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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试卷
文科数学(二)
命题人：江西师大附中 陈选明 审题人：新建一中 程波
本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答题无效．
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知集合 2
2020{ | log (10 3 )}M x y x x ， { | 2020 1}xN y y ，则 M N
A. ( 1,2) B. 1,2 C. (1,2) D. 1,2
2．已知复数
1 i
2z
是实数，则复数 z 的虚部为
A. 1 B. 2 C. i D. 2i
3．建设“学习强国”学习平台是贯彻落实习近平总书记关于加强学习、建设学习大国重要指示精神、
推动全党大学习的有力抓手．该平台内容丰富，极大地满足了互联网条件下广大党员干部和人民
群众多样化、自主化、便捷化的学习需求．该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板
块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块．某校为了解本校教职员工使用
“学习强国”学习平台学习的情况，随机调查了 200 名教职员工，其中喜欢阅读文章或喜欢视听学
习的教职员工共有 180 人，喜欢阅读文章的教职员工共有 90 人，喜欢视听学习的教职员工人数与
被调查的教职员工总数比值的估计值为 0.6，则喜欢阅读文章且喜欢视听学习的教职员工人数为
A．30 B．60 C．90 D．100
4．已知等差数列 na 中的前 n 项和为 nS ， 1 1a ，若 1 1 27m m ma a a ，且满足 45mS ，
则 m 的值为
A．9 B．10 C．11 D．12
5．若 x 、y 满足约束条件
4 0
2 3 3 0
4 1 0
x y
x y
x y
，等差数列 na 满足 1 4,a x a y ，其前 n 项和为 nS ，
则 7 4S S 的最小值为
A．13 B． 1 C． 5 D．5
6．函数 ( ) sin (cos 1)f x x x 在 π, π 的图像大致为
A B C D — 高三文科数学(二)第 2 页(共 4 页) —
7．已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )f x f x ，且当 ( 1,0)x 时 ( ) 2axf x ，
若 4
4(1 log 80) 5f ，则 a （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 2
8．将函数 2 3π( ) sin 3 sin(π )sin( )2f x x x x 上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐
标不变），得到 ( )g x 的图像，现有下述四个结论：
① ( )g x 的图像关于直线 2π
3x 对称； ② ( )g x 在 0,π 上的值域为 30, 2
；
③ ( )g x 的图像关于点 π( ,0)6
对称；
④ ( )g x 的图像可由 cosy x 得图像向右平移 2π
3
个单位长度得到．其中所有正确结论的编号是
A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④
9．在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PD AC ，AB 平面 PAD ，且CD PD =3.
若四棱锥 P ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为
A． π B． 2π C． 4π D．6π
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的左右焦点分别为 1F ， 2F ，焦距为 2c ，若圆
2 2 2: ( )D x c y c 上存在一点 M ，使得点 M 与 1F 关于双曲线C 的一条渐近线对称，
则双曲线C 的离心率e
A． 5 B． 2 C． 2 D． 3
11．几何体甲与几何体乙的三视图如图所示，几何体
甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等
腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，
若几何体甲的体积是乙的体积的 1
4
，则几何体甲与乙
的表面积之比为
A．1: 3 B．1: 4
C．1: 2 D．1: 2
12．设函数 '( )f x 是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数，当 0x 时， 2 ( ) '( )f x xf x x ，
则使得3 ( 1) 1f x x 成立的取值范围是（ ）
A．( ,1) B．( , 1) C．(1, ) D．( 1, )
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分．
13．已知 a 与b 满足 2 2 3a b a b a ，则 a 与b 的夹角为_________．
14．从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲
的矛盾”，随着几何学的发展，人们逐渐探究曲与直的相互转化，
比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题.如图，
设等腰直角三角形 ABC 中， AB BC ， 90ABC ，以 AC
为直径作半圆，再以 AB 为直径作半圆 AmB ，那么可以探究月牙 — 高三文科数学(二)第 3 页(共 4 页) —
形面积(图中黑色阴影部分)与 AOB 面积(图中灰色阴影部分)之间的关系，在这种关系下，若向整
个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分的概率为_________．
15．已知 A 、B 为抛物线 2 4y x 上的两个动点，且OA OB ，抛物线的焦点为 F ，则 ABF 面
积的最小值为_________．
16．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满足 1 1n nS S （ 2n ， *n N ）， 1 1a ，若不等式
1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a
对任意 *n N 恒成立，则实数 的最大值为_________．
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必做部分
17．（本小题满分 12 分）在锐角三角形 ABC 中， , ,a b c 分别是角 , ,A B C 的对边，
且 2 sin cos cosa A b C c B ．
（Ⅰ）求角 A 的值；
（Ⅱ）若 2 3bc ，求 cos cosB C
b c 的最小值．
18．（本小题满分 12 分）如图 1，在等腰梯形 1 2ABF F 中，两腰 2 1 2AF BF ，底边 6AB ，
1 2 4F F ， D ，C 是 AB 的三等分点，
E 是 1 2F F 的中点，分别沿CE ， DE 将
四边形 1BCEF 和 2ADEF 折起，使 1F ，
2F 重合于点 F ，得到如图 2 的几何体．
在图 2 中， M ， N 分别为CD ， EF
的中点．
（Ⅰ）证明： MN 平面 ABCD ；
（Ⅱ）求点C 与平面 ADEF 的距离．
19．（本小题满分 12 分）在某企业中随机抽取了 5 名员工测试他们的艺术爱好指数 (0 10)x x
和创新灵感指数 (0 10)y y ，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱好指数 2 3 4 5 6
创新灵感指数 3 3.5 4 4.5 5
（Ⅰ）求创新灵感指数 y 关于艺术爱好指数 x 的线性回归方程；
（Ⅱ）现从这 5 名员工中任选 3 人，求恰有 2 人艺术爱好指数大于或等于 4 的概率；
（Ⅲ）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中之一进行培训，培训音乐次
数t 对艺术爱好指数 x 的提高量为 20
0(10 )(1 e )
t
x
，培训绘画次数t 对艺术爱好指数 x 的提高量
为 0
10(10 )(1 )10x t
，其中 0x 为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数．艺术爱好指数已达
3 的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达 4 的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训
了 20 次后，估计谁的创新灵感指数更高？ — 高三文科数学(二)第 4 页(共 4 页) —
附：平均值 1 1 nx x xx n
，计算值：
1
2e 0.6
， 1e 0.37 ．回归直线方程 y a bx 的
斜率和截距的最小二乘法估计分别为 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
， a y bx ．
20．（本小题满分 12 分）设函数 21( ) ln ( )2f x x ax a R ．
（Ⅰ）若函数 ( )y f x 有极值，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）设 ( ) ( )g x f x x ，求函数 ( )g x 的单调区间．
21．（本小题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2: 1x yC a b （ 0a b ）的右焦点为 F ，直线 3 5: 2l y x
与椭圆C 在第一象限内的交点Q 在线段OF 的垂直平分线上（O 为坐标原点），且 OQF 的面积
为 3 5
8
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）椭圆C 的左顶点为 A ，点 P 是椭圆C 上除左、右顶点以外的任意一点，点 P 处的切线与直
线 x a 相交于点 B ，过点 B 的直线l 交 C 于 ,M N 两点，设直线 , ,AM AN AP 的斜率分别为
, ,AM AN APk k k ，问是否存在实数 使得等式 + =AM AN APk k k 恒成立？若存在，求出实数 的值；
若不存在，请说明理由．
（二）选做部分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xoy 中，直线 1 : 4C x ，圆 2C 的参数方程为 1 cos
sin
x
y
（ 为参数）．以原点O
为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C ， 2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设射线l 的极坐标方程为 π= ( 0, )2 与 1C ， 2C 的交点分别为 ,A B ，P 为 AB 的
中点，若 5 2
2OP ，求点 P 的极坐标．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
设函数 1 +3f x x x ．
（Ⅰ）求不等式 5f x 的解集；
（Ⅱ）证明： ( )+ ( 4) 8 1f x f x x ． — 高三文科数学(二)第 5 页(共 4 页) —
2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
文科数学(二)参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A C D D A D C D B
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分)
13． 2π
3 14． 2
π+1 15．12 16． 1
3
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．【解析】（Ⅰ）因为 2 sin cos cosa A b C c B ，
由正弦定理得 22sin sin cos sin cosA B C C B ，即 22sin sin( )A B C ，
所以 22sin sinA A ．又 ABC 为锐角三角形，有sin 0A ，所以 1sin 2A ，所以 π
6A ．
（Ⅱ）由 2 sin cos cosa A b C c B ，两边同除以bc 得
cos cos 2 sin
2 3
B C a A a a
b c bc bc
．
又由余弦定理，得 2 2 2 π2 cos 2 3 (2 3) 16a b c bc bc bc bc ，所以 1a ．
即 cos cos 2 3
2 3
B C a
b c
，即 cos cosB C
b c 的最小值为 2 3 ．
18．【解析】（Ⅰ）由于四边形 BCEF 和 ADEF 均为菱形，所以 / /AD BC 且 AD BC ，
故四边形 ABCD 为平行四边形．
又 AD CD ，及由对称性知， 90ADC BCD ，所以四边形 ABCD 为正方形．
N 为 EF 中点，所以 1EN ，得 1EC ， 3CN ，于是 2 2 2NE CN CE ，
所以CN NE ，所以CN BC ．所以 BC 平面CDN ，从而 MN BC ．
由对称性知CN DN 且 M 为CD 的中点，所以 MN CD ．所以 MN 平面 ABCD ．
（Ⅱ）在三棱锥C ADF 中，有 C ADF F ACDV V 则 1 2 2 1 32 43 2 3 4 d ，所以 2 6
3d ．
所以点C 与平面 ADEF 的距离为 2 6
3
． — 高三文科数学(二)第 6 页(共 4 页) —
19．【解析】（Ⅰ）设 y a bx ，有
5
1
1 45 i
i
x x
，
5
1
1 45 i
i
y y
则
5
1
5
2
1
( )( ) 5 1
10 2( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
， 14 4 22a y bx ，所以 12 2y x ．
（Ⅱ）记这 5 名员工中艺术爱好指数小于 4 的为 1A ， 2A ，艺术爱好指数大于或等于 4 的为 1B ， 2B ，
3B ．现从这 5 人中任选 3 人的所有情况有 1 2 1( , , )A A B ， 1 2 2( , , )A A B ， 1 2 3( , , )A A B ， 1 1 2( , , )A B B ，
1 1 3( , , )A B B ， 1 2 3( , , )A B B ， 2 1 2( , , )A B B ， 2 1 3( , , )A B B ， 2 2 3( , , )A B B ， 1 2 3( , , )B B B 共 10 种，其
中恰有 2 人艺术爱好指数大于或等于 4 的情况有 1 1 2( , , )A B B ， 1 1 3( , , )A B B ， 1 2 3( , , )A B B ，
2 1 2( , , )A B B ， 2 1 3( , , )A B B ， 2 2 3( , , )A B B ，共 6 种，所以恰有 2 人艺术爱好指数大于或等于 4 的
概率为 6 3
10 5P ．
（ Ⅲ ） 员 工 甲 经 过 20 次 的 培 训 后 ， 估 计 他 的 艺 术 爱 好 指 数 将 达 到
20
1203 (10 3)(1 e ) 10 7ex ，
因此估计他的创新灵感指数为 11 12 (10 7e ) 7(1 )2 2ey ．
员工乙经过 20 次的培训后，估计他的艺术爱好指数将达到 104 (10 4)(1 ) 820 10x
，
因此估计他的创新灵感指数为 12 8 62y ．由于 17(1 ) 62e ，故培训后乙的创新灵感指数
更高．
20．【解析】（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 0, ， 21 1axf x axx x
，
当 0a 时， 0f x 在 0,x 恒成立，所以 ( )y f x 无极值．
当 0a 时，只需 2 1 0axf x x
即 2 1 0ax 有两不等根，
所以 4 0a ，所以 0a ．
（Ⅱ）由题意 21ln 02g x x ax x x ，所以 21 11 ax xg x axx x
，
当 0a 时， 0g x 在 0,x 恒成立，所以 y g x 的单调递增区间为 0, ．
当 0a 时，令 2 1 0g x ax x 得， 1 1 4
2
ax a
或 1 1 4
2
ax a
，
又 0x ，所以解得 0x ，即 0g x 在 0,x 恒成立，所以 g x 的单调递增区间为
0, ． — 高三文科数学(二)第 7 页(共 4 页) —
当 0a 时，令 2 1 0g x ax x 得， 1 1 40 2
ax a
，
令 2 1 0g x ax x 得， 1 1 4
2
ax a
，
所以函数 g x 的单调递增区间为 1 1 40, 2
a
a
，单调递减区间为 1 1 4 ,2
a
a
．
综上，当 0a 时， g x 的单调递增区间为 0, ．
当 0a 时， g x 的单调递增区间为 1 1 40, 2
a
a
，单调递减区间为 1 1 4 ,2
a
a
．
21．【解析】（Ⅰ）由题知 ( ,0)F c ，则 3 5( , )2 4
c cQ ，将点Q 的坐标代入椭圆方程
得
2 2
2 2
45 14 16
c c
a b
①，
因为 OQF 的面积为 3 5
8
，所以 1 3 5 3 5
2 4 8
c c ，得 1c ②
又 2 2 2a b c ③，所以由①②③得，故椭圆的方程为
2 2
14 3
x y ．
（Ⅱ）设 0 0( , )P x y ，则 P 点处的切线方程为 0 0 14 3
x x y y ．
当 2x 时，点 0
0
3( 2)( 2, )2
xQ y
，令 0
0
3( 2)
2
xn y
，
设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，直线l的方程为 ( 2)y n k x ，
联立方程得 2 2
( 2)
14 3
y n k x
x y
，则 2 2 2(4 3) 8 (2 ) 4(2 ) 12 0k x k k n x k n ，
则
2
1 2 1 22 2
8 (2 ) 4(2 ) 12,4 3 4 3
k k n k nx x x xk k
所以 01 2
1 2 1 2 0
21+ = 22 2 2 2 3( 2)AM AN
yy y n nk k kx x x x n x
． — 高三文科数学(二)第 8 页(共 4 页) —
因为 0
0
= 3( 2)AP
yk x
，所以 + =2AM AN APk k k ，所以存在实数 2 满足题意．
22．【解析】（Ⅰ） 1 : 4C x 极坐标方程为 cos 4 ， 2
1 cos: sin
xC y
的直角坐标方程为
2 2 2 0x y x ，所以 2C 极坐标方程为 2 cos ．
（Ⅱ）设 ( , )P ，射线l的极坐标方程为 π= ( 0, )2 与 1C ， 2C 的交点 ,A B 的极坐标
分别满足 1
4
cos ， 2 2cos ．由 5 2
2OP ，得 1 2+ 2 5 2cos2 cos 2
．
所以 22cos 5 2 cos 4 0 ，即(2cos 2)(cos 2) 0 ．
所以 2cos = 2 ， π= 4 ，所以点 P 的极坐标为 5 2 π( , )2 4 ．
23．【解析】（Ⅰ）因为 1 +3 5f x x x ，
当 3x 时，不等式可化为( 1) ( +3) 5x x ，即( 2) ( +4) 0x x ，所以 4 3x ；
当 3 1x 时，不等式可化为 ( 1) ( +3) 5x x ，即 2( 1) +1 0x ，所以 3 1x ；
当 1x 时，不等式可化为( 1) ( +3) 5x x ，即( 2) ( +4) 0x x ，所以1 2x ．
所以原不等式的解集为 4 2x x ．
（Ⅱ） ( )+ ( 4) 1 3 5 1 1 ( 3 5 )f x f x x x x x x x x
1 ( 3 5 ) 8 1x x x x ．
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高三文科数学（二）选择填空详细解析
1．C【解析】因为 2
2020{ | log (10 3 )} { | 5 2}M x y x x x x ，
{ | 2020 1} { | 1}xN y y x x 所以 { |1 2}M N x x ，故答案选 C．
2．A【解析】因为 2 2(1 ) 11 (1 (1
i
i) ii i)
，要使
1 i
2z
是实数，所以复数 i( )z a a R ，
故答案选 A．
3．A【解析】设只喜欢阅读文章的教职员工人数为 a ，只喜欢视听学习的教职员工人数为b ，喜
欢阅读文章且喜欢视听学习的教职员工人数为c ，由题意得
90
0.6200
180
a c
b c
a b c
，解得
60
90
30
a
b
c
．所
以喜欢阅读文章且喜欢视听学习的教职员工人教为 30，故答案选 A．
4．A【解析】因为数列 na 为等差数列，所以由 1 1 27m m ma a a ，得3 27ma ，得 9ma ．又
1 1a ，所以 (1 9) 452m
mS ，解得 9m ，故答案选 A．
5．C【解析】在等差数列 na 中，由 1 4,a x a y 可得
3
y xd ，
所以 7 4 1 17 21 4 6 3 15 2 53
y xS S a d a d x x y ，
令 2 5z x y ，作出可行域可知，在点 (0, 1) 处取得最小值，
故 7 4 min min( ) 2 0 5 ( 1) 5S S z ，故答案选 C．
6．D【解析】因为可判断函数 ( )f x 是奇函数，可以排除答案 A 和 B；当 (0, π)x 时，有
2'( ) cos (cos 1) sin ( sin ) 2cos cos 1f x x x x x x x ，令 '( ) 0f x 可得 1cos 2x
或者cos 1x （舍去），所以函数 ( )f x 在 2π(0, )3
单调递减，在 2π( , π)3
单调递增，故答案选 D．
7．D【解析】因为奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )f x f x ，有函数的周期为 4T ，
所以 4 4 4
4(1 log 80) (3 log 5) ( 1 log 5) 5f f f ，则 2
4(1 log 5) 5f
因为 21 log 5 ( 1,0) ，所以 21 log 5 4(2 ) 5
a ，即 2 4( ) 55
a ，故 2a ，故答案选 D．
8．A【解析】函数 2 23π( ) sin 3 sin(π )sin( ) sin 3 sin cos2f x x x x x x x
1 cos 2 3 π 1sin 2 sin(2 )2 2 6 2
x x x ，所以 π 1( ) sin( )6 2g x x ，则函数的对称轴方程
为 π ππ6 2x k ，即 2ππ 3x k （ k Z ），令 0k ，得 2π
3x ，所以①是正确的；函数的— 高三文科数学(二)第 10 页(共 4 页) —
对称中心横坐标为 π π6x k ，即 ππ 6x k （ k Z ），令 0k ，得 π
6x ，则 ( )g x 的图像关
于点 π 1( , )6 2
对称，所以③是错误的；当 0 πx 有 π π 5π
6 6 6x ，得 1 πsin( ) 12 6x ，
则 π 30 sin( )6 2x ，所以②是正确的；另外函数 ( )g x 的图像由 cosy x 只做平移是得不到的，
所以④是错误的，故答案选 A．
9．D【解析】设 PD x （0 3x ），则 3PD x ，因为 AB 平面 PAD ，所以 AB PD ．
又 AC PD ，所以 PD 平面 ABCD ，则四棱锥 P ABCD 可补形成一个长方体，
球 O 的 球 心 为 PB 的 中 点 ， 从 而 球 O 的 表 面 积 为
2 2 2
2 2(3 )4 ( ) 3 ( 1) 2 62π π πx x x x ，故答案选 D．
10．C【解析】由题意知 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，设 1,F M 关于渐近线 by xa 对称，则 1F 到该渐近
线的距离为
2 2
bc b
a b
．连接 1F M ，记 1F M 与该渐近线交于点 N ，则 1 2F M b ，且 N 为 1F M
的中点．连接 2F M ，因为坐标原点O 是 1 2F F 中点，所以 2/ /ON F M ，则 1 2F MF 为直角，所以
1 2F MF 为直角三角形，由勾股定理得 2 2 24 4c c b ，故 2 2 23 4( )c c a ，因此 2 24c a ，得
2e ，故答案选 C．
11．D【解析】由三视图可知甲为圆锥，乙为球．设球的半径为 R ，圆锥底面半径为 r ，则圆锥高
2h R ，母线长 2 2l r h ，因为甲与乙的体积之比为 1:4，所以 3 24 4π π3 3R r h ，即 2 22R r ，
2 24 3l r R r ．所以
2 2
1
2 2
2
π π 3 1
4π 8 2
S r rl r r r
S R r
，故答案选 D．
12．B【解析】依题意，记 2 1( ) ( ) 3g x x f x x
，
则 2 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3g x x f x x x f x x g x
，所以函数 ( )g x 是奇函数．
当 0x 时， '( ) 2 ( ) '( ) 0g x x f x xf x x ，所以 ( )g x 在区间(0, ) 上单调递增．
又函数 ( )g x 是奇函数，因此 ( )g x 在 R 上单调递增．
不等式3 ( 1) 1f x x ，即 1( 1) ( 1) 03f x x ，
等价于 2 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 (0)3g x x f x x g
，
所以 1 0x ，解得 1x ，因此使得3 ( 1) 1f x x 成立的取值范围是( , 1) ，故答案选 B．
13． 2π
3
【解析】因为 2 2 3a b a b a ，所以 22(2 ) 3a b a 和 22( 2 ) 3a b a ，两式— 高三文科数学(二)第 11 页(共 4 页) —
相减得 b a ，代入可得
21
2a b a ，所以 1cos 2
a ba b
a b
，又 0,a b ，
故 a 与b 的夹角为 2π
3
．
14． 2
π+1
【解析】由已知不妨设 2 2AC ，则 2AB ，如图，月牙形面积等于半圆 AmB 的面
积减去弓形 I 的面积，即 2 21 1π 1 π ( 2)2 2 AOB AOBS S S
月牙形 ，可见月牙形面积
与 AOB 面积相等，而 1= 2 2=12AOBS ，整个图形的面积 21= π ( 2) 1 π 12S ，
阴影部分面积为 2 =2AOBS ，由几何概型的概率计算公式得，所求概率为 2
π+1
．
15．12【解析】设 AB 所在直线方程为 x my t ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ．由题意知 1 0y ， 2 0y ，
联立方程组 2 4
x my t
y x
得 2 4 4 0y my t ．所以 1 2 1 24 , 4y y m y y t ．
又因为OA OB ，所以 1 2 1 2 0x x y y ，即
2 2
1 2
1 2 04 4
y y y y ，解得 1 2 16y y ，
所以 4t ，即直线 AB 恒过定点 (4,0)M ．又 (1,0)F ，所以 3MF ．
故
2
1 2
1 3 364( 1) 8 122 2 4 2ABF
mS MF y y ，当且仅当 0m 时，等号成立，故答
案为12 ．
16．1
3
【解析】解析：由已知得 1 1n nS S （ 2n ， *n N ），故数列 nS （ *n N ）
为 等 差 数 列 ， 又 1 1 1S a ， 所 以 nS n ， 即 2
nS n ． 当 2n 时 ，
2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n ，又 1 1a 也满足上式，所以 2 1na n （ *n N ），所以
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n na a n n n n
， 所 以
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n n
n
a a a a a a n n n n
． 由
1
27
log2 1
n nn
得 1
27
1log 2 1n
， 因 为 1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a
对 任 意
*n N 恒成立，所以 1
27
1log 3 ，所以
1
31 10 ( )27 3 ，故实数 的最大值为 1
3
．
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