 1,e 1)
B. [0,e 1)
C. ( 1,3)
D.
2．已知复数 z 满足| 1 i | 1z ，则| |z 最小值为
A. 1
B. 2
C. 2 1
D. 2 1
3．已知 o o o o(cos71 ,sin 71 ), (2cos19 , 2sin19 )A B ，则 | |AB
A. 2
B. 2
C. 5
D. 5
4．已知( , )x y 满足条件
2 2
2 0
4 4 0
x y
x y
x y
，则3 2x y 的最小值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
5．已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3 101, 30a S ，则 8a
A. 7
B. 6
C. 5
D. 9
6．二项式 3
1(2 )
2
nx 的展开式中，若有理项有11项，则 n 的最大值为
A. 26
B. 30
C. 32
D. 35
7． ABC 的水平直观图 A B C 如图所示，已知
o o1, 30 , 90A B A C B A B C ，则边 AB 长为
A. 1
B. 2
C. 2 2
D. 3
8．若函数 ( )f x 是定义在(1, ) 的单调递减函数，若函数 (log 1)af x 在 1 1( , )3 2
单调递增，则实
数 a 的取值范围是
A. 2[ ,1)2
B. 3 2[ , ]3 2
C. 2[ , )2
D. 3[ ,1)3 — 高三理科数学(一)第 2 页(共 4 页) —
9．已知某算法框图如图所示，则输出的结果应为
A. 10
B. 20
C. 11
D. 21
10．过双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 右焦点 ( ,0)F c 作其中
一条渐近线的垂线 (FP P 为垂足），且与另一条渐近线交于点
Q ( F 在线段 PQ 内)，若| | 2 | |FQ FP ，则双曲线的离心率为
A. 3
B. 2
C. 13
3
D. 2 3
3
11．已知O 为 ABC 的外心，若 2
AO BC BC ，则 ABC 为
A. 锐角
B. 直角
C. 钝角
D. 不能确定
12．已知正四面体 A BCD 的棱长为 6 2 ， ,M N 分别是 ,AC AD 上的点，过 MN 作平面 ，
使得 ,AB CD 均与 平行，且 ,AB CD 到 的距离分别为 2,4 ，则正四面体 A BCD 的外接球被
所截得的圆的面积为
A. 11π
B. 18π
C. 26π
D. 27π
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13．已知一组鞋码与身高的数据（ x 表示鞋码， ( )y cm 表示身高），其中 360m n .
x 40 41 42 43 44
y 172 175 m n 183
若用此数据计算得到回归直线 2.25y x a ，则由此估计当鞋码为38时身高约为_________．
14．已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 ( 1)n
n na a n ，若 17 70S ，则 2019a _________．
15． ABC 中，角 , ,A B C 所对应的边分别为 , , ( )a b c b c ，若 BC 边上的高等于 3
2
a ，当 b c
c b
最大时， : :a b c _________．
16．若对任意 ( 1, )x 都有不等式 (e )(ln( 1) ) 0x a x b 恒成立，则 a b 的取值范围是
_________． — 高三理科数学(一)第 3 页(共 4 页) —
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必做部分
17．（本小题满分 12 分）已知等比数列{ }na 的首项 1 1a ，前 n 项和为 nS ，设 1n nb S ，且数
列{ }nb 为等比数列.
（Ⅰ）求{ }na ，{ }nb 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 2{ log }n na b 的前 n 项和为 nT ，求证： .n n nT S nb
18 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 四 棱 柱 ABCD A B C D 中 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ，
o2, 4, 60AB AA BAD , E 为 BC 中点，C 在平面 ABCD 上的投影 H 为直线 AE 与 DC
的交点.
（Ⅰ）求证： BD A H ；
（Ⅱ）求二面角 D BB C 的正弦值.
19．（本小题满分 12 分）2019 年 10 月 1 日，庆祝新中国成立 70 周年阅兵在北京举行，陆军、海
军、空军、火箭军和战略支援部队部分新型武器装备受阅.观看阅兵后，某校军事兴趣组决定对首
次亮相的武器装备做更加深入的了解，以完善兴趣小组的文档资料.军事兴趣组一共 6 人，分成两
个小组（第一小组研究 15 式主战坦克、轰-6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机，第二小组研究东
风-17 常规导弹、长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹），其中第一小组 , ,A B C 三位同学分别对 15
式主战坦克、轰-6N 新型战略轰炸机、直-20 直升机特别感兴趣，第二小组 , ,D E F 三位同学分别
对东风-17 常规导弹、长剑-100 巡航导弹、东风-41 核导弹特别感兴趣，现对两个小组的同学随机
分配（每人只选一项且不重复），设两个小组中调查的装备恰为自己特别感兴趣的同学个数分别为
,X Y .
（Ⅰ）求 X Y 的概率；
（Ⅱ）设 Z X Y ，求随机变量 Z 分布列与数学期望.
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20．（本小题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b 的左、右焦点分别为 1( ,0)F c ，
2 ( ,0).F c
（Ⅰ）过原点作斜率为 3 直线l 交椭圆于 ,P Q ，若 o
2 90PF Q ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设 1b ，过点 (1,0)N 作两条相互垂直的直线 1 2,l l ，已知 1l 交 E 于 ,A B 两点， 2l 与圆
2 2 1x y 交于另一点 M ，若 ABM 面积最大时直线 AB 与 x 轴不垂直，求 a 的取值范围.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 π( ) e (sin cos ) ( π)2
xf x x x ax x 有两个不同的极值点
1 2,x x .
（Ⅰ）求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）设 ( ) ( )g x f x ，求证： 1 20 ( ) .2
x xg a
（二）选做部分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程
2cos (2 2sin
x
y
为参数).以O 为极点， x 轴的非负半
轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线的极坐标方程为 1
π: cos( ) 33l ，且直线 2
π: 3l 与圆C 的交点为 ,O P ，
与直线 1l 的交点为Q ，求线段 PQ 的长度.
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 2 | | 4 | .f x x x
（Ⅰ）设不等式 ( ) 4f x 的解集为 M ，求 M ；
（Ⅱ）求证：当 a M 时，不等式 2 2 2 | 5 | 8a a a 恒成立.
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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
理科数学(一)
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C C A C D A B D C C
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13．169 14．3 15．1: 3 :1 16． [1, )
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【解析】（Ⅰ）设{ }na 的公比为 q ，则 2
1 2 32, 2, 2b b q b q q ，
故 2 22( 2) ( 2)q q q ，解得 2q ，故 12 , 2 1, 2 .n n n
n n na S b
（Ⅱ） 1
2log 2n
n na b n ，故 0 1 2 2 11 2 2 2 3 2 ... ( 1) 2 2n n
nT n n ，
1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 ... ( 1) 2 2n n
nT n n ，两式相减可得：
2 1(1 2 2 ... 2 ) 2 2n n n
n n n nT n n S nb S ，即 .n n nT S nb
18．【解析】（Ⅰ）证明：C H 面 ABCD C H BD ，
而 BD A C ，故 BD 面 .A C H BD A H
（Ⅱ）取 AB 中点 M ，则CD DM .
以 D 为原点，分别以 ,DM DC 为 ,x y 轴、
以过 D 并平行于C H 的直线为 z 轴建立
空间直角坐标系，由于在 'CC H 中
'C H CH , 4, 2CC AA CH ,
所以 2 3C H ，
则 (0,0,0), ( 3, 1,0), ( 3,1,0), (0,2,0), (0,4,2 3)D A B C C ,
故 (0,2,0) (0, 2, 2 3)AB D C D , ( 3, 1,0) ( 3,3,2 3)CB C B B ,
所以 ( 3,1,0), (0,2,2 3), ( 3,1,0)D B BB BC ， — 高三理科数学(一)第 6 页(共 4 页) —
设 1 1 1 1( , , )n x y z 为平面 BB D 的一个法向量，则
1 11 1 1
1 11 1 1
0 3 0
30 2 2 3 0
x zn D B x y
y zn BB y z
，令 1 1z 可得 1 (1, 3,1)n ，
设 2 2 2 2( , , )n x y z 为平面 BB D 的一个法向量，则
2 21 2 2
2 21 2 2
0 3 0
30 2 2 3 0
x zn BC x y
y zn BB y z
，令 2 1z 可得 2 ( 1, 3,1)n ，故
1 2
1 2 1 2
1 2
3 4cos , sin ,5 5| | | |
n nn n n n
n n
，即二面角 ' 'D BB C 的正弦值为 4.5
19．【解析】
（Ⅰ）
1 1
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2 2 1 1 1 1( 0) , ( 1) , ( 3)9 4 36
C CP X Y P X Y P X YA A A A A A
故 1 1 1 7( ) .9 4 36 18P X Y
（Ⅱ） , 0,1,3,X Y 因为 3 3
3 3
2 1 3 1( 0) ( 0) , ( 1) ( 1)3 2P X P Y P X P YA A ，
3
3
1 1( 3) ( 3) 6P X P Y A ，所以
1 1 1 1( 0) ( 0) , ( 1) ( 0, 1) ( 1, 0) 23 3 6 3P Z P X Y P Z P X Y P X Y ，
1 1 1 1( 2) ( 1) , ( 3) ( 0, 3) ( 3, 0) 22 2 3 6P Z P X Y P Z P X Y P X Y ，
1 1( 4) ( 1, 3) ( 3, 1) 2 2 6P Z P X Y P X Y ， 1 1( 6) ( 3) 6 6P Z P X Y ，
故 1 1 1 1 1 10 1 2 3 4 6 2.9 3 4 9 6 36EZ
20．【解析】（Ⅰ）连接 1PF ，由对称性可得 o
1 2 90F PF ，且 o
2 60POF ，
故 1 2 1 23 , 2 ( 3 1) e 3 1.cPF c PF c a PF PF c a
（Ⅱ）设直线 : 1AB x my ，则直线 1: 1MN x ym ，并设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
将 直 线 AB 与 椭 圆 方 程 联 立 消 去 x 可 得 2 2 2 2( ) 2 1 0m a y my a ， 则— 高三理科数学(一)第 7 页(共 4 页) —
2
1 2 1 22 2 2 2
2 1,m ay y y ym a m a
，
2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
2 1| | ( ) 4 a m ay y y y y y m a
，
则
2 2 2
2
1 2 2 2
2 1 1| | | | 1 a m a mAB y y m m a
.
将直线 MN 与 2 2 1x y 联立并消去 x 可得
2
2
2
1 2 0m y ym m
，解得 2
2
1M
my m
，
则 2 2
1 2| | | | 1
1M NMN y y m m
，故
2 2
2 2
1 2 1| | | |2ABM
a m aS AB MN m a
，
令 2 2 1t m a ，则 2
2
2 2 ( 1)11ABM
at aS t at t t
，
当 20 1 1a 即 1 2a 时 ， ABMS 的 最 大 值 为 2
12
a a
t t
，（当 且 仅 当 1t ， 即
22m a 时取到“=”）.
当 2 1 1a 即 2a 时 ， ABMS 关 于 t 单 调 递 增 ， 此 时 ABMS 最 大 值 为
2
2
2
2 2 1
11
1
a a
aa
a
（当且仅当 2 1t a ，即 0m 时取到“=”）（不合题意）.
综上，若 ABM 面积最大时直线 AB 与 x 轴不垂直，则 a 的取值范围是(1, 2) .
21．【解析】（Ⅰ）由已知， ( ) ( ) 2e sinxg x f x x a ，则 1 2,x x 为 ( )g x 在 π( , π)2
的两个不同
的零点，且 π( ) 2e (sin cos ) 2 2e sin( )4
x xg x x x x ，故当 π 3π( , )2 4x 时 ( ) 0g x ，当
3π( , π)4x 时 ( ) 0g x ，所以当 π 3π( , )2 4x 时 ( )g x 单调递增，当 3π( , π)4x 时 ( )g x 单调递减.
故 当 ( )g x 在 π( , π)2x 有 两 不 同 的 实 根 时 ， π 3π( ) 0, (π) 0, ( ) 02 4g g g ， 解 得
π 3π
2 42e 2e .a — 高三理科数学(一)第 8 页(共 4 页) —
（Ⅱ）不妨假设 1 2x x ，则 1 2
π 3π π2 4x x ，且 π( ) 2 2e sin( )4
xg x x 在 π( , π)2
单调
递减，故 1 2 1 23π π 3π( ) 0 ( )2 4 2 2 4
x x x xg g
而 1 2 2 1 2 1 1 1
3π 3π 3π 3π 3ππ ( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2 2x x x x g x g x g x g x ，
设 3π π 3π( ) ( ) ( )( )2 2 4F x g x g x x ，则
3π 3π
2 23π π 7π π( ) ( ) ( ) 2 2[e sin( ) e sin( )] 2 2 sin( )(e e )2 4 4 4
x xx xF x g x g x x x x
因为 π 3π
2 4x 时
3π 3π 3π 3π
2 4 2 4πsin( ) 0, e e e e 04
xxx
，故 ( ) 0F x ，
所以 ( )F x 在 π 3π( , )2 4
单调递减，故有 3π( ) ( ) 04F x F ，即 1 1
3π( ) ( )2g x g x 成立，
即 1 2
3π
2x x ，从而 1 2 1 2π 3π 3π π( ) ( ) ( )2 2 4 4 2 2
x x x xg g g ，
即
π
1 2 20 ( ) 2e .2
x xg a 综上所述 1 20 ( ) .2
x xg a
22．【解析】（Ⅰ）消参后圆C 化为： 2 2 4x y y ，故圆C 的极坐标方程为： 4sin .
（Ⅱ）
ππ π π3( 2 3, ), ( 6, )3 π3 34sin cos( ) 33
P Q
，
故| | 6 2 3.PQ
23．【解析】（Ⅰ）
6 2 , 2
( ) 2,2 4
2 6, 4
x x
f x x
x x
，故当 2x 时，6 2 4 1 2x x ；当 2 4x 时，
2 4 恒成立；当 4x 时， 2 6 4 4 5x x .综上， ( ) 4f x 的解集为[1,5].
（ Ⅱ ） 由 （ Ⅰ ） 可 知 1 5a ， 从 而 不 等 式 可 化 为 2 2 2(5 ) 8a a a ， 而
2 22 [2(5 ) 8] 3 4 ( 4)( 1) 0a a a a a a a ，
所以不等式 2 2 2 | 5 | 8a a a 成立.
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高三理科数学（一）选择填空详细解析
1.B【解析】 { | 1 e 1}, { | 0}A x x B y y ，故 [0,e 1).A B
2.C【解析】z 在复平面所对应的点的轨迹为以 ( 1,1)C 为圆心、1 为半径的圆，而| |z 表示 z 所对
应的点到原点的距离，故最小值为 2 1 .
3.C【解析】 o o o(2cos( 19 ),2sin( 19 )),| | 1,| | 2, 90B OA OB AOB ，
故 2 2| | 1 2 5.AB
4.C【解析】可行域是以 (0, 2), (2, 4), (1,0)A B C 为顶点的三角形内部及边界区域，故3 2x y 在点
C 处取得最小值 3.
5.A【解析】 1 10 3 8 8
10 8
110 10 10 30 7.2 2 2
a a a a aS a
6.C【解析】
4
3
1 ( 1) 2n rr r n r
r nT C x
，当 0,3,6,...,30r 时为有理项，故 n 的最大值为32.
7.D【解析】过 A作 y轴的平行线，交 x 轴于点 D ，则 2, 1A D D B ，因此在 xOy 坐标
系中， o2 2, 1, 90AD DB ADB ，由勾股定理得 3.AB
8.A【解析】由已知0 1a .因为 ( )f x 的定义域为(1, ) ，则 1 1( , )3 2x 时不等式log 1 1a x
在恒成立，即 1 1( , )3 2x 时不等式 20 x a 恒成立，故 2 1.2 a
9. B【解析】此算法原理为求数列 ( 1) (2 1)(2 1)
n
n
na n n
的前 n 项和 nS .
( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 1 ... ( 1) ( 1) )4 2 1 2 1 4 3 3 5 2 1 2 1
n
n n
n na Sn n n n
， 故
1 1( 1 ( 1) )4 2 1
n
nS n
，令 10
41nS ，解得 20.n
10.D【解析】设 POF QOF ，则 90 2OQF .
由已知 FPO 中，| | sinPF c ，则| | 2 sinQF c ，故 QFO 中，
| | | | 2 sin 1 πcos 2sin sin(90 2 ) sin sin(90 2 ) 2 6
QF OF c c
，
故 23 2 3tan e= 1 ( ) .3 3
b b
a a
11.C 【 解 析 】 设 M 为 边 BC 的 中 点 ， 并 设 角 , ,A B C 所 对 应 的 边 分 别 为 , ,a b c ， 则
2 21( ) ( )( )2 2
b cAO BC AM MO BC AM BC AB AC AC AB ，
故
2 2
2 2 2 222
b c a b c a ，所以
2 2 2 2
cos 02 2
a c b aB ac ac
，从而 ABC 为钝角.
12. C【解析】将正四面体 A BCD 补形成棱长为 6 的正方体 APBQ ECFD ，则 A BCD 的外— 高三理科数学(一)第 10 页(共 4 页) —
接球球心O即为正方体的中心，故球O的半径 6 3 3 32R ,且 与面 ,APBQ ECFD 平行，
到面 ,APBQ ECFD 的距离分别为 2 和 4 ，此时 O 到 的距离为1，故 被球 O 所截圆半径
2 21 26r R ，从而截面圆的面积为 26π .
13. 169 【解析】 42, 178x y ，将 ( , )x y 代入回归直线可得 83.5a ，故当鞋码为38 时身高
约为 2.25 38 83.5 169( ).cm
14. 3【解析】当 n 为奇数时， 1 2 1 1n n n na a n a a n ，则 2 1n na a （即奇数项的
周期为 2）；当 n 为偶数时， 1 2 1 1n n n na a n a a n ，则 2 2 1n na a n .
故 3 5 7 9 11 13 15 17( ) ( ) ( ) ( ) 4a a a a a a a a ；
2 4 6 8 10 12 14 16( ) ( ) ( ) ( ) 5 13 21 29 68a a a a a a a a ，
从而 17 1 1 14 68 72 2S S S a a a 奇 偶 ，故 2019 3 11 3.a a a
15. 1: 3 :1 【解 析 】因 为 1 3 1, sin2 2 2ABC ABCS a a S bc A ，故 23 sin2 a bc A ， 而
2 2 2
cos 2
b c aA bc
，故 2 4 π 4sin 2 cos sin( )33 3 3
b c A A Ac b ，且取到最大值时
π
6
4 3 sin 3 sin
3
A
b c b B Cc b c
，故 πsin 3 sin( )6B B ，解得 2π
3B ，从而
π
6C ，故 : : 1: 3 :1a b c
16. [1, ) 【解析】首先 0a ，其次方程 (e )(ln( 1) ) 0x a x b 的两根应为重根，设此根为
( 1)t t ， 则 e , ln( 1)ta b t ， 故 e ln( 1)ta b t ， 设 函 数
1( ) e ln( 1) ( ) e 1
t tf t t f t t
，其中 ( )f t 单调递增，且 (0) 0f ，故 0t 为 ( )f t 的
极（最）小值点，则 ( ) (0) 1f t f ，即 [1, ).a b
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