昌平区 2019－2020 学年第一学期高三年级期末质量抽测
数学试卷
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项。
1.已知集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据并集的定义求解即可.
【详解】
故选：D
【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.
2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象
限
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析： ，在复平面内对应的点的坐标为 ，位
于第三象限，故选 C.
考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义
3.已知命题 ： ， ，那么命题 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
{ } { }2 1 , 0A x x B x x= − < < = > A B =
( 2,1)− (0,1) (0, )+∞
( 2, )− +∞
{ } { } { }2 1 0 2A B x x x x x x∪ = − < < ∪ > = > −
( )1i i −
( ) 21 1i i i i i− = − = − − ( )1, 1− −
p x +∀ ∈R ln 0x > p¬
x∃ ∈ +R ln 0x ≤ x +∀ ∈R ln 0x <
x∃ ∈ +R ln 0x < x +∀ ∈R ln 0x ≤【分析】
由全称命题的否定的定义即可求解.
【详解】命题 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题.
4.设 ，且 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取特殊值排除 A，B，C，根据函数 的单调性即可得出正确答案.
【详解】对 A 项，当 时， ，故 A 错误；
对 B 项，取 ， 时， ，不满足 ，故 B 错误；
对 C 项，取 ， 时， ，不满足 ，故 C 错误；
对 D 项，函数 在 上单调递增， ，则 ，故 D 正确;
故选：D
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
5.已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点 是函数 上任意一点，则点 在函数 图像上，列出方程，即可
得到正确答案.
【详解】设点 是函数 上任意一点，则点 在函数 的图像上
的
:p¬ x∃ ∈ +R ln 0x ≤
, ,a b c∈R a b<
ac bc< 1 1
a b
> 2 2a b<
3 3a b<
3y x=
0c < a b ac bc< ⇒ >
2a = − 1b = 1 12
− < 1 1
a b
>
2a = − 1b = − ( )222 1− > −( ) 2 2a b<
3y x= R a b< 3 3a b<
( )f x 2xy = x ( )f x =
2x− 2 x−
2log x− 2log x
( , )x y ( )f x ( , )x y− 2xy =
( , )x y ( )f x ( , )x y− 2xy =即
所以函数 的解析式为：
故选：A
【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.
6.已知向量 若 与 共线，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
因为 与 共线，所以 ，解得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.
7.已知双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的性质求出 ， ，根据离心率列出等式求解即可.
【详解】 ，
因为双曲线 的离心率为 ，所以
解得：
故选：B
2 2x xy y− = ⇒ = −
( )f x ( ) 2xf x = −
(1, 3), ( 1,0), ( 3, ).a b c k= = − = 2a b− c k =
0 1 3 3
2 (3, 3)a b− =
2a b− c 3 3 3 0k − × = 1k =
2
2 1x ym
− = 3 m =
1
4
1
2
2
2
2
a m= 1c m= +
a m= 1c m= +
2
2 1x ym
− = 3 1 3m
m
+ =
1
2m =【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.
8.某几何体 三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.
【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示
所以
故选：C
的
1
3
2
3 1 2
1 1 1 2 12ABC A B CV ′ ′ ′− = × × × =【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.
9.设 为非零向量，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可.
【详解】证充分性
所以 ，即充分性成立
证必要性
因为
所以 ，即
则向量 反向，即存在 ，使得
由 ，则
所以 ， ，即必要性成立
所以 “ ， ”是“ ”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.
10.为配合“2019 双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给
四个派送点准备某种商品各 50 个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给
四个派送点的商品数调整为 40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，
,m n λ= m n 1λ ≤ − m n m n+ = −
1 ( 1)n nm n n nλ λ λ+ = + = − ++ =
( 1)m n n n n n nλ λ λ− = − = − − = − +
m n m n+ = −
( )2 2 2
2m n m n m m n n+ = + = + ⋅ +
m n m n+ = −
( )22 2 2 2
2 2m m n n m n m m n n+ ⋅ + = − = − ⋅ + cosm n m n m n π⋅ = − ⋅ = ⋅
,m n 0λ < λ= m n
0nm n m n nn nλ λ+ = − = =− −− ≥ 1λ ≤ −
λ= m n 1λ ≤ −
λ= m n 1λ ≤ − m n m n+ = −
, , ,A B C D
, , ,A B C D每次调动可以调整 1 件商品.为完成调整，则（ ）
A. 最少需要 16 次调动，有 2 种可行方案
B. 最少需要 15 次调动，有 1 种可行方案
C. 最少需要 16 次调动，有 1 种可行方案
D. 最少需要 15 次调动，有 2 种可行方案
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.
【详解】根据题意 A，B 两处共需向 C，D 两处调 15 个商品，这 15 个商品应给 D 处 11 个
商品，C 处 4 个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：
方案一：A 调动 11 个给 D，B 调动 1 个给 A，B 调动 4 个给 C，共调动 16 次；
方案二：A 调动 10 个给 D，B 调动 5 个给 C，C 调动 1 个给 D，共调动 16 次；
故选：A
【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分
11.在 的展开式中， 的系数为________．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】
根据二项式展开定理求解即可.
【详解】 展开的通项为
时，
( )52x − 3x
( )52x − ( ) 5
5 2 rr rC x −−
5 3r− = 2r =此时 的系数为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.
12.各项均为正数的等比数列 中, ,则 _______ .
【答案】9
【解析】
【分析】
求出公比，根据等比数列的前 项和公式即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为
因 ，所以 ，解得 (舍)，
，
则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求等比数列的前 项和公式，属于基础题.
13.抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 4，则 =_____；点 的坐标为
______ .
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
根据焦点坐标求出 ，根据抛物线的定义求出点 M 坐标即可.
【详解】因为焦点 ，所以
设点 ，根据抛物线的定义得： ，解得
为
3x ( )22
5 2 40C − =
40
{ }na 1 2 31, 6a a a= + = 6
3
S
S
=
n
{ }na q
1 2 31, 6a a a= + =
2
1
1 1
1
6
a
a aq q
=
+ =
3q = − 2q =
6
6
1 (1 2 ) 631 2S
× −= =−
3
3
1 (1 2 ) 71 2S
× −= =−
6
3
63 97
S
S
= =
9
n
2 2y px= M (1,0)F p M
(3, 2 3)±
2p =
(1,0)F 2p =
2
( , )4
yM y
2
1 44
y + = 2 3y = ±所以点 的坐标为
故答案为：2；
【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.
14.在 中, ,则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得
由余弦定理可得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.
15.2019 年 11 月 5 日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有 155
个国家和地区，26 个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览
活动，每个企业一个展位.在排成一排的 6 个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的
排法有________ 种.
【答案】144
【解析】
【分析】
先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.
【详解】先安排丁、戊、己共有 种
再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有 种
则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有 ，
故答案为：144
M (3, 2 3)±
(3, 2 3)±
ABC∆ 2 ,sin 3sina b C B= = cos B =
6
3
3=c b
2 2 2 2 2 22 3 6cos 2 32 2 3
a c b b b bB ac b b
+ − + −= = =
× ×
6
3
3
3 3 2 1 6A = × × =
3
4 4 3 2 24A = × × =
3 3
3 4 =144A A⋅【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题.
16.已知函数 .
① 的最大值为________ ；
②设当 时， 取得最大值，则 ______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由辅助角公式以及正弦函数的性质得到 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即
可求解.
详解】① ， (其中 ， )
当 ，即 时， 取最大值
②由题意可知
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17.已知等差数列 满足 .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【答案】（1） ， ；（2）100
【解析】
【分析】
【
( ) sin 2cosf x x x= −
( )f x
x θ= ( )f x cosθ =
5 2 5
5
−
( )f x
( ) sin 2cos 5 sin( )f x x x x ϕ= − = − 2 5sin 5
ϕ = 5cos 5
ϕ =
22x k
πϕ π− = + 22x k
π ϕ π= + + ( )f x 5
22 k
πθ ϕ π= + +
( )2 sin 2 sin2cos 5c s 2o 5k k
π ϕ π πθ ϕ ϕ + + = − + = − = −
=
5 2 5
5
−
{ }na 1 3 4 28, 4a a a a+ = − =
{ }na n nS
1{ }
nS n nT 99
100nT > n
2na n= 2
nS n n= +(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前 项和公式求解即可得到数列 的通项公
式及前 项和 ；
(2)利用裂项求和得到 ，解不等式即可得到最小值.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 .依题意有
解得
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
因为 ，即 ，
所以 .所以 的最小值为
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前 项和以及裂项求和，属于中档题.
18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了“我运动，
我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽
样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试.下表是高二年
级的 5 名学生的测试数据（单位：个/分钟）：
（1）求高一、高二两个年级各有多少人？
（2）设某学生跳绳 个/分钟，踢毽 个/分钟.当 ，且 时，称该学生为“运动
达人”.
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
②从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人”的
人数 的分布列和数学期望.
n { }na
n nS
11 1nT n
= − +
{ }na d
1 3
4 2
8,
4.
a a
a a
+ =
− =
1 2,
2.
a
d
=
=
22 ,n na n S n n= = +
2
1 1 1 1
1nS n n n n
= = −+ +
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 12 2 3 1 1n
n
T S S S n n n
= + + + = − + − + + − = −+ +
99
100nT > 1 991 1 100n
− >+
99n > n 100
n
m n 175m ≥ 75n ≥
ξ【答案】（1）196 人，140 人；（2）① ；②分布列见解析，
【解析】
【分析】
(1)按照比例求解即可；
(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；
②找出 可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到 的期望.
【详解】（1）设高一年级有 人，高二年级有 人.
采用分层抽样，有 .
所以高一年级有 人，高二年级有 人.
（2）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人”.
故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 .
（3） 的所有可能取值为 .
, , .
所以 的分布列为
故 的期望 .
【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档
题.
19.已知函数 其中 .
（1）若函数 的最小正周期为 ，求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围.
3
5
( ) 9
5E ζ =
ξ ξ
a b
7 5,336 12 336 12
a b= =
196 140
3
5
ξ 1,2,3
1 2
3 2
3
5
3( 1) 10
C CP C
ξ = = =
2 1
3 2
3
5
3( 2) 5
C CP C
ξ = = =
3
3
3
5
( 3) 1
10
CP C
ξ = = =
ξ
ξ 1 2 3
P 3
10
3
5
1
10
ξ 3 3 1 9( ) 1 2 310 5 10 5E ξ = × + × + × =
2( ) 3sin cos sin ,2 2 2
x x xf x
ω ω ω= + 0>ω
( )f x 2 ω
( )f x π[0, ]2
3
2
ω【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，根据周期公式求出 的值；
(2)利用 求出 ，结合正弦函数的性质列出不等式
即可求解.
【详解】（1）因为
.
因为 的最小正周期为 ，即
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
若 在区间 上取到最大值 ，只需 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属
于中档题.
20.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，
，平面 平面 ， .
π 4
3
ω ≥
( )f x ω
π0 , 02x ω≤ ≤ >
6 6 2 6x
π π ωπ πω− ≤ − ≤ −
2( ) 3sin cos sin2 2 2
x x xf x
ω ω ω= +
3 1 cossin2 2
xx
ωω −= +
3 1 1sin cos2 2 2x xω ω= − +
π 1sin( )6 2xω= − +
( )f x 2 2π 2T ω= =
πω =
π0 , 02x ω≤ ≤ >
6 6 2 6x
π π ωπ πω− ≤ − ≤ −
( )f x π[0, ]2
3
2
π π π
2 6 2
ω − ≥
4
3
ω ≥
P ABCD− ABCD / /AD BC CD AD⊥
2 2AD CD BC= = = PAD ⊥ ABCD ,PA PD PA PD⊥ =（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值？若不存
在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出 ；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；
(3)由 ，C，M 三点共线，利用向量共线得出 ，利用线面垂直的判定定理证明
平面 ，由于 ， 不平行，则不存在棱 上的点 ，使得 平面 .
【详解】（1）在四棱锥 中
因为平面 平面 ，平面 平面
又因为 ， 平面
所以 平面
因为 平面
所以
（2）取 中点 ，连接
因为
所以
因为平面 平面 ，平面 平面
因为 平面
CD PA⊥
C PA D− −
PC M BM ⊥ PCD PM
PC
3
3
CD PA⊥
P PM PCλ=
PCD BM PA PC M BM ⊥ PCD
P ABCD−
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD=
CD AD⊥ CD ⊂ ABCD
CD ⊥ PAD
PA ⊂ PAD
CD PA⊥
AD O ,OP OB
PA PD=
PO AD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ABCD AD=
PO ⊂ PAD所以 平面
所以
因为
所以
所以四边形 是平行四边形
所以
如图建立空间直角坐标系 ，则
.
设平面 的法向量为 ，则
即
令 ，则 .
所以 .
因为平面 的法向量 ，
所以
由图可知，二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
PO ⊥ ABCD
,PO OA PO OB⊥ ⊥
, // , 2CD AD BC AD AD BC⊥ =
// ,BC OD BC OD=
OBCD
OB AD⊥
O xyz−
(0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), ( 1,2,0), ( 1,0,0), (0,0,1).O A B C D P− −
( 2,2,0), ( 1,0,1)AC AP= − = −
PAC ( , , )n x y z=
0,
0.
AC n
AP n
⋅ =
⋅ =
2 2 0,
0.
x y
x z
− + =
− + =
1x = 1, 1y z= =
(1,1,1)n =
PAD (0,2,0)OB =
3cos , .3
n OBn OB
n OB
⋅= =
C PA D− −
C PA D− − 3
3（3）设 是棱 上一点，则存在 使得 .
设 ，则
所以
所以
所以 .
所以 .
因为 平面
所以 平面 .
所以 是平面 的一个法向量.
若 平面 ，则 .
所以
因为方程组无解，
所以在棱 上不存在点 ，使得 平面 .
点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.
21.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，焦点
为 ，圆 O 的直径为 ．
【
M PC [0,1]λ ∈ PM PCλ=
0 0 0( , , )M x y z 0 0 0( , , 1), ( 1,2, 1).PM x y z PC= − = − −
0 0 0( , , 1) ( 1,2, 1).x y z λ− = − −
0 0 0, 2 , 1 .x y zλ λ λ= − = = −
( ,2 ,1 )M λ λ λ− −
( ,2 2,1 )BM λ λ λ= − − −
, , ,AP PD AP CD CD PD D⊥ ⊥ = ,CD PD ⊂ PCD
PA ⊥ PCD
(1,0, 1)PA = − PCD
BM ⊥ PCD //BM PA
2 2 0,
1 .
λ
λ λ
− =
= −
PC M BM ⊥ PCD
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 3
2
(0, 2)M C
1 2,F F 1 2F F（1）求椭圆 C 及圆 O 的标准方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P，且直线 l 与椭圆 C 交于 两点．记
的面积为 ，证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）见解析
【解析】
【分析】
(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆 C 及圆 O 的标准方程；
(2)利用斜截式设出直线 的方程，根据点到直线的距离公式得到点 到直线 的距离，将直
线 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数
的性质即可证明 .
【详解】（1）由题意，椭圆 C 的方程为 .
可得 ，解得
所以椭圆 C 的方程为 ．
因为焦点在 轴上，
所以椭圆 C 的焦点为 ．
,A B OAB
S 3S <
2 2
18 2
x y+ = 2 2 6x y+ =
l O l
l AB
3S <
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2 2
3 ,2
2,
c
a
b
a b c
=
=
= +
2
2
2
8,
2,
6.
a
b
c
=
=
=
2 2
18 2
x y+ =
x
1 2( 6,0), ( 6,0)F F−所以直径为 的圆 O 的方程为 ．
（2）由题意知，直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P，
设直线 的斜截式方程为 .
因为直线 与圆 相切，
所以点 到直线 的距离为 .
即 .
因为直线 与椭圆 C 相交于 两点，
由 ，整理得 ，
设 ，则
.
因为 ．
又 ，
所以 .
所以 .
又因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以
1 2F F 2 2 6x y+ =
l ( 0, 0)y kx m k m= +
l O
O l 2
6
1
md
k
= =
+
2 26 6m k= +
l ,A B
2 2
,
4 8
y kx m
x y
= +
+ =
2 2 2( )1 4 8 4 8 0k x kmx m+ + + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
1 2 2
2
1 2 2
8 ,1 4
4 8 ,1 4
0
kmx x k
mx x k
+ = − +
− = +
∆ >
2 2 2(8 ) 4 (1 4 )(4 8)km k m∆ = − × + − 2 216 (8 2)k m= × − +
2 26 6m k= +
232( 2) 0k∆ = − >
2 2k >
k 0<
2k < −
2
2 2
1 2 2
21 4 2 1 1 4
kAB k x x k k
−= + − = + +
2
2
2
1 1 2| | 4 2 1 62 2 1 4OAB
kS AB d k k∆
−= ⋅ = × × + ×+．
设 ，则 ，则
.
令 .
则 .
设
因为 在 上单调递减，
所以 .
所以 .
【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.
22.已知函数 ．
（1）求曲线 的斜率为 2 的切线方程；
（2）证明： ；
（3）确定实数 的取值范围，使得存在 ,当 时,恒有 ．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；
(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；
(3)分类讨论，当 时，不满足题意；当 时，根据不等式的性质得出不满足题意；
当 时，构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 .
由 得 .
2 2
2 2
(1 )( 2)4 3 (1 4 )
k k
k
+ −= × +
21 4k t+ = 9t >
2 2
( 9)( 3) 27 64 3 3 116OAB
t tS t t t∆
− += × = × − − +
1 1,0 9u ut
= < <
23 27 6 1OABS u u∆ = × − − +
2 21 4( ) 27 6 1 27( ) .9 3h u u u u= − − + = − + +
( )h u 1(0, )9
( ) 1h u <
3OABS∆ <
2( ) 3lnf x x x x= − +
( )y f x=
( ) 2 2f x x≤ −
k 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) ( 1)> −f x k x
2 2y x= − ( ,2)−∞
2k = 2k >
2k <
( )f x (0, )+∞
2( ) 3lnf x x x x= − + 3'( ) 1 2f x x x
= − +令 ，即 ，得 ， （舍）．
又 ，
所以曲线 的斜率为２的切线方程为
（2）设 ，则
.
令 得 ， （舍）．
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
所以 .
（3）由（2）可知，
① 当 时， ，
所以不存在 ，当 时，恒有 ；
所以 不符合题意.
②当 时，对于 ， ，
所以不存在 ，当 时，恒有 ；
所以 不符合题意.
③当 时，设 .
因为 ，
令 即 .
因为 ，
'( ) 2f x = 31 2 2x x
− + = 1x = 3
2x = −
(1) 0f =
( )y f x= 2 2y x= −
2( ) ( ) (2 2) 3ln 2g x f x x x x x= − − = − − +
23 2 3 (2 3)( 1)'( ) 2 1 x x x xg x xx x x
− − + − + −= − − = =
'( ) 0g x = 1x = 3
2x = −
'( ) 0g x > 0 1x< <
)'( 0g x < 1x >
( )g x (0,1) (1, )+∞
( ) (1) 0g x g≤ =
( ) 2 2f x x≤ −
2k = ( ) 2( 1)f x x≤ −
0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) 2( 1)f x x> −
2k =
2k > 1x > ( ) 2( 1) ( 1)f x x k x≤ − < −
0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) 2( 1)f x x> −
2k >
2k < 2( ) ( ) ( 1) (1 ) 3lnh x f x k x x k x x k= − − = − + − + +
22 (1 ) 3'( ) x k xh x x
− + − +=
'( ) 0,h x = 22 (1 ) 3 0x k x− + − + =
2(1 ) 24 0k∆ = − + >解得 .
又因为 ，
所以 .
取 .
当 时， ；
所以 在 上单调递增.
所以 .
即 .
所以 符合题意.
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.
2 2
1 2
1 (1 ) 24 1 (1 ) 24,4 4
k k k kx x
− − − + − + − += =
2k <
1 20, 1x x< >
0 2x x=
0(1, )x x∈ '( ) 0h x >
( )h x 0(1, )x
( ) (1) 0h x h> =
( ) ( 1)> −f x k x
2k <
k ( ,2)−∞
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